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高中数学二轮复习04 第四编 三角函数及三角恒等变换(共46页)


第四编 第四编 三角函数及三角恒等变换

§4.1

任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础自测 1.A={小于 90°的角},B={第一象限的角},则 A∩B= ①{小于 90°的角} ③{第一象限的角} 答案 ④ 2.将表的分针拨慢 10 分钟,则分针转过的角的弧度数是 答案 . ②{0°~90°的角} ④以上都不对 (填序号).

π
3
2

3.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的中心角的弧度数是 答案 1 或 4 4.已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2,-2cos2),则 sin α = 答案 -cos2 5. α 是第二象限角,P(x, 5 )为其终边上一点,且 cos α = 答案
10 4 2 x ,则 sin α = 4

. .

.

例 1 若 α 是第二象限的角,试分别确定 2 α , 解 ∵ α 是第二象限的角,

α
2

,

α
2

的终边所在位置.

∴k·360°+90°< α <k·360°+180°(k∈Z). Z (1)∵2k·360°+180°<2 α <2k·360°+360°(k∈Z) Z , ∴2 α 是第三或第四象限的角,或角的终边在 y 轴的非正半轴上. (2)∵k·180°+45°< 当 k=2n(n∈Z)时, Z n·360°+45°<

α
2

<k·180°+90°(k∈Z) Z ,

α
2

<n·360°+90°;

当 k=2n+1(n∈Z)时, Z n·360°+225°<

α
2

<n·360°+270°.



α
2

是第一或第三象限的角.

(3)∵k·120°+30°< 当 k=3n(n∈Z)时, Z n·360°+30°<

α
3

<k·120°+60°(k∈Z) Z ,

α
3

<n·360°+60°;

当 k=3n+1(n∈Z)时, Z n·360°+150°<

α
3

<n·360°+180°;

当 k=3n+2(n∈Z)时, Z n·360°+270°< ∴

α
3

<n·360°+300°.

α
3

是第一或第二或第四象限的角.

例 2 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多 少度?扇 形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解 (1)设扇形的圆心角是 θ rad,因为扇形的弧长是 r θ , 所以扇形的周长是 2r+r θ . 依题意,得 2r+r θ = π r,
°

? 180 ? ∴ θ = π -2=( π -2)× ? ? ? π ?

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为 S=
1 2 1 2 r θ = ( π -2)r . 2 2

(2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, 即 l=20-2r (0<r<10) 扇形的面积 S= S=
1 lr,将①代入,得 2



1 2 2 (20-2r)r=-r +10r=-(r-5) +25, 2

所以当且仅当 r=5 时,S 有最大值 25.此时 l=20-2×5=10, α =
l =2. r

所以当 α =2 rad 时,扇形的面积取最大值. 例 3 (14 分)已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0), 2分 则 x=4t,y=-3t, r= x 2 + y 2 = (4t ) 2 + (?3t ) 2 = 5 t ,

4分 当 t>0 时,r=5t, sin α = tan α =
y ?3t 3 x 4t 4 = = ? ,cos α = = = , r 5t 5 r 5t 5 y ?3t 3 = =? ; x 4t 4

8分 当 t<0 时,r=-5t,sin α = cos α = tan α =
x 4t 4 = =? , r ? 5t 5 y ?3t 3 = =? . x 4t 4 y ?3t 3 = = , r ? 5t 5

12 分 综上可知,t>0 时,sin α = ? t<0 时,sin α = 14 分 例 4 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此写出角 α 的集合: (1)sin α ≥
1 3 ;(2)cos α ≤ ? . 2 2 3 交单位圆于 A、B 两点,连结 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域即为角 α 的 2
3 4 3 ,cos α = ,tan α = ? ; 4 5 5

4 3 3 ,cos α =- ,tan α = ? . 5 4 5

解 (1)作直线 y=

终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为

α |2k π +

π
3

≤ α ≤2k π +

2 π ,k∈Z . Z 3

(2)作直线 x= ?

1 交单位圆于 C、D 两点,连结 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分) 2

即为角 α 终边的范围.故满足条件的角 α 的集合为

α |2k π +

2 4 π ≤ α ≤2k π + π ,k∈Z . Z 3 3

1.已知 α 是第三象限角,问

α
3

是哪个象限的角?

解 ∵ α 是第三象限角,∴180°+k·360°< α <270°+k·360°(k∈Z) Z , 60°+k·120°<

α
3

<90°+k·120°.

①当 k=3m(m∈Z)时,可得 Z

60°+m·360°< 故

α
3

<90°+m·360°(m∈Z). Z

α
3

的终边在第一象限.

②当 k=3m+1 (m∈Z)时,可得 Z 180°+m·360°< 故

α
3

<210°+m·360°(m∈Z). Z

α
3

的终边在第三象限.

③当 k=3m+2 (m∈Z)时,可得 Z 300°+m·360°< 故

α
3

<330°+m·360°(m∈Z). Z

α
3

的终边在第四象限.

综上可知,

α
3

是第一、第三或第四象限的角.

2.已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120°,半径长为 6, (1)求 的弧长;
2π rad,r=6, 3

(2)求弓形 OAB 的面积. 解 (1)∵ α =120°= ∴ 的弧长为 l=

2π ×6=4 π . 3

(2)∵S 扇形 OAB=

1 1 lr= ×4 π ×6=12 π , 2 2

S△ABO=

1 2 2π 1 3 2 r ·sin = ×6 × =9 3 , 2 3 2 2

∴S 弓形 OAB=S 扇形 OAB-S△ABO=12 π -9 3 . 3.已知角 α 的终边在 y 轴上,求 sin α 、cos α 、tan α 的值. 解 ∵角 α 的终边在 y 轴上, ∴可在 α 的终边上任取一点(0,t)(t≠0),即 x=0,y=t. ∴r= x 2 + y 2 = 0 2 + t 2 =|t|. 当 t>0 时,r=t, sin α =
y t y x 0 = =1,cos α = = =0,tan α = 不存在; r t r t x y t = =-1, r ?t

当 t<0 时,r=-t,sin α = cos α =

0 y x = =0,tan α = 不存在. r ?t x

综上可知:sin α =±1,cos α =0,tan α 不存在. 4.求下列函数的定义域:

(1)y= 2 cos x ? 1 ; (2)y=lg(3-4sin x).
2

解 (1)∵2cosx-1≥0,∴cosx≥

1 . 2

由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).

π π? ? ∴x∈ ?2kπ ? ,2kπ + ? (k∈Z). Z 3 3? ?
(2)∵3-4sin x>0,∴sin x<
3 3 <sinx< . 2 2
2 2

3 , 4

∴-

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x∈(k π -

π
3

,k π +

π
3

) (k∈Z). Z

一、填空题 1.已知 cos θ ·tan θ <0,那么角 θ 是第 答案 三或四 2.若 0<x< 答案 > 3.与 610°角终边相同的角表示为 答案 k·360°+250°(k∈Z) Z 4.已知( 1 sin2 θ ) <1,则 θ 所在象限为第 2 象限. . 象限角.

π
2

,则 sinx

4

π2

x (用“>”,“<”或“=”填空).

2

答案 一或三 5.已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则角 α 的终边在第 答案 二 ? π π? 6.已知 θ ∈ ? ? , ? 且 sin θ +cos θ =a,其中 a∈(0,1) ,则关于 tan θ 的值,以下四个答案中,可能正确的 ? 2 2? 是 ①-3 答案 ③ 7.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上,则 答案 2 8.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d= 答案 10sin ,其中 t∈[0,60]. sin α sin α ? cosα cosα = . (填序号). ②3 或 1 3 ③1 3 ④-3 或1 3 象限.

πt
60

二、解答题 9.已知 sin θ =
3a ? 1 1? a ,cos θ = ,若 θ 是第二象限角,求实数 a 的值. 1+ a 1+ a

解 ∵ θ 是第二象限角,∴sin θ >0,cos θ <0, 1? a ? ?0 < sin θ = 1 + a < 1 1 ? ∴? ,解得 0<a< . 3a ? 1 3 ?? 1 < cosθ = <0 ? 1+ a ? 又∵sin θ +cos θ =1,
2 2

? 1 ? a ? ? 3a ? 1 ? ∴? ? +? ? =1 , ? 1+ a ? ? 1+ a ? 解得 a= 1 1 或 a=1(舍去) ,故实数 a 的值为 . 9 9

2

2

10.(1)已知扇形的周长为 10,面积为 4,求扇形中心角的弧度数; (2)已知扇形的周长为 40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 解 设扇形半径为 R,中心角为 θ ,所对的弧长为 l.
?1 2 ? θR = 4, (1)依题意,得 ? 2 ?θR + 2 R = 10, ?

∴2 θ -17 θ +8=0,∴ θ =8 或
2

1 . 2

∵8>2π,舍去,∴ θ =

1 . 2

(2)扇形的周长为 40,∴ θ R+2R=40, S=
1 ? θR + 2 R ? 1 1 1 2 lR= θ R = θ R·2R≤ ? ? = 100 . 2 2 4 2 4 ? ?
2

当且仅当 θ R =2R,即 R=10, θ =2 时面积取得最大值,最大值为 100. 11.设 θ 为第三象限角,试判断 解 ∵ θ 为第三象限角, ∴2k π + π < θ <2k π + kπ +
3π 2 sin cos

θ θ
2 的符号. 2

(k∈Z), Z

π
2

<

θ
2

< kπ +

3π (k∈Z). Z 4

当 k=2n (n∈Z)时,2n π + Z 此时

π
2

<

θ
2

3 < 2nπ + π , 4

θ
2

在第二象限. >0,cos

∴sin

θ
2

θ
2

<0.

sin

θ θ
2 <0. 2

因此
cos

当 k=2n+1(n∈Z)时, Z (2n+1) π + 即 2n π + 此时

π
2



θ
2

<(2n+1) π +

3π (n∈Z), Z 4

3π 7π θ < <2n π + (n∈Z) Z 2 2 4

θ
2

在第四象限.

