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2012年高考考前保温训练2


2012年高考考前保温训练2(江苏常州)
日期 ;星期 【一两个冷点,小试身手】 1.已知数列 ;天气
Sn

;心情:

?an?

的前 n 项和为

,且

Sn ? a ? c
n

,则数列

? a

n ? 为等比数列的充要条件是





0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3 2. 在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ;若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最 大数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.

【些许经典题,串联思维】
2 3. 已知关于 x 的方程 有唯一解,则实数 a 的值为 . 【思考】方程有唯一解的问题的处理方法有哪些?常见转化为什么?如果画图,画什么图?巧 妙解法从何而来?如何观察代数式的结构,你有哪些心得? 如果本题是解答题的某一问,怎样 保证过程不扣分?函数、方程和不等式的问题,除了考虑对应问题的对应解法之外,代数式的 结构特征、对应图形的特征也是要仔细斟!请将唯一解的问题进行整理,列出对应的题目和解 法、代数式的结构特征以及那题的细节.

x ? 2 a log ( x ? 2 ) ? a ? 3 ? 0
2 2 2

4. 已知数列{an}满足:a1++ +…+=n2+2n(其中常数λ>0,n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列?若存在,给 出r,s,t满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设Sn为数列{an}的前n项和.若对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,求实数λ的取 值范围. 【思考】形如第二小问的问题,我们称作为子数列问题.请就这一问,整理同类型的题目,考虑 对应不定方程的解释如何判定无解,如何求解其解的?(最典型的为08年江苏高考题) 用奇偶分析: (请在横线上写出对应方程中式子结构 特征) 用约数分析: 用有理数分析: 用范围去逼: 用r,s,t相等与已知条件矛盾的: 【一道附加题,权作调节】 5.现有三种卡片:一种写有数字 1 ,一种写有数字 10 ,一种写有数字 1 0 0 ,从上述三种卡片中 选择若干张,使得这些卡片上的数字总和为 m . ⑴当 m ? 100 ,试求相应的选法种数;

⑵对于正整数 n , 数字总和为 1 0 0 n 对应的选法种数为

an

, 试用数学归纳法归纳猜想

an

并证明.

参考答案1. c ? 1 且 a ? 0 3.答案:1
2

2. 84


2 2

解:注意到函数 ∴方程
x
2
2

f ( x ) ? x ? 2 a log 2 ( x ? 2) ? a ? 3
2

为偶函数,

? 2 a log 2 ( x

? 2) ? a

2

?3? 0

的唯一解为 x ? 0 ,

由 2 a ? a ? 3 ? 0 解得 a ? 1 或 a ? ? 3 ,
2 2 f ( x ) ? x ? 2 lo g 2 ( x ? 2 ) ? 2 当 a ? 1 时, 在 [0, ? ? ) 上为增函数,满足题设条件, 2 2 2 2 f ( x ) ? x ? 2 a log 2 ( x ? 2) ? a ? 3 lo g 2 ( x ? 2 ) ? t ( t ? 1) 当 a ? ? 3 时,令 ,则函数 可化为

g ( t ) ? 2 ? 6 t ? 4 ( t ? 1)
t

, g (2) ? ? 4 ? 0, g (5) ? 6 ? 0 , ∵ ∴方程 g ( t ) ? 0 在区间 ( 2, 5) 上有解,
2

∴不满足题设,故舍去,∴ a ? 1 。 另解:方程
t

x

2

? 2 a log 2 ( x

? 2) ? a
t

2

?3? 0

t 可化为 2 ? 4 ? 6 t 然后数形结合,结合

知函数 y ? 2 ? 4 ( t ? 1) 与函数 y ? 6 t 的图像有两个交点。 4. 解: (1)当n=1时,a1=3. 当n≥2时,因为a1+++…+=n2+2n, ① 所以a1++ +…+=(n-1)2+2(n-1). ② n-1 * ①-②得=2n+1,所以an=(2n+1)·λ (n≥2,n∈N ) a1=3也适合上式, . - 所以an=(2n+1)·λn 1 (n∈N*). - (2)当λ=4时,an=(2n+1)·4n 1. 若存在ar,as,at成等比数列,则[(2r+1) ·4r 1] [(2t+1) ·4t 1]=(2s+1)2 ·42s 2. 整理得(2r+1) (2t+1) 4 r
+t -2s - - -

( 2 ? 4 ) ? |t ?1 ? 2 ln 2 ? 6

=(2s+1)2.

由奇偶性知r+t -2s=0. 所以(2r+1) (2t+1)=(r+t+1)2,即(r-t)2=0.这与r≠t矛盾, 故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列. (3)Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn 1. 当λ=1时,Sn=3+5+7+…+(2n+1)=n2+2n. 当λ≠1时,Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn 1, λSn= 3λ+5λ2+…+(2n-1)λn 1+(2n+1)λn.
- - - -

(1-λ)Sn=3+2(λ+λ2+λ3++…+λn 1)-(2n+1)λn=3+2× -(2n+1)λn. * 要对任意n∈N ,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立, ①当λ=1时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥2,结论显然成立; ②当λ≠1时,左=(1-λ)Sn+λan=3+2× -(2n+1)λn+λan =3+2×=-.

因此对任意n∈N ,都有≥·λn恒成立. * 当0<λ<1时,只要≥λn对任意n∈N 恒成立. 只要有≥λ即可,解得λ≤1或λ≥. 因此当0<λ<1时,结论成立. * 当λ≥2时,≥·λn,显然不可能对任意n∈N 恒成立. * 当1<λ<2时,只要≤λn对任意n∈N 恒成立. 只要有≤λ即可,解得1≤λ≤. 因此当1<λ≤时,结论成立. 综上所述,实数λ的取值范围为(0,]. 5.答: (1)12种 (2)
a n ?1 ? a n ? 1 0 n ? 1 1

*

从而得

an ? 5n ? 6n ? 1
2


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