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河北省保定市八校2013届高三12月联考数学(文)试题


高三 12 月月考数学文试题
考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是正确的,将正确答案的代号涂在答题卡上. 1.在复平面内,复数 A.第一象限

1? i 对应的点位于( i
C.第三象限

) D.第四象限

/>
B.第二象限

2.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ?a2 ?a ? 1 1 3 B. 105 C. 90 ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10, a ? b ? 5 2, 则 b 等于 ( A. ( ) A. 120 D. 75 ) D.25

5

B. 10

C.5

4.已知集合 A ? x ax ? 1 ? 0 , B ? x 1 ? log 2 x ? 2, x ? N ,且 A ? B ? A ,则 a 的所有 可能值组成的集合是( A. ? 5.若 sin ? ? cos ? ? A. 2 ? 3
4 7

?

?

?

?

)

B. ? ?

?1 ? ?3?

C. ? , ?

?1 1 ? ?3 4 ?


D. ? , ,0 ?

?1 1 ?3 4

? ?

π? ? 2 ,则 tan ? ? ? ? 的值是( 3? ?
B. 2 ? 3
10 3n?10

C. ?2 ? 3

D. ?2 ? 3

6.设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 A.

2 n (8 ? 1) 7

B.

2 n?1 (8 ? 1) 7

(n ? N ) ,则 f (n) 等于( ) 2 n? 3 2 n? 4 C. (8 ? 1) D. (8 ? 1) 7 7


7. 命题 p:“有些三角形是等腰三角形”,则┐p 是( A.有些三角形不是等腰三角形 C.所有三角形不是等腰三角形 8.把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 曲线方程是( ) A. (1-y)sinx+2y-3=0 C. y+1)sinx+2y+1=0 (

B.所有三角形是等腰三角形 D.所有三角形是等腰三角形

? 2

个单位, 再沿 y 轴向下平移 1 个单位, 得到的

B. (y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0

9.图几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是





10.函数 y=x+sin|x|,x∈ [-π,π]的大致图象是(



11.设方程 2? x ? lg x 的两个根为 x1 , x2 ,则下列结果正确的是( A. 0 ? x1 x2 ? 1 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1

) D. x1 x2 ? 0

12.设函数 f ( x) ? 4 x ? cos x , ?an ? 是公差为 则 ? f (a3 )? ? a1a5 ? (
2

? 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a5 ) ? 10? , 8

) B.
61? 2 16

A.

?2
16

C.

65? 2 16

D.无法确定

二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值” ,类比猜想在空间 中 有 。
?

14.在△ABC 中,已知 A ? 60 , AB ? AC ? 1,则△ABC 的面积为 15. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为__________. 16.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足

??? ??? ? ?


2 2

3

3

a sin B ? b cos A ,则 2 sin B ? cos C 的最大值是

1

2

1

1

2

1

.

正视图

侧视图

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程 或推演步骤. 17.(本小题满分 10 分)已知数列 {log2 (an ?1)}(n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (1)求数列 {an } 的通项公式;
俯视图

(2)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

18. 本小题满分 12 分) ( 已知向量 a ? (sin x,?2 cos x),b ? (sin x ? 3 cos x,? cos x), x ? R , 函数 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值。 ? 2? ?

19.(本小题满分 12 分)设 ? ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? 1, b ? 2 ,

1 4 (1)求 ? ABC 的周长 cos C ?
(2)求 cos( A ? C) 的值

20.(本小题满分 12 分)已知命题 P:函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数。命题 Q:在

x ? (1, 2) 时,不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 恒成立。若命题“ p ? q ”是真命题,求实数 a 的
取值范围。

21.(本小题满分 12 分)数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn , a1 ? 4, an?1 ? 2Sn ? 2n ? 4 . (1)求证:数列 ?an ?1 为等比数列; ? (2)设 bn ?

an ? 1 ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,求证: 8Tn ? 1 . an an?1

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 ( p ? R) . (1) p ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的极值;
2 2 (3)若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? p x ,求实数 p 的取值范围.

高三 12 月月考数学文试题参考答案
一、DBCDC DCCBC AB 二、13.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 14.

