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高三数学第一轮复习章节测试8-4


第8章 第4节 一、选择题 1.平面 α 垂直于平面 β(α、β 为不重合的平面)成立的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 l,l⊥α,l⊥β B.存在一个平面 γ,γ∥α,γ∥β C.存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β D.存在一条直线 l,l⊥α,l∥β [分析] 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识.由充分条件的含义可知本题就是要从 四个选项中寻求使平面 α⊥平面 β

成立的一个条件. [答案] D [解析] 对于选项 A,l⊥α,l⊥β? α∥β;对于选项 B,γ∥α,γ∥β? α∥β;对于选项 C,当 γ ⊥α,γ⊥β 成立时,平面 α,β 的关系是不确定的;对于选项 D,当 l⊥α,l∥β 成立时,说明 在 β 内必存在一条直线 m,满足 m⊥α,从而有 α⊥β 成立. 2.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是 ( ) A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC [答案] C [解析] ∵D、F 分别为 AB、CA 中点, ∴DF∥BC. ∴BC∥面 PDF,故 A 正确. 又∵P-ABC 为正四面体, ∴P 在底面 ABC 内的射影 O 在 AE 上. ∴PO⊥面 ABC.∴PO⊥DF. 又∵E 为 BC 中点, ∴AE⊥BC,∴AE⊥DF. 又∵PO∩ AE=O,∴DF⊥面 PAE,故 B 正确. 又∵ 面 PAE,PO⊥面 ABC, ∴面 PAE⊥面 ABC,故 D 正确. ∴四个结论中不成立的是 C. 3.定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC. 那么,动点 C 在平面 α 内的轨迹是( ) A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点 C.一个椭圆,但要去掉两个点 D.半圆,但要去掉两个点 [答案] B [解析] 连接 BC,∵PB⊥α, ∴AC⊥PB. 又∵PC⊥AC, ∴AC⊥BC. ∴C 在以 AB 为直径的圆上.故选 B.

4.设四面体 ABCD 各棱长均相等,E、F 分别为 AC,AD 的中点,如右图,则△BEF 在该四面 体的面 ABC 的上射影是下图中的( )

[答案] B [解析] 取 BC 中点 G,连接 AG、DG,可证 AD 在面 ABC 的上射影为 AG,则 F 在面 ABC 上的 射影在 AG 上. 5.如图(1)所示,在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是边 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 中点, 现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体(如图(2)所示),使 G1、G2、G3 三点重合于点 G,这样,下面结论成立的是( )

A.SG⊥平面 EFG B.SD⊥平面 EFG C.GF⊥平面 SEF D.GD⊥平面 SEF [答案] A [解析] (1)直接法 在图(1)中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,在图(2)中,SG⊥GE,SG⊥GF,∴SG⊥平面 EFG. (2)(排除法) GF 即 G3F 不垂直于 SF, ∴可以否定 C;△GSD 中,GS=a(正方形边长), 2 3 2 GD= 4 a,SD= 4 a, ∴SG2≠SD2+GD2,∠SDG≠90°,从而否定 B 和 D. 6.(文)(教材改编题)“直线与平面 α 内无数条直线垂直”是“直线与平面 α 垂直的”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 [答案] B [解析] 由直线与平面垂直的定义知,为必要不充分条件. (理)如图所示,过正方形 ABCD 的顶点 A,引 PA⊥平面 ABCD,若 PA=AB,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

[答案] B [解析] 过 P 作 PQ∥AB.则 PQ 为面 ABP 与面 CDP 的交线, ∵AP⊥AB,∴AP⊥PQ. 又 CD⊥AD 且 CD⊥AP, ∴CD⊥DP,即 DP⊥PQ 所以∠DPA 为所求的二面角的平面角. 显然∠DPA=45°,故选 B. 7.设 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面.给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n; ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 a⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ [答案] A 8.(文)a、b 为不重合的直线,α,β 为不重合的平面,给出下列 4 个命题: ①a∥α 且 a∥b? b∥α; ②a⊥α 且 a⊥b? b∥α; ③a⊥α 且 a⊥b? b⊥α; ④a⊥β 且 α⊥β? a∥α. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C .2 D.3 [答案] A [解析]
? a⊥α?

a∥α? ?
? a∥b?

?? b∥α 或 b? α;

a⊥b? ?

?? b∥α 或 b? α;

? a⊥β ? ?? a∥α 或 a? α. ? α⊥β?

(理)棱长都为 2 的直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,∠BAD=60°,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为( ) 1 A.2 2 B. 2 3 C. 4 3 D. 8

[答案] C [解析] 过点 A1 作直线 A1M⊥D1C1,交 C1D1 延长线于点 M,可得 A1M⊥平面 DD1C1C,∠ A1CM 就是直线 A1C 与面 DD1C1C 所成的角. 由于所有棱长均为 2, 及∠A1D1C1=120°, 得 A1M =A1D1sin60°= 3,

