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第九篇解析几何第5讲椭圆


第5讲
【2013 年高考会这样考】









-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a

) B1(-b,0),B2(b,0)

1.考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题. 2.考查椭圆的方程及其几何性质. 3.考查直线与椭圆的位置关系. 【复习指导】 1.熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程. 2.掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等.体会解析 几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题. 性 质

对称性 顶点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e=a∈(0,1) c2=a2-b2

基础梳理 1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这 两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x y a2+b2=1 (a>b>0)
2 2

一条规律 椭圆焦点位置与 x2,y2 系数间的关系: x2 y2 给出椭圆方程 m+ n =1 时,椭圆的焦点在 x 轴上?m>n>0;椭圆的焦点在 y 轴上?0< m<n. 两种方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a2、b2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据 y x a2+b2=1 (a>b>0)
2 2

条件确定关于 a、b、c 的方程组,解出 a2、b2,从而写出椭圆的标准方程. 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和 最小距离,且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c.





(2)求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b2=a2-c2 就可求得 e(0<e<1).

续表
-1-

(3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①

中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距 为 6,则椭圆的方程为( x2 y2 A. 9 +16=1 x2 y2 x2 y2 C.25+16=1 或16+25=1 解析 ). x2 y2 B.25+16=1 D.以上都不对

x2 y2 4 4.(2012· 淮南五校联考)椭圆 9 + =1 的离心率为5,则 k 的值为( 4+k A.-21 19 C.-25或 21 解析 若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k, B.21 19 D.25或 21

).

5-k 4 c 4 19 由a=5即 3 =5,得 k=-25; 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5,

∵2a+2b=18,∴a+b=9,又∵2c=6,∴c=3,则 c2=a2-b2=9,故 a-b=1,

x2 y2 x2 y2 从而可得 a=5,b=4,∴椭圆的方程为25+16=1 或16+25=1. 答案 C
2 2

k-5 4 c 4 由a=5,即 = ,解得 k=21. 4+k 5 答案 C

x y 2.(2012· 合肥月考)设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1| +|PF2|等于( A.4 解析 答案 ). B.5 C.8 D.10

5.(2011· 全国新课标)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 2 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的 方程为________. 解析 x2 y2 2 c 2 根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0).∵e= 2 ,∴a= 2 ,

依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2×5=10. D ).

x2 y2 3.(2012· 兰州调研)“-3<m<5”是“方程 + =1 表示椭圆”的 ( 5-m m+3 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 2,所以椭圆方程为16+ 8 =1. 答案 x2 y2 16+ 8 =1 椭圆定义的应用

考向一

解析

?5-m>0, x2 y2 要使方程 + =1 表示椭圆,应满足?m+3>0, 5-m m+3 ?5-m≠m+3,
2 2

解得-3<m<5 且

x2 y2 【例 1】?(2011· 青岛模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭 → → 圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. → → [审题视点] 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点,从而有|PF1|+|PF2|=2a,再利用PF1⊥PF2, 进而得解.

m≠1,因此“-3<m<5”是“方程 答案 B

x y + =1 表示椭圆”的必要不充分条件. 5-m m+3

-2-

解析

→ → 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF1⊥PF2,



x2 y2 (1)由题意,设所求椭圆的方程为 4 + 3 =t(t>0),
2

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1||PF2|=2b2, 1 ∴S△PF1F2=2|PF1||PF2| 1 =2×2b2=b2=9. ∴b=3. 答案 3 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定 义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|· 2|;通过整体代入可求其面积等. |PF x2 【训练 1】 已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 3 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且 椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 C.4 3 解析 B.6 D.12 ).

22 ?- 3? ∵椭圆过点(2,- 3),∴t= 4 + 3 =2, x2 y2 故所求椭圆标准方程为 8 + 6 =1. (2)设所求的椭圆方程为 x2 y2 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)或a2+b2=1(a>b>0), ?2a=5+3, 由已知条件得? 2 2 2 ??2c? =5 -3 , 解得 a=4,c=2,b2=12. x2 y2 y2 x2 故所求方程为16+12=1 或16+12=1. 运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于 a、b 的方程组,先定型、再 定量,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx2+ny2 =1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出 m、n 即可. 【训练 2】 (1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程. x2 y2 (2)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点 M,N 与 F 构成正三角形,求椭圆的方程. 解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上,

