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2014届高三数学 月考 阶段性检测 理科含答案


高三数学试题(理科)
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再改

涂其他答案标号。 山东省 一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y ? x 2 ? 1, x ?R }, 则集合 M ? N ? A. (-2,+∞) B. (-2,3) C. ?1,3 ? D.R

?e x , x ? 0, 1 2.已知函数 f ( x) ? ? 则 f [ f ( )] ? e ?ln x, x ? 0,

1 1 B. ?e C. e D. e e 3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是

A.-

A.2 4.下列命题中,真命题是 A.存在 x ? R,e x ? 0 C.任意 x ? R, 2x ? x2

B. 2sin1

C.

2 sin1

D. sin 2

B. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 D. a ? b ? 0 的充要条件是

a ? ?1 b 5.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2 x ? y ? 0 上,则
sin( 3π ? ? ) ? cos(π-? ) 2 ? π sin( ? ? ) ? sin(π-? ) 2

A.-2

B.2

C.0

D.

2 3

6.若 a, b, c ?R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? c ? b ? c C. ac ? bc B. (a ? b)c 2 ? 0 D.
c2 ?0 a?b

2 7.若命题“ ?x0 ? R, 使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是

1

A.[2,6]

B.[-6,-2]

C. (2,6)

D. (-6,-2)

π π 8.已知函数 f ( x) ? x sin x, 则 f ( ) , f (?1) , f (? ) 的大小关系为 11 3 π π A. f (? ) ? f (?1) ? f ( ) 3 11 π π C. f ( ) ? f (?1) ? f (? ) 11 3 π π B. f (?1) ? f (? ) ? f ( ) 3 11 π π D. f (? ) ? f ( ) ? f (-1) 3 11

1 9.已知函数 f ( x) 满足: x ? 4 ,则 f ( x) ? ( ) x ;当 x ? 4 时, f ( x) ? f ( x ? 1), 则 f (2 ? log2 3) ? 2

A.

3 8

B.

1 8

C.

1 12

D.

1 24

10.如图所示为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? π) 的部 分图像,其中 A,B 两点之间的距离为 5,那么 f (?1) ? A.-1 C. 3 B. ? 3 D.1

11.如果函数 y ? f ( x) 图像上任意一点的坐标 ( x, y ) 都满足方 程 lg( x ? y) ? lg x ? lg y ,那么正确的选项是 A. y ? f ( x) 是区间 (1, ??) 上的减函数,且 xy ? 4 B. y ? f ( x) 是区间 (1, ??) 上的增函数,且 xy ? 4 C. y ? f ( x) 是区间 (1, ??) 上的减函数,且 xy ? 4 D. y ? f ( x) 是区间 (1, ??) 上的增函数,且 xy ? 4 12.设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2π 的偶函数, f '( x)是f ( x) 的导函数,当 x ? ? 0, π ? 时, 0 ? f ( x) ? 1 ;当 x ? (0, π) 且 x ? 根的个数为 A. 2

π π 时, ( x ? ) f '( x) ? 0 ,则方程 f ( x) ? cos x 在 ? ?2π,2π ? 上的 2 2
D.4

B.5

C.8 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

注意事项: 1.将第Ⅱ卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。 2.答卷将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卡的相应的横线上. 3 13.已知 sin ? ? ,且 ? 为第二象限角,则 tan ? 的值为 . 5 14.曲线 y ? x , y ?
2

x 所围成的封闭图形的面积为

.

2 3 1 15.若函数 f ( x) ? log a x(其中a为常数且a ? 0, a ? 1)满足f ( ) ? f ( ), 则f (1 ? ) ? 1 的解集是 a a x .
?3x ? y ? 2 ? 0 ? 16.设 x, y 满足约束条件. ?2 x ? y ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 1,则 ? x ? 0, y ? 0 ?

a?b 的最小值为 ab

.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17. (本小题满分 12 分)山东 设命题 p:函数 f ( x) ? lg(ax 2 ? x ?
a ) 的定义域为 R;命题 q: 3x ? 9x ? a 对一切的实数 x 恒 16

成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 设函数 f (a) ? sin ? ? 3 cos ? ,其中,角 ? 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴 重合,终边经过点 P( x, y ) ,且 0 ? ? ? ? . (Ⅰ)若 P 点的坐标为(- 3,1 ) ,求 f (? ) 的值;

?x ? y ? 1 ? (Ⅱ)若点 P( x, y ) 为平面区域 ? y ? x 上的一个动点,试确定角 ? 的取值范围,并求函 ?y ?1 ?
数 f (? ) 的值域. 19. (本小题满分 12 分) 已知一企业生产某产品的年固定成本为 10 万元,每生产千件需另投入 2.7 万元,设该企业 年 内 共 生 产 此 种 产 品 x 千 件 , 并 且 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 f ( x) 万 元 , 且

1 2 ? ?10.8 ? 30 x (0<x ? 10) ? f ( x) ? ? ?108 ? 1000 ( x ? 10) ? x 3x 2 ?
(Ⅰ)写出年利润 P (万元)关于年产品 x (千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本) 20. (本小题满分 12 分) 若 f ( x) ? sin(2? x ?

