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2015-2016高三数学期中考试答案


新马中学高三年级第一次市统测仿真试卷二 数 学
考试时间:2015.11.16

出题人:李耀亮 做题人:孟祥海 审核人:李耀亮

一、填空题 (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把每小题的答案填在答题纸相应 的位置上) 1.已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3}, B ? ? y y ? ( ) x ,

x ? A} ,全集为 U ? R ,则 A ? (CU B) 为

? ?

1 2

1 [ ,3) 2
2.已知复数 z ? (1 ? i) , 则 | z | =
2

2 3.口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黄球.从袋中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.24, 摸出白球的概率是 0.36,那么摸出红球或黄球的概率是 . 0.4 4.某校 100 位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示 ,其中成绩分组区间 是: ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100? .则图中 a 的值为 0.005

5.当 n=3 时,执行如上图所示的程序框图,输出的 S 值为 6.下面给出几个命题,其中正确的命题的个数为 ①设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ | a |?| b | ”的充要条件;

14

②命题“对任意 x ? R ,均有 x 2-2 x+5 ? 0 ”的否定为“存在 x ? R ,使得 x 2-2 x+5 ? 0

③命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题; ④己知 p、q 为命题,命题“ (p 或 q)”为假命题,则 p 真且 q 真 7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的 a 2 b2
2

一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的离心率 e 为 8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? ?
C1 B1 F D A C B

? 6
A1 E

D1

11.如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分别在 AA1 , CC1 上, 且 AE ?

3 1 AA1 , CF ? CC1 ,点 A, C 到 BD 的距离之比为 3:2,则三棱锥 E ? BCD 和 4 3

F ? ABD 的体积比

VE ? BCD = VF ? ABD





3 2

10.已知 ?ABC 的内角为 A、 B、 C 的所对的边分别为 a , b, c , 且 A、 B、 C 成等差数列, 且 ?ABC 的面积为 4 3 ,则 2 a ? 3c 的最小值为 ▲

8 6

【 解 析 】 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 可 知 , A ? B ? C ? ? , 2B ? A ? C , B ?

?
3

,可知

1 1 3 S?ABC ? ac sin B ? ac ? ? 4 3, ac ? 16, 2a ? 3c ? 2 6ac ? 2 6 ?16 ? 8 6 2 2 2
当且仅当 2 a ? 3c 时,等号成立 11.已知函数 f ?x ? ? ? 取值范围是 ▲
2 2

?kx ? 2, x ? 0, ?k ? R? ,若函数 y ? f ?x? ? k 有三个零点,则实数 k 的 ?ln x, x ? 0.

k ? ?2
12.若圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 (a, b) 向圆所 作的切线长的最小值是 ▲ 4

13.如图,在直角梯形 ABCD中, AB // DC, AD ? AB, AD ? DC ? 2, AB ? 3 ,点 M 是 BC 上的一个动点, 点 N 是 DC 边的中点, 则当 AM ? AN 的最大值, cos ?MAN ? ________

D

C M

A

B

【答案】

3 10 10
y D N C M A B x

【解析】以 AB、AD 所在直线分别为 x、y,建立如图坐标系,可得

A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(0,2),因此 CD 中点 N 坐标为(1,2),直线 BC 方程为 y=-2x+6,设 M(λ ,-2λ +6),(2≤λ ≤3)则 AM =(λ ,-2λ +6), AN =(1, 2),∴ AM ? AN =λ +2(-2λ +6)=12-3λ ,∵2≤λ ≤3,∴当λ =2 时, AM ? AN =6

???? ?

????

???? ?

????

???? ?

????

???? ? AM ? AN ? ???? ? 取得最大值,此时 AM =(2,2) ,则 cos ?MAN ? ????

???? ? ????

| AM | ? | AN |

6 3 10 . ? 10 2 2? 5
,且

14. 已 知 函 数

的两个极值点分别为

点 P(m,n)表示的平面区域为 D,若函数 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是(1,3)

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15 .如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( x1,y1 ) 在单位圆 O 上, ?xOA ? ? ,且

?? ? ? ? ?? , ? . 6 2 ? ?
(1)若 cos(? ?

?
3

)??

11 ,求 x1 的值; 13

(2)若 B ( x2,y2 ) 也是单位圆 O 上的点,且 ?AOB ?

