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2015年4月2015届高三第三次全国大联考(新课标I卷)理数卷(正式考试版)


… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

开始 绝密★启用前 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是( A. ? 1 ? b ? 0 C. b ? 2 ) 输入 a,b

【学科网学易大联考】2015 年高三第三次全国大联考统考 【新课标 I 卷】理科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分)
1.设集合 M ? { y | A. ? 3, ?? ?

B. b ? 2 或 b ? ?1
6

D. b ? ?1 是 a?8 否 a=a+b C. 5 D. 25
2 5

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x2 y 2 ? ? 1} , N ? x | 2 x?1 ? 1 ,则 M ? ?CR N ? ? ( 25 9
B. ? ?2, ?1? C. ? ?1,3?
20

?

?



4 ? x? y?2?0 ? 8. 设 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 ,若使函数 ?2 x ? y ? 3 ? 0 2 ?

D. ? ?1,3?

Z ? ax ? by(2b ? a ? 0) 的最大值为 10 ,求 ab 的
15 10 5

输出 a
10

2.

? ?1 ? 3i ? z?
23
A. 2

最大值( A.

) B.

结束

3

?1 ? 2i ,则 z ? ( ) ? 2 ?i
B. 2
2 2

25 7

5 7

C. 5

D. 1

9. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且 a1 ? a2 4 ? 10, a3 ? a4 ? 26 则过点 P ( n,

1 2 3. 已知双曲线 my ? x ? 1(m ? R) 与抛物线 y ? x 有相同 8
的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( A. y ? ? 3x B.y ? ? )

x 1 1 正视图 侧视图 1 1 俯视图

Sn )和 n

Q(n ? 1,
A. ( ?

Sn ?1 )(n ? N *) 的直线的一个方向向量是( 6 n ?1
B. (?1, ?2)
8



1 , ?2) 2

C. ( ?

1 , ?4) 2

D. (2, )

1 4

3 x 3

C.y ? ?

1 x 3

D.y ? ?3x

10.设偶函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,
10

2 4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于 ,则图中 3
的 x 的值( A. 2 B. 3 ) C.1

MK ? ML ? 0 , | KL |? 1 , ML ?
3 4
1 4

2 1 , 则 f ( ) 的值为 ( 6 2 12
1 2
14



4 D. 3

A. ?

B. ?

C. ?

D.

3 4

5. 若 a 和 b 是计算机在区间 (0, 2) 上产生的均匀随机数,则一元二次不等式

11. 已知 ? ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且 16

ax ? 4x ? 4b ? 0 ? a ? 0? 的解集不是为 R 的概率为( )
2

cos A ?

2 2 16? ,三棱锥 O- ABC 的体积为( ,BC=1,AC=3,则球 O 的表面积为 18 3
B.



A.

1 ? 2 ln 2 4

B.

3 ? 2 ln 2 4

C.

1 ? ln 2 2

D.

1 ? ln 2 2

A.

6. 运行如图所示的流程图,如果输入 b ? 2 ,经过四次循环后输出的 a ? 9 ,则输入正数 a 的值 可能为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

15 6

14 6

C.

2 2 3

D.

3 4

12. 设函数 f ? x ? ?

1? a 2 x ? ax ? ln x ( a ? R ) .若对任意 a ? ? 3, 4 ? 及任意 x1 , x2 ??1,2? ,恒 2


2 2 7. 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? b ? 1, (a, b ? R) ,函数 f ( x ? 1) 是偶函数,若当 x ? ?? 1,1?

?a 有


2

? 1?

2

m ? ln 2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,则实数 m 的取值范围是(

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… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

A. m ?

1 15

B. m ?

1 15

C. m ?

4 15

D. m ?

4 15

(Ⅱ) 在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2sin A sin C ? cos 2 B ? 1 . 求

第Ⅱ卷(共 90 分)

[来源:Z,xx,k.Co m]

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸 上)

?? ? g ? B ? ? 3 f ? B ? ? f ? B ? ? 的取值范围. 4? ?
18. (本小题满分 12 分)袋中装有形状、大小完全相同的五个乒乓球,分别标有数字1, 2,3, 4,5 . . 现每次从中任意抽取一个,取出后不再放回. . (Ⅰ)若抽取三次, 求前两个乒乓球所标数字之和为偶数的条件下, 第三个乒乓球为奇数的概率; (Ⅱ)若不断抽取,直至取出标有偶数的乒乓球为止,设抽取次数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列 y A 及数学期望. 19.(本小题满分 12 分)如 图,在菱形 ABCD 中,

a? ? 13. 二项式 ? x ? 1? ? x ? ? 的展开式中的常数项是 160 ,则实数 a 的值 x? ?
14. 设 a, b 为两个垂直的单位向量, 若 c 满足 c ? (a ? b) ?

