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数学(文)卷·2015届安徽省六校教育研究会高三第一次联考试卷(2014.08)


安徽省六校教育研究会 2015 届高三第一次联考 数 学 试 题(文科)
(满分:150 分,时间:120 分钟) 第I卷
【试卷综析】本试卷是高三第一次联考文科试卷,本试卷以基础知识和基本技能为载体,以 能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重 视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试

题重点考查:数列、三角、概率、直线与圆、立体几何综合问题、程序框图、平面向量、 基本不等式、函数等;考查学生解决实际问题的综合能力。是份非常好的试卷.

一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 【题文】1.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, 0 ? ,则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为( A. ? ?1,1? B. ? 0, )

? ?

1? ?1 ? ? C. ? -1, 0 ? D. ? ,1? 2? ?2 ?

【知识点】函数的定义域 B1 【答案解析】B 解析:因为函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, 0 ? ,所以﹣1<2x﹣1<0,得 0<x <

1 ,所以选 B 2

【思路点拨】函数的定义域就是其自变量构成的集合,若函数 f ? 2 x ? 1? 有意义,则 2x﹣1 必须满足函数 f(x)的定义域要求. 【题文】2.已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 4, 公比 q ? ? , ,则 ?an ? 的前 10 项和等于( A. ?6 1 ? 3?10 B.

1 3

)

?

?

1 1 ? 3?10 ? C. 3 ?1 ? 3?10 ? D. 3 ?1+3?10 ? ? 9
1
2 2
正视图 侧视图

【知识点】等比数列前 n 项和公式 D3

? ? 1 ?10 ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? 3 1 ? 3?10 ,所 【答案解析】C 解析:因为 S10 ? ? ? ? 1 1? 3
以选 C. 【思路点拨】直接利用等比数列求和公式求和即可. 【题文】3.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )

1 1
俯视图 第 3 题图

A. 4

B.

14 3

C.

16 3

D. 6

【知识点】空间几何体的三视图 G2 【答案解析】B 解析:由四棱台的三视图可知该四棱台为上、下底面分别为边长 1 和 2 的 正方形,高为 2,则其体积为 ? 2 ? ?1 ? 4 ? 2 ? ?

1 3

14 ,所以选 B. 3

【思路点拨】 由三视图求几何体的体积关键是由三视图正确分析原图形的几何特征, 找出对 应的量进行计算. 【题文】4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图像向左平移 于( )对称. B.原点(0,0) C.直线 x ?

?
6

个长度单位后,所得到的图像关

A. y 轴

?
3

D.点 (

5? , 0) 6

【知识点】三角函数图象变换,两角差的余弦公式 C4 C5 【答案解析】A 解析:因为 y ? 3 cos x ? sin x ? 2cos ? x ?

? ?

??

? ? ,向左平移 个长度单位 6 6?

后,所得到的图像解析式为 y=2cosx 为偶函数,所以关于 y 轴对称,则选 A. 【思路点拨】 一般遇到三角函数中的图象变换问题, 能化成一个角的三角函数应先化简再解 答. 【题文】5.已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3,4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上 的投影为( A. )

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【知识点】向量的投影 F3 【答案解析】A 解析:因为 AB ? ? 2,1? .CD ? ?5,5? 所以 AB ? CD ? 10 ? 5 ? 15 ,

CD ? 5 2 ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为

AB ? CD CD

?

15 3 2 ,所以选 A. ? 2 5 2

【思路点拨】理解向量的投影概念,掌握向量的投影计算公式是本题的关键. 【题文】6.已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > 为( )

1 2

? ,则 f (10 x )>0 的解集
D. ? x |x <-lg2

A. ? x |x <-1或x >lg2

?

B. ? x |-1<x <lg2

?

C. ? x |x >-lg2

?

?

【知识点】一元二次不等式的解法 E3

【答案解析】D 解析:因为一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > 等式 f(x) >0 的解集为 ? x ?1 ? x ?

1 2

? ,所以不

? ?

1 1? x 则由 f (10 x )>0 得 ?1 ? 10 ? , 解得 x<﹣lg2, ? , 2 2?

所以选 D. 【思路点拨】 掌握一元二次不等式的解集与其对应的二次函数及二次方程的关系是解题的关 键. 【题文】7.设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则( )

A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c 【知识点】利用对数的性质比较大小 B7 【答案解析】D 解析:因为 a ? log3 2 ? 1, b ? log5 2 ? 1, c ? log 7 2 ? 1 ,而

log 2 3 ? log 2 5 ? log 2 7 所以 log3 2 ? log5 2 ? log7 2 ,所以 log3 2 ? 1 ? log5 2 ? 1 ? log7 2 ? 1 ,即 a>b>c,则选 D.
【思路点拨】 比较对数的大小时可利用对数的运算性质转化为同底的对数, 再利用相应的对 数函数的单调性比较大小. 【题文】8.已知 P, Q 是函数 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? (m ? 1) 的图象与 x 轴的两个不同交点,
2

其图象的顶点为 R ,则 ?PQR 面积的最小值是(



A.1

B. 2

C. 2 2

D.

