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3.2直线的方程(教师版)


3.2 直线的方程
? 知识要点
形 式 点斜式 斜截式 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 局限 除 x=x1 外 除 x=x0 外 各常数的几何意义 (x1,y1)是直线上一个定点,k 是斜率 k 是斜率,b 是 y 轴上的截距 (x1,y1)、 2,y2)是直线上两个 (x 定点 a 是 x 轴上的非零截距,b 是 y 轴上的非零截距

>
两点式

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

除 x=x0 和 y=y0 外

截距式

x y ? =1 a b

除 x=x0、 0 及 y=kx y=y 外

一般式

Ax+By+C=0



当 B≠0 时,-

A C 是斜率,- 是 B B

y 轴上的截距

? 经典例题
题型一:求直线的方程

例题1

求直线 y=- 3 (x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转 30° 所得的直线方程.

解:设直线 y=- 3 (x-2)的倾斜角为 α,则 tanα=- 3 , 又∵α∈[0° ,180° ), ∴α=120°. ∴所求的直线的倾斜角为 120° =90° -30° .∴直线方程为 x=2. 例题2 设△ABC 的顶点 A(1, 边 AB、 上的中线所在直线的方程分别为 x-2y+1=0, 3), AC y=1,求△ABC 中 AB、AC 各边所在直线的方程. 活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况,我们首先根据已知条件,画出简图 3, 帮助思考问题. 解:如图 3,设 AC 的中点为 F,AC 边上的中线 BF:y=1.
1/4

AB 边的中点为 E,AB 边上中线 CE:x-2y+1=0. 设 C 点坐标为(m,n),则 F( 又 F 在 AC 中线上,则

n?3 =1, 2

m ?1 n ? 3 ). , 2 2

∴n=-1. 又 C 点在中线 CE 上,应当满足 CE 的方程,则 m-2n+1=0. ∴m=-3.∴C 点为(-3,-1). 设 B 点为(a,1),则 AB 中点 E( 又 E 在 AB 中线上,则

1? a -4+1=0.∴a=5. 2

1? a 3 ?1 1? a ),即 E( ,2). , 2 2 2

∴B 点为(5,1). 由两点式,得到 AB,AC 所在直线的方程 AC:x-y+2=0,AB:x+2y-7=0. 例题3 经过点 A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这 些直线的方程. 解:当截距为 0 时,设 y=kx,又过点 A(1,2),则得 k=2,即 y=2x. 当截距不为 0 时,设

x y x y =1,过点 A(1,2), ? =1 或 ? a ?a a a

则得 a=3,或 a=-1,即 x+y-3=0 或 x-y+1=0. 这样的直线有 3 条:2x-y=0,x+y-3=0 或 x-y+1=0. 变式:1.求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形,并且两截距之差为 3 的直线的 方程. 解:设直线方程为

1 x y ? =1,则由题意知,有 ab=3,∴ab=4. 2 a b

解得 a=4,b=1 或 a=1,b=4. 则直线方程是

x y x y ? =1 或 ? =1,即 x+4y-4=0 或 4x+y-4=0. 4 1 1 4

例题4 已知直线 Ax+By+C=0, (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线? (2)系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? (3)系数满足什么条件时,只与 x 轴相交? (4)系数满足什么条件时,是 x 轴? ( 5 ) 设 P(x0,y0) 为 直 线 Ax+By+C=0 上 一 点 , 证 明 这 条 直 线 的 方 程 可 以 写 成 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 答案: (1)C=0;
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(2)A≠0 且 B≠0; (3)B=0 且 C≠0; (4)A=C=0 且 B≠0; (5)证明:∵P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上, ∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0. ∴A(x-x0)+B(y-y0)=0. 变式:

题型二:综合题型
例题5 求证:不论 m 取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过一个定点,并求 出此定点的坐标. 解:将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0, 它表示过两直线 x+3y-11=0 与 2x-y-1=0 的交点的直线系. 解方程组 ?

? x ? 3 y ? 11 ? 0, ? x ? 2, ,得 ? . ?2 x ? y ? 1 ? 0, ?y ? 3

∴直线恒过(2,3)点. 例题6 过点 M(2,1)作直线 l,分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B,若△ABC 的面积 S 最小,试求直线 l 的方程. 解:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2), 令 x=0,得 y=1-2k,故 B(0,1-2k).令 y=0,得 x= 由题意,知 1-2k>0,

2k ? 1 >0,∴k<0. k

2k ? 1 2k ? 1 ,故 A( ,0). k k

(2k ? 1) 2 1 2k ? 1 1 ∴△ABC 的面积 S= (1-2k)= =2+(-2k ? ). 2k 2 k 2k

1 1 =(-2k)+( ? )≥2,从而 S≥4. 2k 2k 1 1 1 当且仅当-2k= ? ,即 k=- (k= 舍去)时,Smin=4, 2k 2 2 1 ∴直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2
∵k<0,∴-2k ?

课后练习
1. 已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=3,BC=4,直角顶点 C 在原点,直角边 AC 在 x 轴 负方向上,BC 在 y 轴正方向上,求斜边 AB 所在的直线方程. 答案:4x-3y+12=0. (2007 上海高考,理 2)若直线 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1 平行,则 m=____________.

2.

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答案:3.

2 3

(2009 年安徽卷)直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 ( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 3 3 由题意知,直线 l 的斜率为- ,因此直线 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0. 2 2 4. 已知△ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点. (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长;(3)求 AB 边的高所在直线方 程.

y ?5 x ?1 ,即 6x-y+11=0. ? ?1? 5 ? 2 ?1 ?2?4 ? 1? 3 (2)设 M 的坐标为(x0,y0) ,则由中点坐标公式,得 x0= =1,y0= =1, 2 2
解: (1)由两点式写方程,得
2 2 故 M(1,1),AM= (1 ? 1) ? (1 ? 5) =2 5 .

(3)因为直线 AB 的斜率为 kAB= 则有 k× AB=k× k (-6)=-1,∴k=

5 ?1 =-6,设 AB 边上的高所在直线的斜率为 k, ?3? 2

1 . 6 1 (x-4),即 x-6y+14=0. 6

所以 AB 边高所在直线方程为 y-3=

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