∴sin

θ
2

<0,cos

θ
2

sin
>0,因此

θ θ
2 <0, 2

cos

sin
综上可知:

θ θ
2 <0.

2 12.角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a≠0) ,角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin α ·cos α +sin β ·cos β +tan α ·tan β 的值.
解 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a), 点 Q 的坐标为(2a,a). sin α = cos α = tan α = sin β = cos β = tan β =
?2a a 2 + (?2a ) 2 a a + (?2a )
2 2

cos

= =

?2a 5a 2 a 5a 2

, ,

?2a = ?2 , a a

( 2a ) + a
2

2

= =

a

, ,

5a 2 2a 5a 2

2a ( 2a ) + a
2 2

a 1 = , 2a 2

故有 sin α ·cos α +sin β ·cos β +tan α ·tan β = ?2a
5a
2

?

a
5a
2

+

a
5a
2

?

2a 5a
2

+ (?2) ×

1 =-1. 2

§4.2

同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础自测 1.(2008·常州模拟)sin ( π + α )-cos( π + α )·cos(- α )+1 的值为 (2008·常州模拟)
2

.

答案 2 2.sin210°= 答案
? 1 2 1 ? 3π ? ,且 α ∈ ? π , ? ,则 sin α 的值是 2 2 ? ?

.

3.已知 tan α =
? 5 5

.

答案 4.若

sin θ + cos θ =2,则 sin( θ -5 π )·sin sin θ ? cos θ 3 10

? 3π ? ?θ ? = ? ? 2 ?

.

答案

5.已知 sin α = 答案
? 3 5

5 4 4 ,则 sin α -cos α 的值为 5

.

例 1 已知 f( α )= (1)化简 f( α );

sin(π ? α ) cos(2π ? α ) tan(?α + π ) ; ? tan(?α ? π ) sin(?π ? α )

3π ? 1 ? (2)若 α 是第三象限角,且 cos ? α ? ? = ,求 f( α )的值. 2 ? 5 ?

解 (1)f( α )=

sin α ? cos α ? (? tan α ) =-cos α . tan α sin α

3π ? ? (2)∵cos ? α ? ? =-sin α , 2 ? ?

∴sin α =∴f( α )=

5 2 ? 12 2 1 ,cos α ==? 6, 5 5 5

2 6. 5

例 2 (14 分)已知-

π
2

<x<0,sinx+cosx=

1 . 5

(1)求 sinx-cosx 的值; (2)求

1 cos 2 x ? sin 2 x

的值.

解 (1)方法一 联立方程: 方法一
1  ? ?sin x + cos x =   5 ? ?sin 2 x + cos 2 x = 1  ?

① ②

2分 由①得 sinx=
2

1 -cosx,将其代入②,整理得 5

25cos x-5cosx-12=0. 4分 ∵π <x<0, 2

3 ? ?sin x = ? 5 ? ∴? , ?cos x = 4 ? 5 ?

所以 sinx-cosx=7分

7 . 5

方法二 ∵sinx+cosx=
2 ?1? ∴(sinx+cosx) = ? ? , ?5?

1 , 5

2

即 1+2sinxcosx= ∴2sinxcosx=2分

1 , 25

24 . 25
2 2

∵(sinx-cosx) =sin x-2sinxcosx+cos x =1-2sinxcosx=1+ 4分 又∵24 49 = 25 25

2



π
2

<x<0,∴sinx<0,cosx>0, ② 7 . 5

∴sinx-cosx<0 由①②可知:sinx-cosx=7分 (2)由已知条件及(1)可知
1 3 ? ? ?sin x + cos x = 5 ?sin x = ? 5 ? ? ,解得 ? , ? ?sin x ? cos x = ? 7 ?cos x = 4 ? ? 5 5 ? ?

9分 ∴tanx=11 分 又∵
3 . 4

1 cos 2 x ? sin 2 x

=

sin 2 x + cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x

sin 2 x + cos 2 x

=

cos 2 x cos x ? sin 2 x
2

cos 2 x

=

tan 2 x + 1 1 ? tan 2 x
13 分
2

? 3? ?? ? +1 25 4? = . =? 2 7 ? 3? 1? ?? ? ? 4?

14 分 例 3 已知 tan α =2,求下列各式的值: (1)
2 sin α ? 3 cos α ; 4 sin α ? 9 cos α

(2)

2 sin 2 α ? 3 cos 2 α 4 sin 2 α ? 9 cos 2 α
2

;
2

(3)4sin α -3sin α cos α -5cos α .

解 (1)原式=

2 tan α ? 3 2 × 2 ? 3 = = ?1 . 4 tan α ? 9 4 × 2 ? 9
2

(2)

2 sin 2 α ? 3 cos 2 α 4 sin α ? 9 cos α
2
2 2 2

=

2 tan 2 α ? 3 4 tan α ? 9
2
2

=

2 × 22 ? 3 4 × 22 ? 9

=

5 . 7

(3)∵sin α +cos α =1, ∴4sin α -3sin α cos α -5cos α = =

4 sin 2 α ? 3 sin α cos α ? 5 cos 2 α sin 2 α + cos 2 α 4 tan 2 α ? 3 tan α ? 5 tan α + 1
2

=

4× 4 ? 3× 2 ? 5 = 1. 4 +1

3π ? ? tan(π ? α ) cos(2π ? α ) sin ? ? α + ? 2 ? ? 1.化简 . cos(?α ? π ) sin(?π ? α )

π ? ? (? tan α ) ? cos[π + (π ? α )] ? sin ? π + ? α ? 2 ? ? 解 原式= cos(π + α ) ? [? sin(π + α )]
? ?π ?? (? tan α ) ? [? cos(π ? α )] ? ?? sin ? ? α ?? ?2 ?? ? = (? cos α ) ? sin α

=

? tan α ? cos α ? (? cos α ) ? tan α ? cos α = ? cos α ? sin α sin α sin α cos a ? =-1. cos a sin α

=?

2.已知 sin θ +cos θ =

1 , θ ∈(0, π 5

).求值:
3 3

(1)tan θ ;(2)sin θ -cos θ ;(3)sin θ +cos θ . 解 方法一 ∵sin θ +cos θ = ∴(sin θ +cos θ ) =
2

1 , θ ∈(0, π ), 5

1 =1+2sin θ cos θ , 25

∴sin θ cos θ =-

12 <0. 25

由根与系数的关系知, sin θ ,cos θ 是方程 x 2

12 1 x=0 的两根, 5 25

解方程得 x1=

4 3 ,x2=- . 5 5

∵sin θ >0,cos θ >0,∴sin θ = ∴(1)tan θ =4 . 3 7 . 5 37 . 125
2

4 3 ,cosθ=- . 5 5

(2)sin θ -cos θ =
3 3

(3)sin θ +cos θ =

方法二 (1)同方法一. (2) (sin θ -cos θ ) =1-2sin θ ·cos θ
? 12 ? 49 . =1-2× ? ? ? = ? 25 ? 25

∵sin θ >0,cos θ <0,∴sin θ -cos θ >0, ∴sin θ -cos θ =
3 3

7 . 5
2 2

(3)sin θ +cos θ =(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ cos θ +cos θ ) =
1 ? 12 ? 37 × ?1 + . ?= 5 ? 25 ? 125

3.已知 sin( θ +k π )=-2cos( θ +k π ) (k∈Z). Z 求:(1) (2)
4 sin θ ? 2 cos θ ; 5 cos θ + 3 sin θ

1 2 2 2 sin θ + cos θ . 4 5

解 由已知得 cos( θ +k π )≠0, Z ∴tan( θ +k π )=-2(k∈Z),即 tan θ =-2. (1)
4 sin θ ? 2 cos θ 4 tan θ ? 2 = = 10 . 5 cos θ + 3 sin θ 5 + 3 tan θ

1 2 sin 2 θ + cos 2 θ 1 2 2 2 5 (2) sin θ + cos θ = 4 4 5 sin 2 θ + cos 2 θ 1 2 tan 2 θ + 4 5 = 7 . = 25 tan 2 θ + 1

一、填空题 1. α 是第四象限角,tan α = ? 答案 ? 5 13 5 ,则 sin α = 12 .

2.(2008·浙江理)若 cos α +2sin α =- 5 ,则 tan α = (2008·浙江理) 答案 2

.

3.(2008·四川理)设 0≤ α <2 π ,若 sin α > 3 cos α ,则 α 的取值范围是 (2008·四川理) 答案
? π 4π ? ? , ? ?3 3 ?
12 ,则 sin α = 13

.

4. α 是第四象限角,cos α =
2

. .

5.sin ( π + α )-cos( π + α )cos(- α )+1 的值为 答案 2 6.若 sin α +cos α =tan α 答案
?π π ? ? , ? ?4 3?

π? ? ? 0 < α < ? ,则 α 的取值范围是 2? ?

.

7.如果 cos α =
2 6 5

1 π? ? ,且 α 是第四象限的角,那么 cos ? α + ? = 5 2? ?

.

答案

8.化简:

sin 2 (α + π ) ? cos(π + α ) ? cos(?α ? 2π ) tan(π + α ) ? sin 3 (

π

=

.

2

+ α ) ? sin(?α ? 2π )

答案 1 二、解答题 9.已知 cos( π + α )=(1)sin(2 π - α ); (2) sin[α + (2n + 1)π ] + sin[α ? (2n + 1)π ] (n∈Z). Z sin(α + 2nπ ) ? cos(α ? 2nπ ) 1 1 1 ,∴-cos α =- ,cos α = , 2 2 2 3 . 2 1 ,且 α 是第四象限角,计算: 2

解 ∵cos( π + α )=-

又∵ α 是第四象限角,∴sin α =- 1 ? cos 2 α = ? (1)sin(2 π - α )=sin[2 π +(- α )] =sin(- α )=-sin α = (2) = 3 . 2

sin[α + ( 2n + 1)π ] + sin [α ? (2n + 1)π ] sin(α + 2nπ ) ? cos(α ? 2nπ )

sin(2nπ + π + α ) + sin(?2nπ ? π + α ) sin(2nπ + α ) ? cos(?2nπ + α ) sin(π + α ) + sin(?π + α ) sin α ? cos α
? sin α ? sin(π ? α ) ?2 sin α 2 = =? =-4. sin α ? cos α sin α ? cos α cos α

= =

10.化简:

1 ? cos 4 α ? sin 4 α 1 ? cos 6 α ? sin 6 α

.