三、17. 解: (1)解:设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d。 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1。 所以 log2 (an ?1) ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n, 即 an ? 2 n ? 1. ????5 分

3 2

15. 12? ? 24

16.1

1 1 1 ? n?1 ? n ,????7 分 n an?1 ? an a ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 所以 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an 2 2 2 2 1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. ????10 分 2 ? 2 1 2n 1? 2 ? 3 18. 解(1) f(x) a ? b = sin( 2 x ? ) ? ????4 分 ? 6 2
(2)证明: ∴f(x)的最小正周期是 ????6 分 (2)由(I)知, f(x) a ? b = sin( 2 x ? ? 由0 ? x ?

?
6

)?

?

2 6 6 1 ? ∴ ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6 5 ∴ f(x)的最大值是 , 最小值是 1. 2
19.解: (1)

,  得

?

? 2x ?

?

?

7? , ????8 分 6

3 2

????12 分

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5. ????5 分

1 ?4 4

1 1 15 ? cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4 ????7 分 (2)
15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8 ? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8 ????9 分

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16 ????12 分

20.解: P:? 函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数,

? 0 ? 2a ? 5 ? 1 , ??3 分 5 故有 ? a ? 3 。??4 分 2 Q:由 x 2 ? ax ? 2 ? 0 得 ax ? x2 ? 2 ,?1 ? x ? 2 , x2 ? 2 2 ? x ? 在 x ? (1, 2) 时恒成立,??6 分 ?a? x x 2 ? 又 x ? ? 2 2,3 ??8 分,? a ? 3 ??10 分 x ? 5 p ? q 是真命题,故 p 真或 q 真,所以有 ? a ? 3 或 a ? 3 ??11 分 2 5 所以 a 的取值范围是 a ? . ??12 分 2 21.解: (1)? an?1 ? 2Sn ? 2n ? 4,? n ? 2 : an ? 2Sn?1 ? 2(n ?1) ? 4

?

??2 分 ?n ? 2 : an?1 ? 3an ? 2 又 a2 ? 2S1 ? 2 ? 4 ? 10 ? n ? 1: an?1 ? 3an ? 2 a ?1 ? a1 ? 1 ? 3 ? 0,? an ? 1 ? 0,? n?1 ?3 an ? 1 (2)由(1) an ?1 ? 3n ,?an ? 3n ? 1,

?? 4 分

故数列 ?an ?1 是首项为 3,公比为 3 的等比数列 ?

??

6分

3n 1 1 1 ?? 9 分 ?bn ? n ? ( n ? n?1 ) n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ) = 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 ( ? n?1 ) ??11 分 2 4 3 ?1 1 ?Tn ? ,? 8Tn ? 1 ?? 12 分 8 22.解: (1) p ? 1, f '(1) ? 1 ?1 ? 0, f (1) ? 0 ?1 ? 1 ? 0 , ?? 2 分 ? 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? 0 1 (2) f '( x) ? ? p ( x ? 0) x 当 p ? 0 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 上递增,函数 f ( x ) 无极值; ?? 4 分 1 1 当 p ? 0 时,(0, ) 上 f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增;( , ??) 上 f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减 p p 1 ? f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ? ln p , f ( x) 无极小值 ?? 6 分 p 2 2 2 2 (3)记 g ( x) ? f ( x) ? p x ? ln x ? px ?1 ? p x (x ? 0) 1 ( px ? 1)(2 px ? 1) ? g '( x) ? ? p ? 2 p 2 x ? ?? 7 分 x ?x

当 p ? 0 时, g ( x) ? ln x ? 1, g (e) ? 0 不符合条件 当 p ? 0 时 , px ? 1 ? 0 ,( 0 ,

?? 8 分

1 1 ) , ??) 上 上 g '( x) ? 0, g ( x) 单 调 递 增 ; ( 2p 2p

g '( x) ? 0, g ( x) 单调递减
4 1 1 e ?? 10 分 ) ? ? ln(2 p) ? ? 0,? p ? 2p 4 2 ?1 ?1 当 p ? 0 时 , 2 px ? 1 0 ( 0 , 上 g '( x) ? 0, g ( x) 单 调 递 增 ; ( ) ,?? )上 ? , p p g '( x) ? 0, g ( x) 单调递减 ?1 ? g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ? ln(? p) ? 1 ? 0,? p ? ?e p

? g ( x) 的最大值为 g (

故 p 的取值范围是 (??, ?e] ? [

4

e , ??) 2

?? 12 分


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