5 2 4

【知识点】二次函数 B5 【答案解析】A 解析:因为二次函数的顶点纵坐标为

?4 ? m ? 1? ? ? m ? 1? m2 ? 2m ? 5 ,又二次函数与 x 轴的两交点横坐标为 ?? 4 4
2

m ?1?

? m ? 1?
2
2

2

? 4 ? m ? 1? m ? 1 ? ,

? m ? 1?
2

2

? 4 ? m ? 1?

,则 PQ 长度为

? m ?1?

? 4 ? m ? 1? ? m2 ? 2m ? 5 ,所以 ?PQR 面积为

1 m 2 ? 2m ? 5 1 ? ? m 2 ? 2m ? 5 ? ? 2 4 8
所以选 A.

?m

2

3 1 ? 2m ? 5 ? ? ? 8

?? m ?1? ? 4?
2

3

1 ? ?8 ? 1 8

【思路点拨】利用二次函数求出其顶点坐标及与 x 轴的交点坐标得出其面积,再求最小值.

【题文】 9. 从[-4,4]上任取一个数 x, 从[-4,4]上任取一个数 y,则使得 x ? y ? 4 的概率是 ( ) A.

1 1 1 3 B. C. D. 5 3 2 4

【知识点】几何概型 K3 【答案解析】C 解析:因为点(x,y)在边长为 8 的正方形区域内,其面积为 64,满足不等 式 x ? y ? 4 的点对应的区域为前面正方形内的一个边长为 4 2 的正方形区域,其面积为 32,所以所求的概率为

32 1 ? ,则选 C. 64 2

【思路点拨】求几何概型的概率问题,若所求事件与两个变量有关,可转化为面积比进行求 值. 【题文】10.在 ?ABC 中,若 A. a, b, c 依次成等差数列
2 2 2

1 1 1 依次成等差数列,则( , , tan A tanB tanC
B. a , b , c 依次成等比数列
2 2 2



C. a , b , c 依次成等差数列 D. a , b , c 依次成等比数列 【知识点】同角三角函数基本关系式、两脚和的三角函数,余弦定理、正弦定理 D2 C2 C8 【答案解析】 C 解析:因为

1 1 1 依次成等差数列,则 , , tan A tanB tanC

2 1 1 2 cos B cos A sin C ? sin A cos C sin B ? ? ? ? ,得 ,得 tan B tan A tan C sin B sin A sinC sin A sinC

2cos B ?

sin 2 B a 2 ? c 2 ? b2 b2 2 2 2 ? , a ? c ? b ? b2 , a 2 ? c 2 ? b2 ,所以选 C. , sin A sin C ac ac

【思路点拨】 由角的关系推导边的关系经常利用余弦定理或正弦定理转化, 本题可先切化弦, 整理后利用余弦定理和 正弦定理化成边的关系,即可解答. 二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 【题文】11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量 都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图所示. (I)直方图中 x 的值为 ; (II)在这些用户中,用电量落在区间 ?100,250 ? 内的户数 为 .

【知识点】频率分布直方图 I2 【答案解析】 (I)0.0044 (II)70 解析: (I)因为 0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x× 50+0.0024×50+0.0012×50=1,解得 x=0.0044 (II)因为用电量落在区间 ?100, 250 ? 内频率

为 0.0036×50+0.0060×50+0.0044×50=0.7, 所以用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为 100 ×0.7=70. 【思路点拨】 频率分布直方图中每个区间上的频率等于对应的矩形面积, 所有的矩形面积和 等于 1 【题文】12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i? . 【知识点】程序框图 L1 【答案解析】 5 解析:第一次执行循环体得 a=5,i=2;第二次执行循 环体得 a=16,i=3;第三次执行循环体得 a=8,i=4; 第四次执行循环体得 a=4,i=5;此时满足判断框条件,输出 i=5. 【思路点拨】对于循环结构的程序框图,可依次执行循环体,直到满足 条件跳出循环体,当循环次数较多时可结合数列知识进行解答. 【题文】13.设 x、y、z?R+,若 xy + yz + zx = 1,则 x + y + z 的取值范 围是__________. 【知识点】基本不等式 E6 【答案解析】 ? 3, ??
是 开始

a ? 10, i ? 1

a ? 4?




a 是奇数



?

a ? 3a ? 1 i ? i ?1

a?

a 2

输出

i
结束

?

?
?