又 A1C= AC12+CC12=

3

+22=4,

A1M 3 ∴sin∠A1CM= A1C = 4 ,故应选 C. 二、填空题 9.在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一个 动点,则 PM 的最小值为________. [答案] 2 7 [解析] 如图,∵PC⊥平面 ABC, MC? 面 ABC,∴PC⊥MC. 故 PM= PC2+MC2= MC2+16. 4×4 3 又∵MC 的最小值为 8 =2 3, ∴PM 的最小值为 2 7. 10.已知 P 是△ABC 所在平面 α 外一点,O 是点 P 在平面 α 内 的射影 (1)若 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则 O 是△ABC 的________. (2)若平面 PAB、PBC、PCA 与平面 α 所成的角相等,且 O 在△ABC 的内部,则 O 是△ABC 的 ________. (3)若 PA、PB、PC 两两垂直,则 O 是△ABC 的________. [答案] (1)外心 (2)内心 (3)垂心 11.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是∠ABC 为直角 的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF. [答案] a 或 2a [解析] 由题意易知, B1D⊥平面 ACC1A, 所以 B1D⊥CF, 欲使 CF⊥平面 B1DF, 只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x, AC AF 2a x 由 Rt△CAF∽Rt△FA1D,得A1F=A1D,即 = , 3a-x a 整理得 x2-3ax+2a2=0. 解得 x=a 或 x=2a. 三、解答题 12.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,侧棱 SA=SB=SC=SD,底面 ABCD 是菱 形,AC 与 BD 交于 O 点. (1)求证:AC⊥平面 SBD; (2)若 E 为 BC 的中点, 点 P 在侧面△SCD 内及其边界上运动, 并保持 PE⊥AC, 试写出动点 P 的轨迹,并证明你的结论. [分析] 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法,旨在对推理论证能力、空间想象力 和探究能力的考查.第(1)问要证线面垂直,根据线面垂直的判定定理,只要证明直线和平面 内两条相交直线垂直即可;第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹,只要找出与 AC 垂直且 过 E 点的平面即可得到动点 P 的轨迹. [解析] (1)∵底面 ABCD 是菱形,O 为中心. ∴AC⊥BD, 又 SA=SC,∴AC⊥SO,而 SO∩ BD=O,

∴AC⊥平面 SBD. (2)取棱 SC 的中点 M,CD 的中点 N,连接 MN,则动点 P 的轨迹即是线段 MN. 证明如下:连接 EM、EN,∵E 是 BC 的中点,M 是 SC 的中点, ∴EM∥SB,同理 EN∥BD,∵AC⊥平面 SBD,∴AC⊥SB,∴AC⊥EM. 同理 AC⊥EN,又 EM∩ EN=E,∴AC⊥平面 EMN, 因此,当 P 点在线段 MN 上运动时,总有 AC⊥PE,P 点不在线段 MN 上时,不可能有 AC⊥PE. [点评] 由于《考试说明》中对立体几何部分整体要求的下降,故高考对立体几何考查的难度 不会太高.但在空间位置关系的证明上,还是会一如既往地重点考查,并且在方式上会寻求 突破和创新,变传统证明为判断型、探究型问题,增加了难度,体现了能力立意,复习中需 引起足够重视. 13.(2010· 江苏卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=90°

(1)求证:PC⊥BC (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体 体积的计算,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (1)因为 PD⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由∠BCD=90°, 得 BC⊥DC. 又 PD∩ DC=D,PD? 平面 PCD, DC? 平面 PCD,所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC? 平面 PCD,所以 PC⊥BC. (2)连接 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. 因为 AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90° . 从而由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1. 1 1 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V=3S△ABC· PD=3. 因为 PD⊥平面 ABCD,DC? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 又 PD=DC=1,所以 PC= PD2+DC2= 2. 2 由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 S△PBC= 2 . 1 1 2 1 由 V=3S△PBCh=3· 2 · h=3,得 h= 2. 因此,点 A 到平面 PBC 的距离为 2. 14.已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中(如图) (1)求证:B1D⊥BC1; (2)求证:B1D⊥平面 ACD1; (3)若 B1D 与平面 ACD1 交于 O, 求证:DO∶OB1=1∶2. [分析] 存在正方体、长方体为载体的证明,垂直关系的问题中可以优先考虑三垂线定理的应

用. [证明] (1)∵ABCD-A1B1C1D1 为正方体, ∴DC⊥面 BCC1B1,B1D 在面 BCC1B1 内的射影为 B1C. ∵BCC1B1 为正方形,∴BC1⊥B1C. ∴BC1⊥B1D,即 B1D⊥BC1.(三垂线定理) (2)(1)中证明了体对角线 B1D 与面对角线 BC1 垂直,同理可证:B1D⊥AD1,B1D⊥AC. ∴B1D⊥平面 ACD1. (3)设 AC 与 BD 的交点为 O′ , 则平面 BB1D1D 与平面 ACD1 的交线为 O′ D1, 则 O′ D1 与 B1D 的交点即为 O, ∵BD∥B1D1, ∴△OO′ D∽△OD1B1, DO O′ D 1 ∴OB1=B1D1=2, ∴DO∶OB1=1∶2. 15.如图 1,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E 是 BC 的中点.将△ABE 沿A E 折起后如图 2,使二面角 B-AE-C 成直二面角,设 F 是 CD 的中点,P 是棱 BC 的中点.

(1)求证:AE⊥BD; (2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC,并说明理由. 解析:(1)证明:设 AE 中点为 M, ∵在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E 是 BC 的中点, ∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形.∴BM⊥AE,DM⊥AE. ∵BM∩ DM=M,BM、DM? 平面 BDM, ∴AE⊥平面 BDM. ∵BD? 平面 BDM,∴AE⊥BD. (2)证明:连接 CM 交 EF 于点 N,∵ME 綊 FC, ∴四边形 MECF 是平行四边形. ∴N 是线段 CM 的中点. ∵P 是 BC 的中点,∴PN∥BM. ∵BM⊥平面 AECD,∴PN⊥平面 AECD. 又∵PN? 平面 PEF,∴平面 PEF⊥平面 AECD. (3)解:DE 与平面 ABC 不垂直. 证明:假设 DE⊥平面 ABC,则 DE⊥AB, ∵BM⊥平面 AECD.∴BM⊥DE. ∵AB∩ BM=B,AB、BM? 平面 ABE, ∴DE⊥平面 ABE.

∴DE⊥AE,这与∠AED=60°矛盾. ∴DE 与平面 ABC 不垂直.


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