由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,

∴周长为 4a=4 3(F 是椭圆的另外一个焦点). 答案 C 考向二 求椭圆的标准方程

x2 y2 设方程为a2+b2=1(a>b>0), 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴a2=1,a=3, x2 2 ∵2a=3· 2b,∴b=1,∴方程为 9 +y =1. 若椭圆的焦点在 y 轴上,

x2 y2 【例 2】?(1)求与椭圆 4 + 3 =1 有相同的离心率且经过点(2,- 3)的椭圆方程. (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P 到两焦点的距离分别为 5、3,过 P 且与 长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. [审题视点] 用待定系数法求椭圆方程,但应注意椭圆的焦点位置是否确定.
-3-

y2 x2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 02 9 ∴椭圆过点 A(3,0),∴a2+b2=1,∴b=3, y2 x2 又 2a=3· 2b,∴a=9,∴方程为81+ 9 =1. x2 y2 x2 综上所述,椭圆方程为 9 +y2=1 或81+ 9 =1. (2)由△FMN 为正三角形,则 c=|OF|= x2 y2 圆方程为 4 + 3 =1. 考向三 椭圆几何性质的应用 3 3 2 |MN|= × b=1.∴b= 3.a2=b2+c2=4.故椭 2 2 3

当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). ?y=k?x-m?, ? 由?x2 2 ? 4 +y =1. ? 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2-4 8k2m x1+x2= ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 即 m2k2=k2+1. 所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=
2 2 ? 64k4m2 4?4k m -4?? - ? ?1+k2?? 2 2 1+4k2 ? ??1+4k ?

|km| =1, k2+1

x2 2 【例 3】?(2011· 北京)已知椭圆 G: 4 +y =1.过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. [审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出 c,从而求出离心率.(2)可设出直线方程与椭圆方程 联立得一元二次方程,由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值. 解 (1)由已知得,a=2,b=1,
2 2



4 3|m| . m2+3

由于当 m=± 时,|AB|= 3, 1 所以|AB|= 因为|AB|= 4 3|m| ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m2+3 4 3|m| 4 3 = 2 3 ≤2, m +3 |m|+|m|

所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), c 3 离心率为 e=a= 2 . (2)由题意知,|m|≥1. ? 3? ? 3? 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1, ?,?1,- ?,此时|AB| 2? ? 2? ? = 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3.
-4-

且当 m=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. (1)求椭圆的离心率,其法有三:一是通过已知条件列方程组,解出 a,c 的值; 二是由已知条件得出关于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元二次方 程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. (2)弦长公式 l= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2.

【训练 3】 (2012· 武汉质检)在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过 A,B 两点,

它的一个焦点为点 C,另一个焦点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为________. 解析

的坐标;若不存在,说明理由. [审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程.(2)充分利用椭圆的定义和性质, 利用设而不求的方法求出 P 点.

设另一个焦点为 F,如图所示,∵|AB|=|AC|=1,△ABC 为直角三角形, 2+ 2 ∴1+1+ 2=4a,则 a= 4 , 设|FA|=x, ?x+1=2a, 2 ? 2? ∴? ∴x= 2 ,∴1+? ?2=4c2, ?2? ?1-x+ 2=2a, 6 c ∴c= 4 ,e=a= 6- 3. 答案 6- 3 解 c 2 a2 (1)由 e= = , =2 2, a 2 c

解得 a=2,c= 2,b2=a2-c2=2, x2 y2 故椭圆的标准方程为 4 + 2 =1. (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),

→ 则由 O→=OM +2O→得 P N
(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2. 因为点 M、N 在椭圆 x2+2y2=4 上, 考向四 椭圆中的定值问题
2 所以 x1+2y2=4,x2+2y2=4, 1 2 2 2 故 x2+2y2=(x2+4x2+4x1x2)+2(y2+4y2+4y1y2) 1 2 1 2 2 =(x2+2y1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) 1 2

=20+4(x1x2+2y1y2). 2 【例 4】?(2011· 重庆)如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= 2 , 一条准线的方程为 x =2 2. (1)求该椭圆的标准方程; 设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率, y1y2 1 由题设条件知 kOM·ON=x x =-2, k
1 2