解析:因为 x、y、z?R+,若 xy + yz + zx = 1,则

?x ? y ? z?

2

? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 xy ? 2 xz ? 2 yz ? 3xy ? 3xz ? 3 yz ? 3 , 所以 x ? y ? z ? 3 ,

即 x + y + z 的取值范围是 ? 3, ??

?

【 思 路 点 拨】 熟悉 由基本 不等 式导出 的一 些常见 结论 是解题 的关 键,本 题利 用结 论

x2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? xz ? yz 即可解答.
? x ? 0, ? 【题文】14.记不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? a ? x ? 1? 与 D 公 ?3 x ? y ? 4, ?
共点,则 a 的取值范围是 . 【知识点】二元一次不等式组表示的平面区域,直线的斜率 E5 H1 【答案解析】 ? , 4 ? 解析:不等式组表示的平面区域如图为三角形 ABC 区域,其中 A、 ?2 ? B 坐标分别为(1,1),(0,4),实数 a 为区域内的点与点(-1,0)连线的直线的斜率,显然经 过点 A 时斜率最小为

?1

?

1 1 ?1 ? ? ,经过点 B 时斜率最大为 4,所以实数 a 的范围是 ? , 4 ? 1?1 2 ?2 ?

【思路点拨】 一般遇到二元一次不等式组问题时通常转化为线性规划问题, 结合代数式的几 何意义数形结合进行解答.

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 【题文】15.已知 M 、 m 分别是函数 f ( x) ? 的最大值、最小值, 2 x 2 ? cos x
则 M ? m ? ____ . 【知识点】三角恒等变换、奇函数的图象 B4 C5 【答案解析】2

?

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x sin x ? cos x ? 2 x 2 ? x sin x ? x 4 解析: 因为 f ( x) ? , 而函 ? 1? 2 2 2 2 x ? cos x 2 x ? cos x 2 x ? cos x
数y?

?

sin x ? x 显然为奇函数,设其最大值为 T,最小值为 t,则有 T+t=0,所以有 2 x 2 ? cos x

M+m=T+1+t+1=2. 【思路点拨】 通过对所给函数变形发现其局部的奇函数特征, 利用奇函数的图象关于原点对 称进行解答即可. 三、解答题(本题 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 把解题过程和步骤写在答题卷上。 ) 【题文】16.(12 分) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 推导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列. 【知识点】等比数列 D3 【答案解析】 (1)当 q≠1 时, Sn ?

a1 ?1 ? qn ? 1? q

?

a1 ? an q ,当 q=1 时, Sn ? na1 (2)略 1? q
? a1qn ,两

解析:(Ⅰ) 因为 Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ?

? a1qn?1 , qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ?

式相减得 ?1 ? q ? S n ? a1 ? a1q ? a1 1 ? q
n

?

n

? ,所以当 q≠1 时,S
2

n

?

a1 ?1 ? qn ? 1? q

?

a1 ? an q , 1? q

当 q=1 时,数列为常数列, Sn ? na1 (Ⅱ) 证明:假设数列 {an ? 1} 是等比数列,则有 ? a1q ? 1? ? ? a1 ? 1? a1q ? 1 ,整理得
2

?

?

a1 ? q ? 1? ? 0 ,因为 a1 ≠0,所以 q=1 与已知 q≠1 矛盾,所以数列 {an ? 1} 不是等比数列.
2

【思路点拨】错位相减法求数列的前 n 项和是常见的求和思路,也是高考常考的一种题型; 对于证明不是或者不成立等问题,当直接证明不方便时,可考虑用反证法证明. 【题文】 17. (12 分)甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品 (生产条件要求 1 ? x ? 10 ) , 每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求 最大利润. 【知识点】 一元二次不等式的解法、 换元法求函数的最值, 函数模型的选择与应用 E3 B3 B10 【答案解析】 (1)3≤x≤10; (2)x=6 千克/小时时,该产品获得的利润最大为 457500 元 解析: (1)由已知得 100 ? 5 x ? 1 ?

3 x

? ?

3? ? ? 2 ? 3000 ,解得 3≤x≤10; x?

(2)设甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品,获得的的利润为 W 元,则有

1 3 ? 900 ? ? 3 1 ? W ? 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? ? 90000 ? ? 2 ? ? 5 ? ,令 t ? ,则 x x? x x ? ? x ?
W ? 90000 ? ?3t 2 ? t ? 5 ? ,所以当 t ?

1 即 x=6 千克/小时时,该产品获得的利润最大为 6

457500 元 【思路点拨】对于函数应用题,结合已知条件建立对应的函数模型,再利用函数解决实际问 题. 【题文】 18 . (12 分 ) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c 。已知

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【知识点】三角形面积、正弦定理 C8 C6 【答案解析】 (I) ; (II)

? 3

5 7

解析: (1)cos 2 A ? 3cos A ? 1 ? 2 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0

? (cos A ? 2)(2 cos A ? 1) ? 0 ? cos A ?