6

15. 过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两个不同的 点, 过 A, B 分别作抛物线的切线, 且二者相交于点 C , 则 ?ABC 的 面积的最小值 16.以下四个命题中: ①设随机变量 ? 服从正态分布 N( ,若 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 1,? 2) F O B C x

AB ? 4 , ?DAB ? 60? ,

E,F 分别是边 CD , CB 的
中点, AC

P(0 ? ? ? 1) 的值为 0.4 ;②命题 P: ?x ? N , x3 ? x2 ;命题 q:

EF ? O ,沿

?a ? (0,1) (1, ??) ,函数 f ( x) ? log a ( x ?1) 的图象过点 (2, 0) ,

EF 将△ CEF 翻折到△ PEF ,连接 PA,PB,PD ,得到如图的五棱锥 P ? ABFED .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 POA ; (Ⅱ)若 PB ? 10 ,求二面角 B ? AP ? O 的大小. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x 则 p ? q 为假命题;③己知函数 f ( x) ? ln x ? ,则函数 f ( x ) 的零点所在的区间是 ? 2,3? ;④ 4
正偶数列有一个有趣的现象:① 2 ? 4 ? 6 ;② 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? 16 ;③

18 ? 20 ? 22 ? 24 ? 26 ? 28 ? 30,
命题的为 .

按照这样的规律,则 2012 在第 31 个等式中;其中真

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 P 在椭圆 C 上,且 a 2 b2

3 . PF 1, F 1F2 , PF 2 构成等差数列,右焦点 F2 到直线 l1 : 3x ? 4 y ? 0 的距离为 5
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点 F2 斜率为 k ? k ? 0? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点,A 为椭圆的右顶 点,直线 AE,AF 分别交直线 x ? 3 于点 M,N,线段 MN 的中点为 P,记直线 PF2 的斜率为 k ? , 求证: k ? k ? 为定值. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. )
?? ? 17. (本小题满分 12 分)知函数 f ( x) ? A sin ? ? x ? ? ? A ? 0, ? ? 0 ? 的图象在 y 轴右侧的第一个最 6? ?
高点和第一个最低点的坐标分别为 ? x0 , 2? 和 ? x0 ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

? ?

?

? , ?2 ? . 2 ?

1 2 ax ? bx ? ln x ,其中 a, b ? R . 3

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

2, 则 c 的最大值为

… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 1, f ?1? 处的切线斜率为 ?2 ,在 x ? 2 取得极值点,求函数 f ( x ) 的解 析式; (Ⅱ)当 a ? 0 ,且 a 为常数时,若函数 h( x) ? x[ f ( x) ? ln x] 对任意的 x1 ? x2 ? 4 ,总有

?

?

h( x1 ) ? h( x2 ) ? ?1 成立,试用 a 表示出 b 的取值范围. x1 ? x2
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做的第一个题目计分. 22.(本题满分 10 分) 选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 直径, 且 AB ? BC , 圆 O 交 AC 于 点E, 过圆心 O 作 OD AC , 交 BC 边于 D , 交圆 O 于M . (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB . 23. (本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 x?y 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆锥曲线 C 的极坐标方程为

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?2 ?

12 ,定点 A 0,? 3 , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点. 3 ? sin 2 ?

?

?

(Ⅰ)求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)设(Ⅰ)中直线 l 与圆锥曲线 C 交于 M , N 两点,求 F 1M ? F 1N . 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若不等式 2 ? x ? 2 ? x ? k 的解为 x ? 3 ? x ? 3 . (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a, b, c 是长方体的三条棱长,其外接球的半径为 求 m ? n 的最大值?

?

?

k k 3 ,设 m ? ( , , k ), n ? (a, b, c) , 6 2 2

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