解 方法一 原式= =

(cos 2 α + sin 2 α ) 2 ? cos 4 α ? sin 4 α (cos 2 α + sin 2 α ) 3 ? cos 6 α ? sin 6 α
2

2 cos 2 α ? sin 2 α 3 cos α sin α (cos α + sin α )
2 2 2

=

2 . 3

方法二 原式=

(1 ? cos 2 α )(1 + cos 2 α ) ? sin 4 α (1 ? cos 2 α )(1 + cos 2 α + cos 4 α ) ? sin 6 α

解 方法一 当 k 为偶数时,设 k=2m (m∈Z),则 Z

方法二 由(k π + α )+(k π - α )=2k π , [(k-1) π - α ]+[(k+1) π + α ]=2k π , 得 sin(k π - α )=-sin(k π + α ), cos[(k-1) π - α ]=cos[(k+1) π + α ] =-cos(k π + α ), sin[(k+1) π + α ]=-sin(k π + α ).

12.已知 sin( π - α )-cos( π + α )= (1)sin α -cos α ;

2 ?π ? ? < α < π ? .求下列各式的值: 3 ?2 ?

1. ①在(0,

π
2

)上递减;

②以 2 π 为周期; ③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 答案 y=-sinx (写出一个你认为正确的即可).

π? π ? 2.(2009·东海高级中学高三调研)将函数 y=sin ? 2 x ? ? 的图象先向左平移 ,然后将所得图象上所有的 (2009·东海高级中学高三调研) 高级中学高三调研 3 3? ?
点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为 .

π? ? 答案 y=sin ? x + ? 3? ?
3.设函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值是 1,最小值是-7,那么 acosx+bsinx 的最大值是 答案 5 4.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是 (写出一个即可). .

答案

? 3π ? ?π , ? 2 ? ?

5.(2008·全国Ⅱ理)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的最 (2008·全国Ⅱ 大值为 答案 2 .

例 1 求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cosx);(2)y= sin x ? cos x . 解 (1)要使函数有意义,必须使 sin(cosx)>0. ∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-

π
2

+2k π <x<

π
2

+2k π ,k∈Z}. Z

方法二 利用单位圆中的余弦线 OM,依题意知 0<OM≤1, ∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为

π π ? ? ? x | ? + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ , k ∈ Ζ ? . 2 2 ? ?
(2)要使函数有意义,必须使 sinx-cosx≥0. 方法一 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2 π ]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示.

在[0,2 π ]内,满足 sinx=cosx 的 x 为

π
4



5π ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2 π , 4

5π ? π ? 所以定义域为 ? x | + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ , k ∈ Ζ ? . 4 4 ? ?

方法二 利用三角函数线, 如图 MN 为正弦线,OM 为余弦线, 要使 sinx≥cosx,即 MN≥OM, 则

π
4

≤x≤

5π (在[0,2 π ]内). 4

∴定义域为
5π ? π ? + 2kπ , k ∈Ζ? ? x | + 2kπ ≤ x ≤ 4 ? 4 ?

π? ? 方法三 sinx-cosx= 2 sin ? x ? ? ≥0, 4? ?

将 x-

π
4

视为一个整体,由正弦函数 y=sinx 的图象和性质

可知 2k π ≤x解得 2k π +

π ≤ π +2k π , 4

π 5π ≤x≤ +2k π ,k∈Z. Z 4 4

5π π ? ? 所以定义域为 ? x | 2kx + ≤ x ≤ + 2kπ , k ∈Ζ? . 4 4 ? ? 例 2 求下列函数的值域: (1)y=
sin 2 x sin x ; 1 ? cos x

(2)y=sinx+cosx+sinxcosx; ?π ? (3)y=2cos ? + π ? +2cosx. 3 ? ? 解 (1)y=
2 sin x cos x sin x 2 cos x(1 ? cos 2 x) = 1 ? cos x 1 ? cos x
2

1? 1 ? 2 =2cos x+2cosx=2 ? cos+ ? - . 2? 2 ?
于是当且仅当 cosx=1 时取得 ymax=4,但 cosx≠1, ∴y<4,且 ymin=-

1 1 ,当且仅当 cosx=- 时取得. 2 2

? 1 ? 故函数值域为 ?? ,4 ? . ? 2 ?
(2)令 t=sinx+cosx,则有 t =1+2sinxcosx, 即 sinxcosx= 有 y=f(t)=t+
t2 ?1 . 2 t2 ?1 1 = (t + 1) 2 ? 1 . 2 2
2

π? ? 又 t=sinx+cosx= 2 sin ? x + ? , 4? ?
∴- 2 ≤t≤ 2 . 故 y=f(t)=

1 (t + 1) 2 ? 1 (- 2 ≤t≤ 2 ), 2 1 . 2

从而知:f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤ 2 +

1? ? 即函数的值域为 ?? 1, 2 + ? . 2? ? ?π ? (3)y=2cos ? + x ? +2cosx ?3 ?
=2cos

π
3

cosx-2sin

π
3

sinx+2cosx

=3cosx- 3 sinx

? 3 ? 1 =2 3 ? cos x ? sin x ? ? 2 ? 2 ? ?

π? ? =2 3 cos ? x + ? . 6? ?

π? ? ∵ cos? x + ? ≤1 6? ?
∴该函数值域为[-2 3 ,2 3 ].
?π ? 例 3 (14 分)求函数 y=2sin ? ? x ? 的单调区间. ?4 ? ?π ? 解 方法一 y=2sin ? ? x ? 化成 ?4 ?

π? ? y=-2sin ? x ? ? . 4? ?
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为 R

1分

π π? ? Z ?2kπ ? 2 ,2kπ + 2 ? (k∈Z), ? ? π 3π ? ? Z ?2kπ + 2 ,2kπ + 2 ? (k∈Z), ? ?
分 4

π? ? ∴函数 y=-2sin ? x ? ? 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定 4? ?
2k π +

π
2

≤x-

π
4

≤2k π +

3π (k∈Z), Z 2

即 2k π + 2k π -

7π 3π ≤x≤2k π + (k∈Z), Z 4 4

8分

π
2

≤x-

π
4

≤2k π +

π
2

(k∈Z), Z 12 分

即 2k π -

π
4

≤x≤2k π +

3π (k∈Z). Z 4

π 3π ? ?π ? ? ∴函数 y=2sin ? ? x ? 的单调递减区间、单调递增区间分别为 ?2kπ ? ,2kπ + (k∈Z), Z 4 4 ? ? ? ?4 ?
3π 7π ? ? Z ?2kπ + 4 ,2kπ + 4 ? (k∈Z). ? ?

14 分 2分

π ?π ? 方法二 y=2sin ? ? x ? 可看作是由 y=2sinu 与 u= ? x 复合而成的. 4 4 ? ?
又∵u=

π
4

? x 为减函数,

∴由 2k π -2k π -

π
2

≤u≤2k π +
3π 4

π
2

(k∈Z), Z (k∈Z). Z

π
4

≤x≤-2k π +

π 3π ? ? ?π ? 即 ?? 2kπ ? ,?2kπ + Z ? (k∈Z)为 y=2sin ? 4 ? x ? 的递减区间. 4 4 ? ? ? ?
由 2k π + 即 2k π + -2k π -

π
2

≤u≤2k π + ≤

3π 2

(k∈Z), Z 3π 2 (k∈Z)得 Z

π
2

π
4

-x≤2k π +

5π π ≤x≤-2k π (k∈Z), Z 4 4 12 分

5π π? ? ?π ? ,?2kπ ? ? (k∈Z)为 y=2sin ? ? x ? 的递增区间. 即 ?? 2kπ ? Z 4 4? ? ?4 ?
?π ? 综上可知:y=2sin ? ? x ? 的递增区间为 ?4 ?

5π π? ? Z ; ?? 2kπ ? 4 ,?2kπ ? 4 ? (k∈Z) ? ? 3π ? π ? 递减区间为 ?? 2kπ ? ,?2kπ + (k∈Z). Z 4 4 ? ? ? 14 分

1.求 f(x)= 1 ? 2 cos(

π
2

? x) 的定义域和值域.

2 ?π ? ,利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函数的定义域 解 由函数 1- 2 cos ? ? x ? ≥0,得 sinx≤ 2 ?2 ? 是 5π π ? ? ≤ x ≤ 2kπ + , k ∈ Z ? . ? x | 2kπ ? 4 4 ? ? 2 ?π ? 当 sinx=cos ? ? x ? = 时,ymin=0; ?2 ? 2
?π ? 当 sinx=cos ? ? x ? =-1 时,ymax= 1 + 2 . ?2 ?

所以函数的值域为[0, 1 + 2 ]. 2.已知函数 f(x)= 2 cos 4 x ? 3 cos 2 x + 1 ,求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性. cos 2 x

解 由题意知 cos2x≠0,得 2x≠k π + 解得 x≠ kπ π + (k∈Z). Z 2 4

π
2



所以 f(x)的定义域为 kπ π ? ? + , k ∈Z ? . ? x x ∈R ,且 x ≠ 2 4 ? ?

又 f(x)=
2

2 cos 4 x ? 3 cos 2 x + 1 (2 cos 2 x ? 1) cos 2 x ? 1 = cos 2 x cos 2 x
2

=cos x-1=-sin x. 又定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数. 显然-sin x∈[-1,0] ,但∵x≠ ∴-sin x≠2 2

kπ π + ,k∈Z. Z 2 4

1 . 2

所以原函数的值域为
1 1 ? ? ? y | ?1 ≤ y < ? 或 ? < y ≤ 0? . 2 2 ? ?

