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【恒心】2015届四川省石室中学高三一诊模拟数学(理科)试题及参考答案【word版】


石室中学高 2015 届“一诊 ”模拟考试
数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 总分 150 分 一. 选择题(第题 5 分,共 50 分)

1. 已知集合 A.

A ? ? x x ? -2?

,集合 C.

B ? x x2 ? 4

?

/>
? ,则集合 ?? B ? ? A ? ()
R

? 2,+? ? B. ? 2,+? ?

? ??,-2? ? ? 2,+? ?

D.

? ??,-2? ? ? 2,+? ?
()

b 均为单位向量,且它们的夹角为 60 ,那么 2. 已知 a,
B. 3

a ?b ?

A.1

3 C. 2

1 D. 2

3. 设 a,b ? R , i 是虚数学单位,则 “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi 为纯虚数”的() A.充分不必要条件 条件 4.若某程序框图如图所示,则执行该程序输出 P 的值是() A.21 B.26 C.30 D.55 开 始 P=1,n=1 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要

5.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题不正确的是() A.若 m∥n, m ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥? C.若 m ? ?,m∥n, 则? ? ? D.若 m∥?,? ? ? ? n ,则 m∥n 6.一个四棱锥的底面为正方形,其三 视图如图所示,则这个四棱锥的侧面 积是() A. 2 B. 3 2 ? 26 C. 3 2 ? 22 ? 2 D. 3 2 ? 22 7. 函数
正视图

n=n+ 1 P=P+n
2



13
P>20?

1

1

是 输出 P

侧视图

结束

2
俯视图

f ? x ? ? 2 x log 2 e ? 2lnx ? ax ? 3

的一个极值点在区间

2? ?1, 内, 则实数 a 的取值范围是

() A.

3? ?1,

B.

2? ?1,

C.

3? ? 0,

D.

2? ? 0,

2 3 4 5 6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中, 2 8. 将标号为 1,,,,, 若每个盒子放 2 个, 其中标为1,
的小球放入同一个盒子中,则不同的方法共有() A.12 种 B.16 种 C.18 种 D.36 种

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 b 9. 点 F 为椭圆 a 的一个焦点, 若椭圆上存在点 A 使 AOF 为正三角形,
那么椭圆的离心率为()

2 A. 2

3 B. 2

3 ?1 C. 2

D. 3 ? 1

? 0 ? x ≤3 ? lg x , f ? x? ? ? f ? 6 ? x ?, 3 ? x ≤6 f ? x ? ? 2? x ? b ? b ? R ? ? ? 10.已知函数 ,设方程 的四个实根从小
到大依次为 (1) (3) A.3

x1,x2,x3,x4 ,对于满足条件的任意一组实根,下列判断中正确的个数为()
; (2)

0 ? x1 x2 ? 1或0 ? ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1

0 ? x1 x2 ? 1且0 ? ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1



1 ? x1 x2 ? 9或9 ? x3 x4 ? 25 ; 1 ? x1 x2 ? 9且25 ? x3 x4 ? 36 。 (4)
B.2 C.1 D. 0

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二. 填空题(第题 5 分,共 25 分)

cos ? ? ?
11.若
7

?? ? 4 sin ? ? ? ? ? 4? 。 5 ,且 ? 为第三象限角,则 ?

2? ? x? x ? ? x ? 的展开式中, x 2 的系数是。 12. ? (用数字作答)
13 . 函 数

y ? a1? x ? 1? a ? 0, a ? 1?

的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 ? mn ? 0?
14.点

1 1 ? 上,则 m n 的最上值为。
2

P ? a,b ?
2

Q ? c,d ? 在函数 y ? ? x ? 3ln x 的图象上,点 在函数 y ? x ? 2 的图象上,
2

? a ? c ? ? ?b ? d ? 则

的最小值为。

D1
15.正方体 分别在棱

C1 B1 Q

ABCD ? A1 B1C1 D1 为棱长为 1,动点 P,Q
A1

BC,CC1 上, 过点 A,P,Q 的平面截该正方

体 所 得 的 截 面 记 为 S , 设 BP ? x, CQ ? y, 其中

D P A B

C

x,y ? ? 0, 1?

,下列命题正确的是

(写出所有正确命题的编号) ①当 x ? 0 时, S 为矩形,其面积最大为 1;

x? y?
②当

1 2 时, S 为等腰梯形;

1 1 ?1 ? RD1 ? 2 ? x ? ,y ? ? , 1? C D y; 2 ? 2 ? 时,设 S 与棱 1 1 的交点为 R ,则 ③当
1 B ④当 y ? 1 时,以 1 为顶点, S 为底面的棱锥的体积为定值 3 。
三. 解答题(16-19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分)

16.设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知

a ? 1,b ? 2, cos C ?

1 4,

cos ? A ? C ? (I)求 ABC 的周长; (II)求 的值。
17.为了解甲、乙两厂的产品质量,已知甲厂生产的产品共有 98 件,采用分层抽样的方法从 甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单 位:毫克) 。下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(I)当产品中微量元素 x,y 满足 估计乙厂生产的优等品的数量;

x ≥ 175,且y ≥ 5 时,该产品为优等品。用上述样本数据

(II)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取 2 件产品中优等品数? 的分布列 及其均值(即数学期望) 。 18. 正项等差数列 的前三项。

?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,且 a1 ? 2,a2 ? 5,a3 ? 13 构成等数列 ?bn ?

(I)求数列

?an ?, ?bn ? 的通项公式; ?an bn ? 的前 n 项和 Tn 。
P

(II)求数列

19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是边长 为 1 的菱形,且 ?DAB ? 60 , PA ? PD ?

F

2,PB ? 2 ,
D E A B C

E,F 分别是 BC,PC 的中点。
(I)证明: AD ? 平面DEF ; (II)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。 20. 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O, 焦点在 x 轴上, 左、 右焦点分别为

FF ?2 F1,F2 , 且 1 2 ,

? 3? ?1, ? 点 ? 2 ? 在该椭圆上。
(I)求椭圆 C 的方程;

3 2 F AF2 B 的内切圆半径为 7 ,求以 F2 为 (II) 过 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 若
圆心且与直线 l 相切的圆的方程。

21.已知函数 (I)求函数

g ? x? ?

x ln x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax 。

g ? x?

的单调区间; 在区间

(II)若函数 (III)若存在 取值范围。

f ? x?

?1,+? ? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
, ( e 是自然对数的底数)使

2 x1,x2 ? ? ?e,e ? ?

f ? x? ≤ f '? x? ? a

,求实数 a 的


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