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福建省德化一中2015年春季高二数学周练2 理


德化一中 2015 年春季高二数学周练 2
班级 座号 姓名 成绩 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) , 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一. 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 3 (1+i) 1.计算 D )A.1+i B

.1-i C.-1+i D.-1-i 2=( (1-i) 2.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > 2 x +1 y +1
2

x

y

)D D.x >y
3 3

B.ln(x +1)>ln(y +1)

2

2

C.sinx>siny

→ → → 3.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则 → 下列向量中与B1M相等的向量是( 1 1 A.- a+ b+c 2 2 )A 1 1 C. a- b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2 )D

1 1 B. a+ b+c 2 2

4.执行下图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=(

A.4

B.5

C.6

D.7

5.已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 a1+a2 012=1,a2 013=-1 006,则使 Sn 取最值时 n 的 值为( D ) A.1 005 B.1 006 )A C.1 007 D.1 006 或 1 007

6.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(

A.设数列{an}前 n 项和为 Sn,由 an=2n-1 求出 S1=12,S2=22,S3=32,?,推断:Sn=n2 B.由 f(x)=xcosx 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcosx 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab a b
2 2 2 2

D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N ,(n+1) >2
2

2

1

2

2

2

3

*

2

n

7.不等式|x+3|-|x-1|≤a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞)

)A

C.[1,2]

D.(-∞,1]∪[2,+∞)

8.△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹 方程是( )C

A. - =1 9 16

x2

y2

B.

- =1 16 9
2

x2

y2

C. - =1(x>3) D. - =1(x>4) 9 16 16 9

x2

y2

x2

y2

9.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为半 径的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) )C D.[2,+∞) )D

10. 已知函数 f(x)=lnx+

1 ,则下列结论中正确的是( lnx

A.若 x1,x2(x1<x2)是 f(x)的极值点,则 f(x)在区间(x1,x2)内是增函数 B.若 x1,x2(x1<x2)是 f(x)的极值点,则 f(x)在区间(x1,x2)内是减函数 C.? x>0,且 x≠1,f(x)≥2 D.? x0>0,f(x)在(x0,+∞)上是增函数 11.要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 )C
3

→ → 2 12.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA·OB=2(其 中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 B.3 C. 17 2 8 D. 10 共 90 分) )B

第Ⅱ卷(非选择题

二. 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置上) 2 2 13. 若实数 x,y 满足 xy=1,则 x +2y 的最小值为________. 14. 给出下列四个命题: ①命题“若 α =β ,则 cosα =cosβ ”的逆否命题; ②“? x0∈R,使得 x0-x0>0”的否定是:“? x∈R,均有 x -x<0”; ③命题“x =4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}? {a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) 15.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,P 为椭圆 C 25 9 上的一点,且 PF1⊥PF2,则△PF1F2 的面积为________. 16. 若点 P 是曲线 y=x -lnx 上任意一点, 则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为________. 三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,把答案填在答题卷的相应位置上)
2 2 2 2

x2

y2

17.(本小题满分 12 分) 有两个不透明的箱子, 每个箱子都装有 4 个完全相同的小球, 球上分别标有数字 1, 2, 3,4. (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸出一个球,谁摸出的球上标 的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率; (2)摸球方法与(1)同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相 同则乙获胜,这样规定公平吗?

18.(本小题满分 12 分) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn= (n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

Sn n

*

19.(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)若 AB=BB1=2,求 A1D 与平面 AC1D 所成角的值.

20.(本小题满分 12 分) x2 y2 已知点 F1,F2 分别为椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆 C 上的一 a2 b2 点,且|F1F2|=2,∠F1PF2= (1)求椭圆 C 的方程; π 3 ,△F1PF2 的面积为 . 3 3

?5 ? (2)点 M 的坐标为? ,0?,过点 F2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, ?4 ?
→ → 对于任意的 k∈R,MA·MB是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 3 2 已知 a 为给定的正实数,m 为实数,函数 f(x)=ax -3(m+a)x +12mx+1. (1)若 f(x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (2)若存在 x0∈(0,3),使得 f(x0)是 f(x)在[0,3]上的最值,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 10 分) 已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1·z2 是实数,求 z2.

一、 题号 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 2; 14. ①④; 15. 9 ; 16. 2. 三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,把答案填在答题卷的相应位置上) 17.解:(1)用(x,y)(x 表示甲摸到的数字,y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成 的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2, 3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个, 设甲获胜的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4, 6 3 2),(4,3),共有 6 个,则 P(A)= = . 16 8 (2)设甲获胜的事件为 B,乙获胜的事件为 C.事件 B 所包含的基本事件有:(1,1), 4 1 (2,2),(3,3),(4,4),共有 4 个,则 P(B)= = , 16 4 1 3 ∴P(C)=1-P(B)=1- = . 4 4 P(B)≠P(C),所以这样规定不公平. 18. 解: (1)由已知得?

德化一中 2015 年春季高二数学周练 2 参考答案 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

?a1= 2+1, ?3a1+3d=9+3 2,

∴d=2,

故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). (2)证明:由(1)得 bn= =n+ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq=bpbr. 即(q+ 2) =(p+ 2)(r+ 2). ∴(q -pr)+(2q-p-r) 2=0.
? ?q -pr=0, ∵p,q,r∈N ,∴? ? ?2q-p-r=0.
* 2 2 2 2

Sn n

∵?