?π ? 3.(1)求函数 y=sin ? ? 2 x ? 的单调递减区间; ?3 ? ?π x? (2)求 y=3tan ? ? ? 的周期及单调区间. ? 6 4? ?π ? 解 (1)方法一 令 u= ? ? 2 x ? ,y=sinu,利用复合函数单调性, 方法一 3 ? ?

由 2k π 2k π -k π -

π
2

≤-2x+

π
3

≤2k π +

π
2

(k∈Z),得 Z

5π π ≤-2x≤2k π + (k∈Z), Z 6 6

π
12

≤x≤-k π + ≤x≤k π +

5π (k∈Z), Z 12 5π (k∈Z). Z 12

即 kπ -

π
12

∴原函数的单调递减区间为

π 5π ? ? Z ?kπ ? 12 , kπ + 12 ? (k∈Z). ? ? π? π? ? ? 只需求 y=sin ? 2 x ? ? 的单调递增区间. 方法二 由已知函数 y=-sin ? 2 x ? ? ,欲求函数的单调递减区间, 3? 3? ? ?
由 2k π -

π
2

≤2x-

π
3

≤2k π +

π
2

(k∈Z), Z

解得 k π -

π
12

≤x≤k π +

5π (k∈Z). Z 12

5π ? π ? ∴原函数的单调递减区间为 ?kπ ? , kπ + (k∈Z). Z 12 12 ? ? ?

?π x? ?x π? (2)y=3tan ? ? ? =-3tan ? ? ? , ? 6 4? ?4 6?

∴T=

π ?π x? =4 π ,∴y=3tan ? ? ? 的周期为 4 π . ω ? 6 4? π
2

由 kπ -



x π π ? <k π + , 4 6 2

得 4k π -

4π 8π <x<4k π + 3 3

(k∈Z), Z

?x π? y=3tan ? ? ? 的单调增区间是 ?4 6? 4π 8π ? ? ,4kπ + Z ? 4kπ ? ? (k∈Z) 3 3 ? ? ?π x? ∴y=3tan ? ? ? 的单调递减区间是 ? 6 4? 4π 8π ? ? ,4kπ + Z ? 4kπ ? ? (k∈Z). 3 3 ? ?

一、填空题
? π π? 1.已知函数 y=tan ω x 在 ? ? , ? 内是减函数,则 ω 的范围是 ? 2 2?

.

答案 -1≤ ω <0 2.(2009·徐州模拟)函数 f(x)=sinx- 3 cosx (x∈[- π ,0])的单调递增区间是 (2009·徐州模拟) 答案
? π ? ? ? 6 ,0 ? ? ?

.

3.函数 f(x)=tan ω x ( ω >0)的图象的相邻的两支截直线 y= 答案 0 4.函数 y=2sin( 答案

π
4

所得线段长为

π
4

,则 f (

π
4

) 的值是

.

π
6

-2x)(x∈[0, π ])为增函数的区间是

.

? π 5π ? ?3, 6 ? ? ? .

5.函数 f(x)=lg(sin2x+ 3 cos2x-1)的定义域是 答案

π π ? ? < x < kπ + , k ∈ Ζ ? ? x | kπ ? 12 4 ? ?

6.给出下列命题:

π? ?2 ①函数 y=cos ? x + ? 是奇函数; 3 2? ?
②存在实数 α ,使得 sin α +cos α =
3 ; 2

③若 α 、 β 是第一象限角且 α < β ,则 tan α <tan β ; ④x=

π
8

5π ? ? 是函数 y=sin ? 2 x + ? 的一条对称轴方程; 4 ? ?

π? ? ?π ? ⑤函数 y=sin ? 2 x + ? 的图象关于点 ? ,0 ? 成中心对称图形. 3? ? ? 12 ?
其中命题正确的是 答案 ①④ (填序号).

7.(2008·江苏,1)f(x)=cos( ω x(2008·江苏, 答案 10

π
6

)最小正周期为

π
5

,其中 ω >0,则 ω =

.

8.(2009·东海高级中学高三调研)定义在 R 上的函数 f(x):当 sinx≤cosx 时,f(x)=cosx;当 sinx>cosx (2009·东海高级中学高三调研) 时,f(x)=sinx.给出以下结论: ①f(x)是周期函数 ②f(x)的最小值为-1 ③当且仅当 x=2k π (k∈Z)时,f(x)取最大值 Z ④当且仅当 2k π -

π
2

<x<(2k+1) π (k∈Z)时,f(x)>0 Z

⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是 2 π . 其中正确命题的序号是 答案 ①④⑤ 二、解答题 ? π π? 9.已知 x∈ ?? , ? ,若方程 mcosx-1=cosx+m 有解,试求参数 m 的取值范围. ? 6 3? 解 由 mcosx-1=cosx+m 得 cosx=
m +1 ,作出函数 y=cosx 的图象(如图所示) , m ?1

.(把你认为正确命题的序号都填上)

由图象可得

1 m +1 ≤1,解得 m≤-3. ≤ 2 m ?1

π + 2x ? ? , cos x + sin x ? ,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b. 10.设 a= ? sin 2 b a b 4 ? ?
(1)求函数 f(x)的解析式;
? π 2π ? (2)已知常数 ω >0,若 y=f( ω x)在区间 ?? , ? 上是增函数,求 ω 的取值范围; ? 2 3 ? 2 ? ? π (3)设集合 A= ? x ≤ x ≤ π ? ,B={x||f(x)-m|<2},若 A ? B,求实数 m 的取值范围. 3 ? ? 6 π + 2x 2 解 (1)f(x)=sin 4 ·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx) ?π ? 1 ? cos? + x ? 2 ? +cos2x ? =4sinx· 2

=2sinx(1+sinx)+1-2sin x=2sinx+1, ∴f(x)=2sinx+1. (2)∵f( ω x)=2sin ω x+1, ω >0. 由 2k π -

2

π
2

≤ ω x≤2k π +

π
2

,

π 2kπ π ? ? 2kπ 得 f( ω x)的增区间是 ? ? , + ,k∈Z. Z 2ω ω 2ω ? ? ω ?
? π 2π ? ∵f( ω x)在 ?? , ? 上是增函数, ? 2 3 ?

? π 2π ? ? π π ? ∴ ?? , ? ? ?? 2ω , 2ω ? . ? 2 3 ? ? ? ∴-

π
2

≥?

? 3? 2π π π 且 ≤ ,∴ ω ∈ ? 0, ? . ? 4 2ω 3 2ω ? ?

(3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2, 即 f(x)-2<m<f(x)+2. ∵A ? B,∴当

π
6

2 ≤x≤ π 时, 3

不等式 f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立. ∴f(x)max-2<m<f(x)min+2, ∵f(x)max=f(

π
2

)=3,f(x)min=f(

π
6

)=2,∴m∈(1,4).

? π? 11.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x∈ ?0, ? 时,f(x) ? 2? =sinx. (1)求当 x∈[- π ,0]时,f(x)的解析式; (2)画出函数 f(x)在[- π , π ]上的函数简图; (3)求当 f(x)≥
1 时,x 的取值范围. 2

解 (1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x). ? π? 而当 x∈ ?0, ? 时,f(x)=sinx. ? 2? ? π ? ∴当 x∈ ?? ,0? 时, ? 2 ? f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.

π? ? ? π? 又当 x∈ ?? π ,? ? 时,x+ π ∈ ?0, ? , 2? ? ? 2?
∵f(x)的周期为 π , ∴f(x)=f( π +x)=sin( π +x)=-sinx. ∴当 x∈[- π ,0]时,f(x)=-sinx. (2)如图:

(3)由于 f(x)的最小正周期为 π , 因此先在[- π ,0]上来研究 f(x)≥ 即-sinx≥
1 1 ,∴sinx≤- , 2 2 1 , 2

∴-

5π π ≤x≤- . 6 6

由周期性知,

1 5 π? ? 当 x∈ ?kπ ? π , kπ ? ? ,k∈Z 时,f(x)≥ . Z 6 6? 2 ?
π? ? ? π? 12.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin ? 2 x + ? +2a+b,当 x∈ ?0, ? 时,-5≤f(x)≤1. 6? ? ? 2?
(1)求常数 a,b 的值;

π? ? (2)设 g(x)=f ? x + ? 且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ? π? ?π 7 ? 解 (1)∵x∈ ?0, ? ,∴2x+ ∈ ? , π ? . 6 ? 2? ?6 6 ? π? ? 1 ? ? ∴sin ? 2 x + ? ∈ ?? ,1? , 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin ? 2 x + ? ∈[-2a,a]. 6? ?
∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1,因此可得 b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. (2)由(1)知 a=2,b=-5,

π? ? ∴f(x)=-4sin ? 2 x + ? -1, 6? ? π? 7π ? ? ? g(x)=f ? x + ? =-4sin ? 2 x + ? -1 2? 6 ? ? ? π? ? =4sin ? 2 x + ? -1. 6? ? π? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1,∴4sin ? 2 x + ? -1>1, 6? ?

π? 1 ? ∴sin ? 2 x + ? > , 6? 2 ?
∴2k π + 由 2k π + 由 2k π +

π
6
π
6

<2x+

π
6
π
6

<2k π + ≤2k π + <2k π +

5π ,k∈Z. Z 6

<2x+

π

π? ? (k∈Z),得 g(x)的单调增区间为: ? kπ , kπ + ? (k∈Z) Z Z 2 6? ?

π
2

≤2x+

π
6

5π , 6

π π? ? 得 g(x)的单调减区间为 ?kπ + , kπ + ? (k∈Z). Z 6 3? ?

§4.4

函数 y=Asin( ω x+ ? )的图象及三角函数 模型的简单应用

π? ? 1.(2008·天津理,3)设函数 f(x)=sin ? 2 x ? ? ,x∈R,则 f(x)是 (2008·天津理, R 2? ?
①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为 ④最小正周期为 答案 ②

(填序号).