?
6

) 的图象关于直线 x ?

?
3

对称,其中 ? ? (? , ).

1 5 2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

? 个单位, 再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍 (纵 3 π 坐标不变)后得到 y ? g ( x) 的图象;若函数 y ? g ( x) x ? ( ,3π) 的图象与 y ? a 的图象有三个 2 交点且交点的横坐标成等比数列,求 a 的值.
(Ⅱ) y ? f ( x) 的图象向左平移 将

21. (本小题满分 12 分)

3

定 议 在 R 上 的 单 调 函 数 f ( x) 满 足 f ( 2 ? )

3 , 且 对 任 意 x, y ? R 都 有 2

f( x ?

y? )

f( x ) ?

f( y . )

(Ⅰ)求证: f ( x) 为奇函数; x x x (Ⅱ)若 f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ?R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分) 2 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图象上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 2ln 2 ? 2 . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? ,e ? 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然 e 对数的底数) ;山东 (Ⅲ)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ,若 g ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0) (其中 x1 ? x2 ) ,

?1 ? ? ?

AB 的中点为 C ( x0 , 0) ,求证: g ( x) 在 x0 处的导数 g ?( x0 ) ? 0.

4

高三数学试题(理科)参考答案及评分标准 一、选择题: CDCBB BAADD AD 二、填空题: 13. ?

3 4

14.

1 3

15. 1 ? x ?

1 1? a

16. 6 ? 4 2

?a ? 0 ? 17.解: p : ? ? a ? 2 ?????????????????????4 分 a2 ?? 1? ?0 ? 4 ?

1 1 1 1 q : g ( x) ? 3x ? 9 x ? ?(3x ? )2 ? ? ? a ? ????????????????8 分 2 4 4 4 ?“ p 且 q ”为假命题 ? p , q 至少有一假 1 (1)若 p 真 q 假,则 a ? 2 且 a ? , a ?? 4 1 1 (2)若 p 假 q 真,则 a ? 2 且 a ? , ? a ? 2 4 4 1 1 (3)若 p 假 q 假,则 a ? 2 且 a ? , a ? 4 4 ?a ? 2 ??????????????????????????????????12
分 18.解: (1)由三角函数的定义,得 sin ? ?

1 3 , cos ? ? ? , 2 2

故 f (? ) ? sin ? ? 3 cos ? ?

1 3 ? 3? ? ?1 ?????4 分 2 2

(2)作出平面区域 ? (即三角形区域 ABC)如图所示, 其中 A(0,1), B( , ), C (1,1), 于是

π π ? ? ? . ??????7 分 4 2 π 7π π 5π 又 f (? ) ? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ), 且 ?? ? ? , 3 12 3 16 π 5π π 故当 ? ? = ,即 ? ? 时, f (? ) 取得最小值,且最小值为 1. 3 6 2 1 1 2 2
当? ?

2? 6 π 7π π . = ,即 ? ? 时, f (? ) 取得最大值,且最大值为 2 3 12 4
? ? 2? 6? ? ?????????????????????12 分 2 ?

故函数 f (? ) 的值域为 ?1,

19.解: (1)当 0 ? x ? 10 时, P ? xf ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 当 x ? 10 时, P ? xf ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

x3 ? 10 30

1000 ? 2.7 x 3x
5

? x3 ?8.1x ? ? 10(0 ? x ? 10) ? 30 P?? ???????????????????????4 分 1000 ?98 ? ? 2.7 x( x ? 10) ? 3x ?
(2)①当 0 ? x ? 10 时,由 P? ? 8.1?

x2 ? 0 ,得 x ? 9 且当 x ? (0, 9)时, P? ? 0 ;当 10

x ? (9,10)时, P? ? 0 ;

?当 x ? 9 时, P 取最大值,且 Pmax ? 8.1? 9 ?
分 ②当 x ? 10 时, P ? 98 ? ( 当且仅当

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 ?????????8 30

1000 1000 ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 3x 3x

1000 100 时, Pmax ? 38 ? 2.7 x ,即 x ? 3x 9 综合①、②知 x ? 9 时, P 取最大值.
所以当年产量为 9 千件时, 该企业生产此产品获利最大.?????????????12 分 20.解: (Ⅰ)? f ( x) 的图象关于直线 x ?