?p+r?2=pr,(p-r)2=0, ? ? 2 ?

∴p=r.与 p≠r 矛盾. 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列. 19. 解: (1)证明:∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴四边形 A1ACC1 是矩形.

连接 A1C 交 AC1 于 O,则 O 是 A1C 的中点, 又 D 是 BC 的中点,如图. ∴在△A1BC 中,OD∥A1B. ∵A1B?平面 ADC1,OD? 平面 ADC1, ∴A1B∥平面 ADC1. (2)因为△ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC.

以 D 为原点, 建立如图所示空间坐标系 D-xyz.由已知 AB=BB1=2, 得 D(0,0,0), A( 3, 0,0),A1( 3,0,2),C1(0,-1,2). → → 则DA=( 3,0,0),DC1=(0,-1,2), 设平面 AC1D 的法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n·DA=0, 由? → ?n·DC ? 1=0,

? 3x=0, 得? ?-y+2z=0.

取 z=1,则 x=0,y=2,即 n=(0,2,1). → 又DA1=( 3,0,2), → ∴cos〈DA1,n〉= 2 35 = . 35 5× 7 2

设 A1D 与平面 ADC1 所成角为 θ , 2 35 → 则 sinθ =|cos〈DA1,n〉|= , 35 2 35 故 A1D 与平面 ADC1 所成角的正弦值为 . 35 20. 解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理得 2 =m +n -2mncos 化简得,m +n -mn=4.
2 2 2 2 2

π , 3

由 S△PF1F2=

3 1 π 3 ,得 mnsin = . 3 2 3 3

4 化简得 mn= . 3 于是(m+n) =m +n -mn+3mn=8. ∴m+n=2 2,由此可得,a= 2. 又∵半焦距 c=1,∴b =a -c =1. 因此,椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (2)由已知得 F2(1,0),直线 l 的方程为 y=k(x-1),
2 2 2 2 2 2

x2

2

y=k x- ? ? 2 由?x 2 +y =1 ? ?2
2



消去 y,得(2k +1)x -4k x+2(k -1)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 4k k- ,x1x2= 2 2 2k +1 2k + 1
2 2

2

2

2

.

5 5 5? ? 5? → → ? ? ? ? ? ∵MA·MB=?x1- ,y1?·?x2- ,y2?=?x1- ??x2- ?+y1y2 4 4 4? ? 4? ? ? ? ? ? 5? ? 5? 25 ? ? 2 5? 2 2 2 =?x1- ??x2- ?+k (x1-1)(x2-1)=(k +1)x1x2-?k + ?(x1+x2)+ +k 4? ? 4? 4? 16 ? ? 5? 2? 2 4k ?k + ? 2 4? 25 2k -2 -4k -2 25 7 ? 2 2 =(k +1) 2 - + +k = + =- . 2 2 2k +1 2k +1 16 2k +1 16 16
2

7 → → 由此可知MA·MB=- 为定值. 16 21. 解(1)由题意得 f′(x)=3ax -6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m), 2m 由于 f(x)在(0,3)上无极值点,故 =2 即 m=a.
2

a

(2)由于 f′(x)=3(x-2)(ax-2m),故 ①当 2m 2m 3 ≤0 或 ≥3,即 m≤0 或 m≥ a 时, a a 2

3 取 x0=2 即满足题意.此时 m≤0 或 m≥ a. 2 ②当 0< 2m

a

<2,即 0<m<a 时,列表如下:

x f′(x) f(x)

0

?0,2m? ? a? ? ?


2m

a
0 极大值

?2m,2? ?a ? ? ?
- 单调递减

2 0 极小值

(2,3) + 单调递增

3

1

单调递增

9m+1

?2m? 故 f(2)≤f(0)或 f? ?≥f(3), ?a?
即-4a+12m+1≤1 或 即 3m≤a 或 ③当 2< 2m -m -4m +12m a
3 2

a
2

2

+1≥9m+1,

m-3a a2

a 3a a ≥0,即 m≤ 或 m≤0 或 m= .此时 0<m≤ . 3 2 3

a

<3,即 a<m< (0,2) +

3a 时,列表如下: 2 2 0 极大值

x f′(x) f(x)

0

?2,2m? ? a? ? ?
- 单调递减

2m

a
0 极小值

?2m,3? ?a ? ? ?
+ 单调递增

3

1

单调递增

9m+1

?2m? 故 f? ?≤f(0)或 f(2)≥f(3), ?a?
3

即 即

-4m +12m a

2

a
-4m
2

2

+1≤1 或-4a+12m+1≥9m+1,

m-3a 4a 4a 3a ≤0 或 3m≥4a,即 m=0 或 m≥3a 或 m≥ .此时 ≤m< . a2 3 3 2

a 4a 综上所述,实数 m 的取值范围是 m≤ 或 m≥ . 3 3
22.解:∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R,则 z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·z2∈R,∴a=4. ∴z2=4+2i.


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