π
2

的奇函数 的偶函数

π
2

1 ? x 3π ? 2.(2008· 浙江理,5)在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos ? + (2008· 浙江理, ? (x∈[0,2 π ])的图象和直线 y= 的 2 ?2 2 ?

交点个数是 答案 2

个.

?x π? 3.为了得到函数 y=2sin ? + ? ,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sinx,x∈R 的图象上所有的点向 R R ?3 6?

平移

单位,再把所有各点的横坐标变为原来的 答案 左

倍.

π
6
4

3

4.下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 π .
4

②终边在 y 轴上的角的集合是{ α | α =

kπ ,k∈Z}. Z 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y=3sin(2x+

π
3

)的图象向右平移

π
6

得到 y=3sin2x 的图象.

⑤函数 y=sin(x-

π
2

)在[0, π ]上是减函数. .

其中,真命题的编号是 答案 ①④

? π π? 5.已知函数 f(x)=2sin ω x ( ω >0)在区间 ?? , ? 上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ? 3 4?

.

答案

3 2

π? ? 例 1 已知函数 y=2sin ? 2 x + ? , 3? ?
(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;

π? ? (3)说明 y=2sin ? 2 x + ? 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到. 3? ? π? 2π ? =π , 解 (1)y=2sin ? 2 x + ? 的振幅 A=2,周期 T= 2 3? ?
初相 ? =

π
3

.

(2)令 X=2x+

π

π? ? ,则 y=2sin ? 2 x + ? =2sinX. 3 3? ?

列表,并描点画出图象:

(3)方法一 方法一

把 y=sinx 的图象上所有的点向左平移

π

π? ? 个单位,得到 y=sin ? x + ? 的图象,再把 3 3? ?

1 π? π? ? ? ,得到 y=sin ? 2 x + ? 的图象,最 y=sin ? x + ? 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3? 3? 2 ? ?
π? π? ? ? 后把 y=sin ? 2 x + ? 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,即可得到 y=2sin ? 2 x + ? 的图 3? 3? ? ?
象. 方法二 将 y=sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 再将 y=sin2x 的图象向左平移
1 倍,纵坐标不变,得到 y=sin2x 的图象; 2

π
6

个单位;

π? π? π? ? ? ? 得到 y=sin2 ? x + ? =sin ? 2 x + ? 的图象;再将 y=sin ? 2 x + ? 的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐 6? 3? 3? ? ? ?

π? ? 标伸长为原来的 2 倍,得到 y=2sin ? 2 x + ? 的图象. 3? ?
例 2 如图为 y=Asin( ω x+ ? )的图象的一段,求其解析式. 解 方法一 以 N 为第一个零点,
? 5π π ? 则 A=- 3 ,T=2 ? ? ? =π , ? 6 3?

∴ ω =2,此时解析式为 y=- 3 sin(2x+ ? ).

π π ? π ? ∵点 N ? ? ,0 ? ,∴- ×2+ ? =0,∴ ? = , 6 3 ? 6 ? π? ? 所求解析式为 y=- 3 sin ? 2 x + ? . 3? ?
方法二 由图象知 A= 3 ,
?π ? ? 5π ? 以 M ? ,0 ? 为第一个零点,P ? ,0 ? 为第二个零点. 3 ? ? ? 6 ?



π ? ?ω = 2 ?ω ? 3 + ? = 0 ? ? 列方程组 ? 解之得 ? 2π . 5π ?? = ? 3 ?ω ? +? = π ? ? 6 ?
2π ? ? ∴所求解析式为 y= 3 sin ? 2 x ? ?. 3 ? ?



例 3 (14 分)已知函数 f(x)= 其图象相邻

A A π cos(2 ω x+2 ? ) (A>0, ω >0,0< ? < ),且 y=f(x)的最大值为 2, 2 2 2

两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+…+f(2 008). 解 (1)∵y= A A cos(2 ω x+2 ? ), 2 2

且 y=f(x)的最大值为 2,A>0, ∴

A A + =2,A=2. 2 2 1 ? 2π ? π ? ? =2, ω = . 4 2ω ? 2 ?
4分
2 2 ?π ? ?π ? - cos ? x + 2? ? =1-cos ? x + 2? ? . 2 2 ?2 ? ?2 ?

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ω >0, ∴

∴f(x)=

?π ? ∵y=f(x)过(1,2)点,∴cos ? + 2? ? =-1. ?2 ?

6分

π
2

+ 2? =2k π + π ,k∈Z.∴ ? =k π + Z

π
4

,k∈Z. Z

又∵0< ? < 8分 (2)∵ ? =

π
2

,∴ ? =

π
4

.

π
4

π? π ?π ,∴f(x)=1-cos ? x + ? =1+sin x . 2 2 2? ?

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 12 分 又∵y=f(x)的周期为 4,2 008=4×502, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008. 14 分

1.已知函数 y=3sin ?

π? ?1 x? ? 4? ?2

(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 (1)列表:

描点、连线,如图所示:

(2)方法一 “先平移,后伸缩”. 方法一 先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移

π
4

π? π? ? ? 个单位, 得到 y=sin ? x ? ? 的图象; 再把 y=sin ? x ? ? 的图象上 4? 4? ? ?

所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到

π? π? ?1 ?1 y=sin ? x ? ? 的图象, 最后将 y=sin ? x ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 (横坐标不变) , 4? 4? ?2 ?2 π? ?1 就得到 y=3sin ? x ? ? 的图象. 4? ?2
方法二 “先伸缩,后平移” 先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin
1 x 的图象;再把 2

y=sin

1 π x 图象上所有的点向右平移 个单位, 2 2

得到 y=sin

1 π ?x π? ?x π? (x- )=sin ? ? ? 的图象, 最后将 y=sin ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 2 2 2 4? ? ?2 4?

π? ?1 倍(横坐标不变) ,就得到 y=3sin ? x ? ? 的图象. 2 4? ?
(3)周期 T=


ω

=

2π π =4 π ,振幅 A=3,初相是- . 1 4 2

(4)令

1 π π x ? = +k π (k∈Z), Z 2 4 2

得 x=2k π + 令

3 π (k∈Z),此为对称轴方程. Z 2

1 π π x- =k π (k∈Z)得 x= +2k π (k∈Z). Z Z 2 4 2

π ? ? 对称中心为 ? 2kπ + ,0 ? (k∈Z). Z 2 ? ?
2.函数 y=Asin( ω x+ ? )( ω >0,| ? |< 式为 .

π
2

,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达 R

π? ?π 答案 y=-4sin ? x + ? 4? ?8
3.已知函数 f(x)=Asin ω x+Bcos ω x (其中 A、B、 ω 是实常数,且 ω >0)的最小正周 期为 2,并当 x=
1 时,f(x)取得最大值 2. 3

(1)函数 f(x)的表达式;
? 21 23 ? (2)在闭区间 ? , ? 上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由. ?4 4?

解 (1)f(x)=Asin ω x+Bcos ω x= A 2 + B 2 sin(ωx + ? ) 由 T=


ω

=2 知 ω = π ,

又因为 f(x)最大值为 2,所以 f(x)=2sin( π x+ ? ). 由 x=

1 ?π ? 时 f(x)max=2,得 sin ? + ? ? =1, 3 ?3 ?
π
6

∴? =

π? ? .∴f(x)=2sin ? πx + ? . 6? ? π
6

(2)令 π x+ x=k+ 即

=k π +

π
2

(k∈Z)得对称轴方程为 Z

1 1 23 21 ,由对称轴满足 ≤k+ ≤ (k∈Z) Z 4 4 3 3

59 65 ≤k≤ 且 k∈Z,∴k=5. Z 12 12

? 21 23 ? 故在 ? , ? 上 f(x)只有一条对称轴. ?4 4? x=5+
1 16 16 = ,即对称轴方程为 x= . 3 3 3

一、填空题 1.某三角函数图象的一部分如下图所示,则该三角函数为 .

π? ? 答案 y=cos ? 2 x ? ? 6? ? π? ? 2.(2008·全国Ⅰ理,8)为得到函数 y=cos ? 2 x + ? 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象向 (2008·全国Ⅰ 3? ?
个单位长度. 答案 左 平移

5 π 12
.

?π π ? 2 3.(2008·湖南理,6)函数 f(x)=sin x+ 3 sinxcosx 在区间 ? , ? 上的最大值是 (2008·湖南理, ?4 2? 答案
3 2

4.(2008·四川理,10)设 f(x)=sin( ω x+ ? ) (2008·四川理,10) ,其中 ω >0,则 f(x)是偶函数的充要条件是 答案 f′(0)=0

.

π? ?1 5.函数 y=3sin ? x + ? 的周期、振幅依次是 3? ?2
答案 4 π 、3 ?π ? ?π ? ?π ? 6.若函数 f(x)=2sin( ωx + ? )对任意 x 都有 f ? + x ? =f ? ? x ? ,则 f ? ? = 6 6 ? ? ? ? ?6? 答案 -2 或 2 7.(2008·辽宁理,16)已知 f(x)=sin ? ωx + (2008·辽宁理,16) 值,无最大值,则 ω = 答案 . .

? ?

π?

?π ? ?π ? ?π π ? ? ( ω >0),f ? ? =f ? ? ,且 f(x)在区间 ? , ? 上有最小 3? 6? ?3? ? ?6 3?

14 3
.

8.函数 y=|sinx|cosx-1 的最小正周期与最大值的和为 答案 2 π -

1 2

二、解答题 9.是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acosx+ a 值;若不存在,说明理由. 解 y=1-cos x+acosx+
2
2 2

5 3 ? π? a- 在闭区间 ?0, ? 上的最大值是 1?若存在,求出对应的 8 2 ? 2?

5 3 a8 2

= ? ? cos x ?