π 对称, 3

π π π 3 ? 2? ? ? ? kπ ? , k ? Z ,解得 ? ? k ? 1 ,????????????????2 分 3 6 2 2 1 5 1 3 5 ?? ? (? , ),?? ? k ? 1 ? ,??1 ? k ? 1(k ? Z),? k ? 0, ? ? 1 2 2 2 2 2 π ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ????????????????????????????5 分 6 π π π π (Ⅱ)将 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 个单位后,提到 f ( x) ? sin[2( x ? ) ? ] 6 3 3 6 π ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ,再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)后,得到 2 y ? g ( x) ? cos x. ????????????????????????????????9
分 函数 y ? g ( x) ? cos x, x ? ( ,3π) 的图象与 y ? a 的图象有三个交点坐标分别为 ( x1 , a),

π 2

( x2 , a),( x3 , a) 且

π ? x1 ? x2 ? x3 ? 3π, 2

? 2 ? x2 ? x1 x3 ? 4π ? x ? x2 则由已知结合图象的对称性,有 ? 1 ??????????11 分 ? π ,解得 x2 ? 3 ? 2 ? x2 ? x3 ? 2 ? 2π ?

6

? a ? cos


4π 1 ? ? ?????????????????????????????12 3 2

21. (Ⅰ)证明: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)( x, y ? R), ① 令 x ? y ? 0 ,代入①式,得 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0), 即 f (0) ? 0. 令 y ? ?x ,代入①式,得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ,又 f (0) ? 0, 则有 0 ? f ( x) ? f (? x). 即 f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ?R 成立, 所以 f ( x) 是奇函数.?????????????????????????????4 分 (Ⅱ)解: f (2) ?

3 ? 0 ,即 f (2) ? f (0) ,又 f ( x) 在 R 上是单调函数, 2

所以 f ( x) 在 R 上是增函数. x x x x x 又由(1) f ( x) 是奇函数. f (k ? 3 ) ? ? f (3 ? 9 ? 2) ? f (?3 ? 9 ? 2), ? k ? 3x ? ?3x ? 9 x ? 2,32 x ? (1 ? k ) ? 3x ? 2 ? 0 对任意 x ?R 成立. 2 x 令 t ? 3 ? 0 ,问题等价于 t ? (1 ? k )t ? 2 ? 0 对任意 t ? 0 恒成立.?????????8 分 令 g (t ) ? t ? (1 ? k )t ? 2, 其对称轴 t ?
2



1? k ? 0 时,即 k ? ?1 时, g (0) ? 2 ? 0 ,符合题意; 2

1? k . 2

?1 ? k ?0 1? k ? 当 ? 0 时,对任意 t ? 0, g (t ) ? 0 恒成立 ? ? 2 2 ?? ? (1 ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? 0 ?
解得 ?1 ? k ? ?1 ? 2 2. ??????????????????????????12 分 综上所述当 k ? ?1 ? 2 2 时, f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ?R 恒成立.
x x x

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

a a ? 2bx, f ?(2) ? ? 4b, f (2) ? a ln 2 ? 4b. x 2

a ? ? 4b ? ?3, 且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2ln 2 ? 2, 2 解得 a ? 2, b ? 1. ??????????????????????????????3 分 2 2 (Ⅱ) f ( x) ? 2 ln x ? x ,令 h( x) ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x ? m,
则 h?( x) ?

2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? , x x

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1( x ? ?1 舍去). 当 x ? ? ,1? 时, h?( x) ? 0,

?1 ? ?e ?

? h( x) 是增函数; 当 x ? [1, e] 时, h?( x) ? 0, ? h( x) 是减函数;??????????????????????????????5


7

? 1 ? h( e ) ? 0 ? 1 于是方程 h( x) ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是: ? h(1) ? 0 . e ? h ( e) ? 0 ? ?
即1 ? m ? 2 ? 分 (Ⅲ)由题意 g ( x) ? 2ln x ? x 2 ? kx, g ?( x) ? 假设结论成立,则有:

1 . ??????????????????????????????9 e2 2 ? 2 x ? k. x

?2 ln x1 ? x12 ? kx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ② ? ???????????????????????????11 ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? k ? 0 ④ 0 ? x0 ?
分 ①-②,得 2 ln

x1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0. x2

x1 x2 ?k ? 2 ? 2 x0 . x1 ? x2 ln
由④得 k ?

2 ? 2 x0 , x0

x1 x2 1 ? ? x1 ? x2 x0 ln x1 x 2 1 ?2 x2 2 x x2 ? . ⑤??????????????????13 分 即 , ln 1 ? 即 x1 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 ?1 x2 ln
令t ?

x1 2t ? 2 , u (t ) ? ln t ? (0 ? t ? 1), x2 t ?1

则 u?(t ) ?

(t ? 1) 2 ? 0. t (t ? 1) 2

?u(t ) 在(0,1)增函数,
8

?u(t ) ? u(1) ? 0, ?⑤式不成立,与假设矛盾. ? g ?( x0 ) ? 0. ???????????????????????????????14 分

9


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