1 ? ? A? 2 3

(2) S ?

1 5 3 ( bc sin A ? c ?5 3 ? c ? 4, 2 4

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 21 ? a ? 21
sin B ? sin A sin A sin 2 A 5 b,sin C ? c ? sin B sin C ? bc ? 2 a a a 7

【题文】19.(13 分)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ) 证明: 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 【知识点】两面平行的判定定理,棱柱的体积 G4 G7 【答案解析】 (1)略; (2)1 解析: (1)∵A1B1 和 AB,AB 和 CD 分别平行且相等, ∴A1B1 和 CD 平行且相等, 即有四边形 A1B1 CD 为平行四边形,∴A1D 和 B1C 平行,同理 A1B 和 D1C 也平行,有 D1C 和 B1C 是相交的(相交于 C) ,故平面 A1BD 平 行于 CD1B1 (2)? A1O ? 面ABCD ? A1O是三棱柱A1 B1 D1 ? ABD的高 .
在正方形 AB CD 中,AO = 1 .
A D1 A1 B1 C1

D O B

C

在RT?A1OA中,A1O ? 1. (
1 ? ( 2 ) 2 ?1 ? 1 . 2

三棱柱A1 B1 D1 ? ABD的体积V A1B1D1 ? ABD ? S ?ABD ? A1O ?
所以, 三棱柱A1 B1 D1 ? ABD的体积V A1B1D1 ? ABD ? 1

【思路点拨】 证明两面平行主要是利用两面平行的判定定理, 求棱柱的体积通过其体积公式 【题文】20.(13 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆

C 的半径为 1 ,圆心在 l 上.
(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线 的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取 值范围. 【知识点】圆的综合应用 H3 H4 【答案解析】(1) y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ;(2) ?0, ? ? 5? 解析:解: (1 )由 ? y A O l

x

? 12 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2 ) ,∵圆 C 的半径为 1 ,∴圆 C 的方程为: ?y ? x ?1

( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1
显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) ? y ? ( 2a ? 4)
2

?

?2 ? 1

又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为 (x,y) 则 设为圆 D ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴
2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整理得:x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
即圆 C 和圆 D 有交点

2 ? 1 ? a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
? 12 ? ? 5? ?

解得, a 的取值范围为: ?0,

【思路点拨】求圆的方程,只需确定圆心与半径,即可利用圆的标准方程得到圆的方程,一 般遇到直线与圆相切问题通常利用圆心到直线的距离等于半径建立等量关系进行解答. 【题文】21.(13 分)已知函数 f ( x) ? b ? a (其中 a, b 为常数且 a ? 0, a ? 1 )的图象经过点
x

A(1, 6), B(3, 24).
(1)试确定 f ( x) 的解析式(即求 a, b 的值) (2)若对于任意的 x ? (??,1], 恒有 ( ) x ? ( ) x ? m ? 0 成立,求 m 的取值范围; (3)若 g ( x) ?

1 a

1 b

cxf ( x) ,试讨论 g ( x) 在区间(-1,1)上的单调性. (c ? 0, c 为常数) 2 ( x 2 ? 1)
x

【知识点】函数的综合应用 B1 B3 【答案解析】 (1)f(x)=3 ? 2x (2) m ?

解析: (1)由题知 6=ba,24=ba3,解得 b=3,a=2,即 f(x)=3 ? 2x

5 (3)当 c ? 0 时单调递减;当 c ? 0 时单调递增. 6 1 2 1 3

(2) ( ) x ? ( ) x ? m ? 0 在 (??,1] 上恒成立,即 ( ) x ? ( ) x ? m 在 (??,1] 上恒成立,另

1 2

1 3

1 1 1 1 (2 分) 由于 h(x) ? ( ) x ? ( ) x , h(x) ? ( ) x ? ( ) x , x ? (??,1] ,即 m ? h( x) min , x ? (??,1] 2 3 2 3

是减函数,故 h( x) min ? h(1) ? (3) g ( x) ?

5 5 ,即 m ? 6 6

3cx , x ? ( ?1,1) ,下证单调性。 x2 ?1

任取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1, 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

3cx1 3cx 3c( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) , ? 2 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

由 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 知

3( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) ? 0 ,故 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

3cx , x ? ( ?1,1) 单调递减; x2 ?1 3cx 当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x) ? 2 , x ? ( ?1,1) 单调递增. x ?1
当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x) ? 【思路点拨】 一般由不等式恒成立求参数的取值范围, 可通过分离参数转化为求函数的最值 问题;证明函数的单调性一般有定义法和导数法两种方法.


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