? ?

a? a2 5 1 + a? ? + 2? 4 8 2
时,0≤cosx≤1,

当 0≤x≤ 若

π
2

a >1,即 a>2,则当 cosx=1 时 2
5 3 20 a - =1,∴a= <2(舍去). 8 2 13

ymax=a+ 若 0≤

a a ≤1,即 0≤a≤2,则当 cosx= 时, 2 2

ymax= 若

a2 5 1 3 + a ? =1,∴a= 或 a=-4(舍去). 4 8 2 2

a <0,即 a<0 时,则当 cosx=0 时, 2
5 1 12 a ? =1,∴a= >0(舍去). 8 2 5 3 符合题设. 2

ymax=

综上所述,存在 a=

10.已知函数 f(x)=sin( ω x+ (1)求函数 f(x)的值域;

π
6

)+sin( ω x-

π

)-2cos 2 ,x∈R(其中 ω >0). R 6
2

ωx

(2)若对任意的 a∈R,函数 y=f(x),x∈(a,a+ π ]的图象与直线 y=-1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ω R 的值(不必证明) ,并求函数 y=f(x),x∈R 的单调增区间. R 解 (1)f(x)=

3 1 3 1 sin ωx + cos ωx + sin ωx ? cos ωx ? (cos ωx + 1) 2 2 2 2

=2 ?

? 3 ? 1 sin ωx ? cos ωx ? -1 ? 2 ? 2 ? ? ? ?

=2sin ? ωx ?

π?

? -1. 6?

由-1≤sin ? ωx ?

? ?

π?

π? ? ? ≤1,得-3≤2sin ? ωx ? ? -1≤1. 6? 6? ?


可知函数 f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为 π ,又由 ω >0,得 于是有 f(x)=2sin ? 2 x ?

ω

= π ,即得 ω =2.

? ?

π?

? -1, 6?

再由 2k π 解得 k π -

π
2

≤2x-

π
6

≤2k π +

π
2

(k∈Z), Z

π
6

≤x≤k π +

π
3

(k∈Z). Z

所以 y=f(x)的单调增区间为 ?kπ ?

? ?

π
6

, kπ +

π?
3? ? ? ?

(k∈Z). Z

11.(2008·安徽理,17)已知函数 f(x)=cos ? 2 x ? (2008·安徽理,17)

π?

π? π? ? ? ? +2sin ? x ? ? ·sin ? x + ? . 3? 4? 4? ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
? π π? (2)求函数 f(x)在区间 ?? , ? 上的值域. ? 12 2 ?

解 (1)∵f(x)=cos ? 2 x ?

? ?

π?

π? π? ? ? ? +2sin ? x ? ? ·sin ? x + ? 3? 4? 4? ? ?

= = =

1 3 cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 2 2 1 3 2 2 cos2x+ sin2x+sin x-cos x 2 2 1 3 π? ? cos2x+ sin2x-cos2x=sin ? 2 x ? ? . 6? 2 2 ? 2π =π . 2
=k π +

∴周期 T= 由 2x ?

π
6

π
2

(k∈Z),得 x= Z

kπ π + (k∈Z). Z 2 3

∴函数图象的对称轴方程为 x=

kπ π + (k∈Z). Z 2 3

π ? π 5π ? ? π π? (2)∵x∈ ?? , ? ,∴ 2 x ? ∈ ?? , . 12 2 ? 6 ? 3 6 ? ? ?
? π π? ?π π ? π? ? ∵f(x)=sin ? 2 x ? ? 在区间 ?? , 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减, 6? 12 3 ? ? ? ? ?3 2?
∴当 x=

π
3

时,f(x)取得最大值 1,

3 ?π ? 1 ? π ? 又∵f ? ? ? =<f ? ? = , 2 ? 12 ? ?2? 2 ∴当 x= ?

π
12

时,f(x)取得最小值-

3 . 2
? ,1? . ? ?

? 3 ? π π? ∴函数 f(x)在 ?? , ? 上的值域为 ?? 12 2 ? 2 ? ? ?
12.(2008·湖北理,16)已知函数 f(t)= (2008·湖北理,16)

1? t ? 17π ? ,g(x)=cosx·f(sinx)+sinx·f(cosx),x∈ ? π , ?. 1+ t ? 12 ? (1)将函数 g(x)化简成 Asin( ω x+ ? )+B(A>0, ω >0, ? ∈[0,2 π ))的形式; 1 ? sin x 1 ? cos x + sin x ? 1 + sin x 1 + cos x

(2)求函数 g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cosx·

=cosx·

(1 ? sin x )2
cos 2 x

+ sin x ?

(1 ? cos x) 2 sin 2 x

=cosx·

1 ? sin x 1 ? cos x +sinx· . cos x sin x

∵x∈ ? π ,

? ?

17π ? ,∴|cosx|=-cosx,|sinx|=-sinx. 12 ? ?

∴g(x)=cosx·

1 ? sin x 1 ? cos x +sinx· ? cos x ? sin x
? ?

=sinx+cosx-2= 2 sin ? x + (2)由 π <x≤ ∵sint 在 ?

π?

? -2. 4?

17π 5π π 5π ,得 <x+ ≤ . 12 4 4 3

? 5π 3π ? ? 3π 5π ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2 ? ? 2 3 ?

sin

5π 5π <sin , 3 4 3π π? 5π ? ≤sin ? x + ? <sin 2 4? 4 ?

∴sin

? ? 17π ? ? ? x ∈ ?π , ? ?? ? ? 12 ? ? ?

即-1≤sin ? x +

? ?

π?

2 , ? <4? 2 ? ?

∴- 2 -2≤ 2 sin ? x +

π?

? -2<-3, 4?

故 g(x)的值域为[- 2 -2,-3).

两角和与差的正弦、 §4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切

基础自测

1.已知 sin α = 答案

3 sin 2a ?π ? ,且 α ∈ ? , π ? ,那么 的值等于 5 cos 2 a ?2 ?

.

?

3 2
.

2.已知 tan( α + β )=3,tan( α - β )=5,则 tan2 α = 答案 -

4 7
π
2

3. 设 α ∈(0, 答案 1 5

) ,若 sin α =

3 π ,则 2 cos( α + )= 5 4

.

4.(2008·山东理)已知 cos ? α ? (2008·山东理) 答案

? ?

π?

7π ? 4 ? 3 ,则 sin ? α + ? +sin α = ? 的值是 6? 5 6 ? ?

.

?

4 5
.

5.函数 y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为 答案

π

· 例 1 求[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)] 2 sin 80 的值.

2

o

例 2 已知 cos( α ? 解 ∵

β
2

)=-

1 α 2 π π α+β ,sin( - β )= ,且 < α , β < ,求 cos 的值. 9 2 3 2 2 2

β ? ?α ? ? α +β , ?α ? ? ? ? ? β ? = 2? ?2 2 ? ?

π
2

< α <π,0< β <

π
2



π
4

<α -

β
2

<π,-

π
4



α
2

-β <

π
4

.

∴sin ? α ?

? ?

β?

β? 4 5 2? , ? = 1 ? cos ? α ? ? = 2? 9 2? ?

cos ?

5 ?α ? ?α ? ? β ? = 1 ? sin 2 ? ? β ? = ?2 ? 3 ?2 ? ?α + β ? 2

∴cos ?

β? β? ? ? ?α ? ? ?α ? 7 5 . ? =cos ? α ? ? cos ? ? β ? +sin ? α ? ? sin ? ? β ? = 2? 2? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 27
5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10 5 10 ,sinB= , 5 10
2 5 , 5

例3 解

(14 分)若 sinA=

∵A、B 均为钝角且 sinA=

∴cosA=- 1 ? sin A =2

2 5

=-

cosB=- 1 ? sin B =2

3 10

=-

3 10 , 10

6分 ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB = ??

? 2 5 ? ? 3 10 ? ? × ?? ? - 5 × 10 = 2 ? ? ? 10 ? 5 5 ? ? 10 2 ? ?
① 10 分 <A< π ,

又∵

π
2

π
2

<B< π ,

12 分 ∴ π <A+B<2 π ② 由①②知,A+B= 14 分 例4 化简 sin α ·sin β +cos α cos β 2 2 2 2

7π . 4 1 cos2 α ·cos2 β . 2

解 方法一 (复角→单角,从“角”入手) 原式=sin α ·sin β +cos α ·cos β 2 2 2 2

1 2 2 ·(2cos α -1)·(2cos β -1) 2

=sin α ·sin β +cos α ·cos β 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 (4cos α ·cos β -2cos α -2cos β +1) 2
2 2

=sin α ·sin β -cos α ·cos β +cos α +cos β -

1 2

=sin α ·sin β +cos α ·sin β +cos β 2 2 2 2 2

1 2

=sin β +cos β 2 2

1 1 1 =1- = . 2 2 2 1 cos2 α ·cos2 β 2

方法二 (从“名”入手,异名化同名) 原式=sin α ·sin β +(1-sin α )·cos β 2 2 2 2

=cos β -sin α (cos β -sin β )2 2 2 2

1 cos2 α ·cos2 β 2

=cos β -sin α ·cos2 β 2 2

1 cos2 α ·cos2 β 2

1 ? ? 2 =cos β -cos2 β · ? sin 2 α + cos 2α ) ? 2 ? ?

=

1 + cos 2β 1 ? 2 ? 2 -cos2 β · ?sin α + (1 ? 2 sin α )? 2 2 ? ?
1 + cos 2β 1 1 - cos2 β = . 2 2 2 1 ? cos 2α 1 ? cos 2β 1 + cos 2α 1 + cos 2 β 1 · + · - cos2 α ·cos2 β 2 2 2 2 2
(1+cos2 α · cos2 β +cos2 α +cos2 β )-

=

方法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 原式= =

1 1 ( 1+cos2 α · cos2 β -cos2 α -cos2 β ) + 4 4

1 1 ·cos2 α ·cos2 β = . 2 2
方法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sin α ·sin β -cos α ·cos β ) +2sin α ·sin β ·cos α ·cos β 2

1 cos2 α ·cos2 β 2

=cos ( α + β )+
2

1 1 sin2 α ·sin2 β - cos2 α ·cos2 β 2 2 1 ·cos(2 α +2 β ) 2 1 1 2 · [2cos ( α + β )-1]= . 2 2

=cos ( α + β )2

=cos ( α + β )2

1.不查表求 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°的值. 解 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80° =
2 2

2

2

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 2 2

3 sin20°cos80°

=1=1-

1 1 cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+ 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) 2 2 1 1 3 3 3 2 cos40°- cos40°sin40°+ sin40°- sin 20° 4 4 2 2 4 3 3 1 cos40°(1-cos40°)= . 4 4 4
? ?