因此 x1x2+2y1y2=0, 所以 x2+2y2=20. x2 y2 所以 P 点是椭圆 + =1 上的点, ?2 5?2 ? 10?2
-5-

→ (2)设动点 P 满足:O→=OM +2O→,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率 P N
1 之积为-2 .问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2

设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2, 则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值. 又因 c= ?2 5?2-? 10?2= 10, 因此两焦点的坐标为 F1(- 10,0),F2( 10,0). 本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题,可先设出动点 P, 利用设而不求的方法求出 P 点的轨迹方程,从而找出定点. 【训练 4】 (2010· 安徽)如图,

设 P(x,y)为 l 上任一点,则

|3x-4y+6| =|x-2|. 5

若 3x-4y+6=5x-10,得 x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去). 于是,由 3x-4y+6=-5x+10,得 2x-y-1=0, ∴直线 l 的方程为 2x-y-1=0.

规范解答 16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题 【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重,几乎每年必考,有的是以选择题或填空 题的形式出现,多数以解答题的形式出现.虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法,但在 解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程,难度中等偏上. 【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程,再由直线与椭圆联

1 已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e=2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程. x2 y2 解 (1)设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0), 1 c 1 由 e=2,即a=2,得 a=2c,得 b2=a2-c2=3c2. x2 y2 ∴椭圆方程可化为4c2+3c2=1. 1 3 将 A(2,3)代入上式,得c2+c2=1,解得 c=2, x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为16+12=1. (2)由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),∴直线 AF1 的方程为 3 y=4(x+2),即 3x-4y+6=0,直线 AF2 的方程为 x=2. 由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数.
-6-

立,结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数. x2 y2 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 天津)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、 F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, 两点, B 若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M, 5 N 两点,且|MN|=8|AB|,求椭圆的方程. 第(1)问由|PF2|=|F1F2|建立关于 a、c 的方程;第(2)问可以求出点 A、B 的坐标 或利用根与系数的关系求|AB|均可,再利用圆的知识求解. [解答示范] (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?a-c?2+b2=2c.整理 c c 1 1 ? c? c 得 2?a?2+a-1=0,得a=-1(舍),或a=2.所以 e=2.(4 分) ? ? (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 的方程为 y= 3(x -c).
2 2 2 ?3x +4y =12c , A、B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0.解得 x1= y= 3?x-c?. ?

8 0,x2=5c.(6 分) ?x1=0, 得方程组的解为? ?y1=- 3c,

?x2=8c, ? 5

则?

2 x1 y2 ?a2+b1=1, 2 ?

① ②

? 3 3 ?y2= 5 c. ?

?a2+b2=1, ?2 2

x2

y2

①-②得:

y2-y1 b2x1+x2 =-a2 . x2-x1 y1+y2

?8 3 3 ? ?,B(0,- 3c), 不妨设 A? c, 5 c? ?5 所以|AB|= ?2 16 ?8 ?2 ?3 3 ?5c? +? c+ 3c? = 5 c.(8 分) ? ? ? 5 ?

b2 x0 1 ∴kAB=-a2×y =-2.③ 0 y0 1 又 kOM= = ,④ x0 2 由③④得 a2=4b2.

5 于是|MN|=8|AB|=2c.

圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 d=
2

|- 3- 3- 3c| 3|2+c| = .(10 分) 2 2

?y=-1x+2, ? 2 由? 2 x y2 ?4b2+b2=1 ?

得:x2-4x+8-2b2=0,

3 ?|MN|? 因为 d +? 2 ?2=42,所以 (2+c)2+c2=16. 4 ? ? 整理得 7c2+12c-52=0. 26 得 c=- 7 (舍),或 c=2. x2 y2 所以椭圆方程为16+12=1.(12 分) 用待定系数法求椭圆方程时,可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c), 这样可避免繁琐的运算而失分. 1 x y 【试一试】 已知直线 y=-2x+2 和椭圆a2+b2=1(a>b>0)相交于 A、B 两点,M 为线段 1 AB 的中点,若|AB|=2 5,直线 OM 的斜率为2,求椭圆的方程. [尝试解答] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
2 2

∴x1+x2=4,x1·2=8-2b2. x ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| 5 = 2 ?x1+x2?2-4x1x2 5 = 2 16-32+8b2 5 = 2 8b2-16 =2 5. 解得:b2=4. x2 y2 故所求椭圆方程为:16+ 4 =1.

-7-


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