=1=1-

2.求值: (1)已知 cos ? α ?

β?

4 π π α +β α? 5 ? 的值; ? =- ,sin ? β ? ? = ,且 < α <π,0< β < ,求 cos 5 2 2 2 2? 2 ? 13 ?
11 , α 、 β 均为锐角,求 cos β 的值. 14

(2)已知 tan α =4 3 ,cos( α + β )=解 (1) ? α ? ∵

? ?

β? ?

α? α +β , ? +?β ? ? = 2? ? 2? 2 π
2
.

π
2

< α < π ,0< β <

∴α ?

β
2

∈?

α ? π π? ?π ? ,π ? , β ? ∈ ? ? , ? 4 ? 2 ? 2 4? ?

∴sin ? α ?

? ?

β?

3 β 2 ? = 1 ? cos (α ? ) = , 2? 5 2

12 α? α ? cos ? β ? ? = 1 ? sin 2 ( β ? ) = , 2? 2 13 ?
∴cos

α +β
2

β α ? ? =cos ?(α ? ) + ( β ? )? 2 2 ? ?

=cos ? α ?

? ?

β?

β? ? α? α? ? ? ? cos ? β ? ? -sin ? α ? ? sin ? β ? ? 2? 2? 2? 2? ? ? ?

12 5 3 63 4 = (? ) × × =. 5 13 13 5 65

(2)∵tan α =4 3 ,且 α 为锐角, ∴
sin α = 4 3 ,即 sin α =4 3 cos α , cos α
2 2

又∵sin α +cos α =1, ∴sin α =
4 3 1 ,cos α = . 7 7

∵0< α , β <

π
2

,∴0< α + β < π ,
5 3 . 14

∴sin( α + β )= 1 ? cos 2 (α + β ) = 而 β =( α + β )- α , ∴cos β =cos[ α + β )- α ] (

=cos( α + β )cos α +sin( α + β )sin α
4 3 1 1 5 3 ? 11 ? × = . = ?? ? × + 7 14 7 2 ? 14 ?

3.在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin 解 在△ABC 中,A+B+C=180°, 由 4sin 得 4·
2

2

A+C 7 -cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

A+C 7 -cos2B= , 2 2

1 ? cos( A + C ) 7 2 -2cos B+1= , 2 2
2

所以 4cos B-4cosB+1=0. 于是 cosB=
1 ,B=60°. 2

?π ? ?π ? 4.化简: (1) 2 sin ? ? x ? + 6 cos ? ? x ? ; ?4 ? ?4 ?

(2)

2 cos 2 α ? 1 . ?π ? 2?π ? 2 tan ? ? α ? sin ? + α ? ?4 ? ?4 ?

?1 ? π 3 ? ?π ?? 解 (1)原式=2 2 ? sin ? ? x ? + ? cos? ? x ?? 2 ?4 2 4 ? ? ?? ? ? ? ? π π ?π ? ?π ?? =2 2 ?sin sin ? ? x ? + cos cos? ? x ? ? 6 ? ?4 ?? ? 6 ?4

π ?π π ? =2 2 cos ? ? + x ? =2 2 cos(x). 12 ?6 4 ?
(2)原式=

cos 2α 1 ? tan α 1 + tan α ? ?π ?? ?1 ? cos? + 2α ?? ?2 ?? ?

=

cos 2α =1. cos 2α (1 + sin 2α ) 1 + sin 2α

一、填空题 1.已知 tan( α + β )= 答案
3 22 2 π? π? 1 ? ? ,tan ? β ? ? = ,那么 tan ? α + ? = 4? 4 5 4? ? ?

.

2.sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= 答案
1 2

.

4 ? π ? 3.已知 x∈ ? ? ,0 ? ,cosx= ,则 tan2x= 5 ? 2 ?

.

答案 -

24 7 1 ? π ? (其中 α ∈ ? ? ,0 ? ) ,则 sin α 的值为 2 ? 4 ?

4.已知 cos2 α = 答案 5.(cos
1 2
? sin

.

π
12 3 2

π
12

)(cos

π
12

+ sin

π
12

)=

.

答案

x ?1 ?π ? 2 ,则 f ? ? 的值为 6.若 f(x)=2tanxx x ? 12 ? sin cos 2 2 2 sin 2
答案 8

.

?π ? 7.(2008·上海理,6)函数 f(x)= 3 sinx+sin ? + x ? 的最大值是 (2008·上海理, ?2 ?

.

答案 2 8.求值:cos 答案
3 2
4

π
8

+cos

4

3π 4 5π 4 7π +cos +cos = 8 8 8

.

二、解答题 9.已知 tan α =
1 1 ,tan β = ,并且 α , β 均为锐角,求 α +2 β 的值. 7 3 1 1 <1,tan β = <1, 7 3

解 ∵tan α =

且 α 、 β 均为锐角, ∴0< α <

π
4

,0< β <
3π . 4
2

π
4

.

∴0< α +2 β < 又 tan2 β =

2 tan β 1 ? tan β

=

3 , 4

tan α + tan 2β = ∴tan( α +2 β )= 1 ? tan α ? tan 2β

1 3 + 7 4 =1. 1 3 1? × 7 4

∴ α +2 β =

π
4

. 1 + cos 2 x 4 sin(
x π? ? ·cos ? π ? ? 的最大值为 2,试确定常数 a 的值. 2 2? ?

10.若函数 f(x)=

π

-asin

2

+ x)

解 f(x)= =

2 cos 2 x x x +asin cos 4 cos x 2 2

a 1 a2 1 cosx+ sinx= + sin(x+ ? ) , 2 2 4 4

其中角 ? 满足 sin ? = 1 a2 + =4. 4 4

1 1+ a2

.

由已知,有

解之得 a=± 15 .
1 ?π ? ?π ? 1 ?π π ? 2 11.已知 sin ? + 2α ? ·sin ? ? 2α ? = , α ∈ ? , ? ,求 2sin α +tan α -1 的值. tan α ?4 ? ?4 ? 4 ?4 2?

?π ? ?π ? 1 解 ∵sin ? + 2α ? sin ? ? 2α ? = , 4 4 ? ? ? ? 4

?π ? π ?π ? ?? 1 ∴sin ? + 2α ? cos ? ? ? ? 2α ?? = , 4 2 ?4 ?? 4 ? ? ? 即
1 ?π ? 1 ?π ? 1 sin ? + 4α ? = ,sin ? + 4α ? = , 2 ?2 ? 4 ?2 ? 2 1 5π 5π ?π π ? ,又∵ α ∈ ? , ? ,∴4 α = ,α = , 2 3 12 ?4 2? 1 -1 tan α

∴cos4 α =
2

∴2sin α +tan α =2sin α +
2

sin α cos α sin 2 α ? cos 2 α 2 -1=2sin α -1+ sin α cos α cos α sin α

5π 2 cos ? cos 2α 5π 6 =-cos2 α + =-cos 1 5π 6 sin 2α sin 2 6
? 3? ? 2× ?? ? 2 ? 5 3 ? ?= = 3. 1 2 2 2

12.已知 tan( π + α )=-

1 sin(π ? 2α ) + 4 cos 2 α ,tan( α + β )= . 3 10 cos 2 α ? sin 2α

(1)求 tan( α + β )的值; (2)求 tan β 的值. 解 (1)∵tan( π + α )=∵tan( α + β )= = =
1 1 ,∴tan α =- , 3 3

sin(π ? 2α ) + 4 cos 2 α 10 cos 2 α ? sin 2α

=

sin 2α + 4 cos 2 α 10 cos 2 α ? sin 2α

2 sin α cos α + 4 cos 2 α 10 cos 2 α ? 2 sin α cos α
2 cos α (sin α + 2 cos α ) 2 cos α (5 cos α ? sin α )

=

sin α + 2 cos α tan α + 2 = , 5 cos α ? sin α 5 ? tan α

1 +2 5 ∴tan( α + β )= 3 = . 1 16 5+ 3 ?
(2)∵tan β =tan[( α + β )- α ]= tan(α + β ) ? tan α , 1 + tan(α + β ) tan α

5 1 + 16 3 = 31 . ∴tan β = 5 1 43 1? × 16 3

单元检测四
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 填空题
? π? 1.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x∈ ?0, ? 时,f(x) ? 2? ? 5π ? =sinx,则 f ? ? 的值为 ? 3 ?

.

答案

3 2

2.设点 P 是函数 f(x)=29sin ω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是 则 f(x)的最小正周期是 答案
2

π
8

,

.

π
2
2

3.y=sin x+2sinxcosx+3cos x 的最小正周期和最小值分别为 答案

.

π ,2- 2
3 π 1 ( < α < π ),tan( π - β )= ,则 tan( α - β )的值等 5 2 2

4. ( 2009 · 徐州六县一区联考 ) 设 sin α = 于 答案 2 11

.

5.将函数 f(x)= 3 sin2x-cos2x 的图象向右平移 θ ( θ >0)个单位,所得函数是奇函数,则实数 θ 的最小值 为 答案
5π 12

.

?a + b, ab ≤ 0 ? 6.定义运算 a*b= ? a ,则函数 f(x)=(sinx)*(cosx)的最小值为 ? b , ab > 0 ?

.

答案 -1

7.cos( α + β )= 答案 56 65

3 π? 5 π? ? ? π? ? ,sin ? β ? ? = , α , β ∈ ? 0, ? ,那么 cos ? α + ? 的值为 5 4 ? 13 4? ? ? 2? ?

.

8.已知函数 f(x)=asinx-bcosx(a、b 为常数,a≠0,x∈R)在 x= R 函数.(用“奇”“偶”“非奇非偶”填空) , , 答案 奇 9.(2008·重庆理,10)函数 f(x)= (2008·重庆理,10) 答案 [-1,0] sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x

π
4

? 3π ? 处取得最小值,则函数 y=f ? ? x? 是 4 ? ?

(0≤x≤2 π )的值域是

.

? 1? ?π ? 10.设 a=(a1,a2),b= 1,b2) 定义一种向量积: ? b= 1,a2)? (b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知 m= ? 2, ? ,n= ? ,0 ? , , (a b (b a n ? 2? ?3 ?

点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,且满足 OQ =m ? OP +n(其中 O 为坐标原 m n 点),则 y=f(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 答案
1 ,4 π 2 1 3 ,cos( α - β )= ,则 tan α ·tan β = 5 5

.

11.若 cos( α + β )= 答案
1 2

.

12.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2 π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范 围是 . 答案 1<k<3

π? π? ? ? 13.若 f(x)=asin ? x + ? +bsin ? x ? ? (ab≠0)是偶函数,则有序实数对(a,b)可以是 4? 4? ? ?
(注:只要填满足 a+b=0 的一组数字即可) 答案 (1,-1)
3 ? ? 14.关于函数 f(x)=2sin ? 3x ? π ? ,有下列命题: 4 ? ?

.

①其最小正周期为

2 π; 3 3 个单位而得到; 4

②其图象由 y=2sin3x 向左平移

? π 5π ? ③在 ? , ? 上为单调递增函数,则其中真命题为 ?12 12 ?

(写出你认为正确答案的序号).

答案 ①③ 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 解答题
33 5 ? π? ?π ? 15.(14 分)已知 α ∈ ? 0, ? , β ∈ ? , π ? 且 sin( α + β )= ,cos β =.求 sin α . 65 13 ? 2? ?2 ? 5 12 ?π ? ,∴sin β = . 解 ∵ β ∈ ? , π ? ,cos β =13 13 ?2 ?

又∵0< α <

π
2

,

π
2

< β < π ,∴

π
2

<α + β <

3π , 2

又 sin( α + β )= ∴

33 , 65

π
2

< α + β < π ,cos( α + β )=- 1 ? sin 2 (α + β )
2

56 ? 33 ? =- 1 ? ? ? =, 65 ? 65 ?

∴sin α =sin[( α + β )- β ] =sin( α + β )cos β -cos( α + β )sin β =
33 ? 5 ? ? 56 ? 12 3 · ?? ? - ?? ? · = . 65 ? 13 ? ? 65 ? 13 5

16.(14 分)已知函数 f(x)=Asin( ω x+ ? )(A>0, ω >0,| ? |<

π
2

) (x∈R)的部分图象如图所 R 示.

(1)求 f(x)的表达式;

π? ? (2)设 g(x)=f(x)- 3 f ? x + ? ,求函数 g(x)的最小值及相应的 x 的取值集合. 4? ?
解 (1)由图象可知:A=1, 函数 f(x)的周期 T 满足: ∴T=


T π π π = = ,T= π , 4 3 12 4

ω

= π .∴ ω =2.∴f(x)=sin(2x+ ? ).

?π ? 又 f(x)图象过点 ? ,1? , ? 12 ?

π π ?π ? ?π ? ∴f ? ? =sin ? + ? ? =1, + ? =2kπ+ (k∈Z). Z 6 2 ? 12 ? ?6 ?
又| ? |<

π
2

,故 ? =

π
3

π? ? .∴f(x)=sin ? 2 x + ? . 3? ?

π? ? (2)方法一 g(x)=f(x)- 3 f ? x + ? 方法一 4? ? π? π π? ? ? =sin ? 2 x + ? - 3 sin ? 2 x + + ? 3? 2 3? ? ? π? 5π ? ? ? =sin ? 2 x + ? - 3 sin ? 2 x + ? 3? 6 ? ? ?
=
1 3 3 3 sin2x+ cos2x+ sin2xcos2x 2 2 2 2

=2sin2x, 由 2x=2k π -

π
2

(k∈Z),得 x=k π Z

π
4

(k∈Z), Z

π ? ? ∴g(x)的最小值为-2,相应的 x 的取值集合为 ? x | x = kπ ? , k ∈Z ? . 4 ? ?

π? ? 方法二 g(x)=f(x)- 3 f ? x + ? 4? ? π? π π? ? ? =sin ? 2 x + ? - 3 sin ? 2 x + + ? 3? 2 3? ? ? π? π? ? ? =sin ? 2 x + ? - 3 cos ? 2 x + ? 3? 3? ? ?
?? π? π? =2sin ?? 2 x + ? ? ? =2sin2x, 3 ? 3? ? ? 由 2x=2k π -

π
2

(k∈Z),得 x=k π Z

π
4

(k∈Z), Z

∴g(x)的最小值为-2,相应的 x 的取值集合为{x|x=k π -

π
4

,k∈Z}. Z

17.(2008·江苏,15)(14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α , (2008·江苏,15) (2008

β ,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为
(1)求 tan( α + β )的值; (2)求 α +2 β 的值. 解 由条件得 cos α = ∵ α , β 为锐角, ∴sin α = 1 ? cos 2 α = sin β = 1 ? cos 2 β = 因此 tan α =
7 2 , 10 2 2 5 ,cos β = . 5 10

2 5 2 , . 5 10

5 . 5

sin α sin β 1 =7,tan β = = . cos α cos β 2

tan α + tan β (1)tan( α + β )= = 1 ? tan α ? tan β

7+

1 2 1 2

=-3.

1? 7×

1 2 =4, (2)∵tan2 β = = 1 ? tan 2 β 1 ? ( 1 ) 2 3 2
2 tan β



tan α + tan 2 β = ∴tan( α +2 β )= 1 ? tan α ? tan 2 β

4 3 =-1. 4 1? 7 × 3 7+

∵ α , β 为锐角,∴0< α +2 β < 18. ( 16
2

3π 3π ,∴ α +2 β = . 2 4

分 ) 已 知

tan α

、 tan
2

β

是 方 程

x -4x-2=0

2

的 两 个 实 根 ,

求:cos ( α + β )+2sin( α + β )cos( α + β )-3sin ( α + β )的值. 解 由已知有 tan α +tan β =4,tan α ·tan β =-2,

∴tan( α + β )=
2

tan α + tan β 4 = , 1 ? tan α tan β 3
2

cos ( α + β )+2sin( α + β )cos( α + β )-3sin ( α + β ) = =
cos 2 (α + β ) + 2 sin(α + β ) cos(α + β ) ? 3 sin 2 (α + β ) cos 2 (α + β ) + sin 2 (α + β ) 1 + 2 tan(α + β ) ? 3 tan 2 (α + β ) 1 + tan 2 (α + β )

1+ 2×
=

4 16 ? 3× 3 9 =- 3 . 16 5 1+ 9

π? π ? 7π ? ? 19. (16 分) 把曲线 C: y=sin ? ? x ? · ? x + ? 向右平移 a (a>0)个单位, cos 得到的曲线 C′关于直线 x= 8? 4 ? 8 ? ?
对称. (1)求 a 的最小值;
? 8π 9π (2)就 a 的最小值证明:当 x∈ ? ? ,? 8 ? 7 ? ? 时,曲线 C′上的任意两点的直线斜率恒大于零. ?

π? ? 7π ? ? (1)解 ∵y=sin ? 解 ? x ? ? cos? x + ? 8? ? 8 ? ? π? ? π? ? =sin ? x + ? cos? x + ? 8? ? 8? ?
=
1 π? ? sin ? 2 x + ? , 2 4? ? 1 π? ? sin ?2( x ? a ) + ? , 2 4? ?

∴曲线 C′方程为 y=

它关于直线 x= ∴

π
4

对称,

1 π? 1 ? π sin ?2( ? a ) + ? =± , 4? 2 2 ? 4

π ?π ? π 即 2 ? ? a ? + =k π + (k∈Z), Z 2 ?4 ? 4
解得 a=

π
8

-

kπ (k∈Z), Z 2

∵a>0,∴a 的最小值是 (2)证明 当 a= 证明 由函数 y=

π
8

.
1 sin2x. 2

π
8

时,曲线 C′的方程为 y=

1 sin2x 的图象可知: 2

1 ? 8π 9π ? 当 x∈ ? ? ,? ? 时,函数 y= sin2x 是增函数, 8 ? 2 ? 7

所以当 x1<x2 时,有 y1<y2, 所以 y 2 ? y1 >0,即斜率恒大于零. x 2 ? x1

20.(16 分)设函数 f(x)=sin(2x+ ? ) π < ? <0) (,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= (1)求 ? ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)证明:直线 5x-2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. (1)解 ∵x= 解

π
8

.

π
8

是函数 y=f(x)的图象的对称轴,

π ? ? ∴sin ? 2 × + ? ? =±1, 8 ? ?


π
4

+ ? =k π +

π
2

,k∈Z. Z
3π . 4 3π 3π ? ? ,因此 y=sin ? 2 x ? ?. 4 4 ? ?

∵- π < ? <0,∴ ? =-

(2)解 由(1)知 ? =解 由题意得 2k π 则 kπ +

π
2

≤2x-

3π π ≤2k π + ,k∈Z. Z 4 2

π
8

≤x≤k π +

5 π ,k∈Z Z 8

3π ? ? 所以函数 y=sin ? 2 x ? ? 的单调增区间为 4 ? ? 5π ? π ? Z ?kπ + 8 , kπ + 8 ? ,k∈Z. ? ?

(3)证明 ∵|y′|=|(sin( 2 x ? 证明 =|2cos( 2 x ?
3π )|≤2, 4

3π ) )′| 4

∴曲线 y=f (x) 的切线斜率的取值范围是 [-2, , 2] 而直线 5x-2y+c=0 的斜率为 与函数 y=sin( 2 x ?
3π )的图象不相切. 4

5 >2, 所以直线 5x-2y+c=0 2



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