?
3

.过点 A、B 分别做 x 轴的垂线,

垂足为 C、D ,记 ?AOC 的面积为 S1 , ?BOD 的面积为 S 2 .设 f

?? ? ? S1 ? S2 ,求函数

f ?? ? 的最大值.
y

B

A

DO

C

x

15.(1)由三角函数的定义有 x1 ? cos ? , ∵ cos(? ? ∴ sin(? ?

?
3

)??

11 ? ? ,? ? ( , ) , 13 6 2

?
3

)?

4 3 ? ?? ? , ∴ x1 ? cos ? ? cos ?(? ? ) ? ? 3 3? 13 ?

? ? ? ? 11 1 4 3 3 1 ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin ? ? ? ? . ? ? 3 3 3 3 13 2 13 2 26 1 1 1 (2)由 y1 ? sin ? ,得 S1 ? x1 y1 ? cos ? sin ? ? sin 2? . 2 2 4 ? ? ? ? ? ? 5? 由定义得 x2 ? cos(? ? ) ,y2 ? sin(? ? ) , 又由? ? ( , ) ,得? ? ? ( , ) , 于是, 3 3 6 2 3 2 6 1 2? 1 1 ? ? ) S 2 ? ? x2 y2 ? ? cos(? ? )sin(? ? ) ? ? sin(2? ? 4 3 2 2 3 3 1 1 2? 1 1 2? 2? ) = sin 2? ? (sin 2? cos ? cos 2? sin ) ∴ f (? ) ? S1 ? S 2 ? sin 2? ? sin(2? ? 4 4 3 4 4 3 3 3 3 3 3 1 3 ? = sin 2? ? cos 2? = ( sin 2? ? cos 2? ) = sin(2? ? ) , 8 8 4 2 2 4 6 ? 3 ? ? ? ? 5? ? ? . 由? ? ( , ) ,可得2? ? ? ( , ) , 于是当2? ? ? ,即 ? ? 时,f (? ) max ? 3 4 6 2 6 6 6 6 2 A1 16. (本题满分 14 分)
B1

C1

如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.

A B

C D

16.证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC.

(第 16 题)

因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. ???????5 分 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. ???????7 分 (2)(证法一) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B. ???????11 分 ? 平面 ADC1, 因为 OD?平面 ADC1,A1B/ 所以 A1B//平面 ADC1. (证法二) ∥BD. 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 = 所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. ? 平面 ADC1, 因为 C1D?平面 ADC1,D1B/ 所以 D1B//平面 ADC1. 同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1. 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1. ???????11 分 ???????14 分 ???????14 分

A1 B1

C1

A1 B1

D1

C1

O

A B

C D

A B

C D

(第 16 题图)

(第 16 题图)

17.(本小题满分 16 分) 如 图 , 河 的 两 岸 分 别 有 生 活 小 区 ABC 和 DEF , 其 中 AB ? BC , EF ? DF , DF ? AB , C , E , F 三点共线, FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 AB ? 3 km ,

9 3 km , FE ? 3km , EC ? km . 若以 OA, OD 所在直线 4 2 x?b 分别为 x , y 轴建立平面直角坐标系 xOy ,则河岸 DE 可看成是曲线 y ? (其中 x?a a , b 为常数)的一部分,河岸 AC 可看成 y 是直线 y ? kx ? m (其中 k , m 为常数)的
BC ? OF ? 4km , DF ?
一部分. (1)求 a, b, k , m 的值; (2) 现准备建一座桥 MN , 其中 M , N 分 别在 DE , AC 上, 且 MN ? AC , 设点 M 的横坐标为 t . ①请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数 关系式 l ? f (t ) ,并注明定义域; ②当 t 为何值时,l 取得最小值?最小 值是多少? D N F M E C

O

A
第 18 题图

B

x

( , ,) 3 4 , ( ) E 解: (1) 将 D0
2分 解

7 4

? 7 b ? ? x?b ? 4 a 两点坐标代入到 y ? 中, 得? , 3 ? b x?a ?4 ? ? 3? a ?

……………

得 ………

?a ? ?4 . ? ?b ? ?7

…3 分 再 将

3 9 A( , 0), C ( , 4) 2 2

两 点 坐 标 代 入 到

y ? kx ? m

中 , 得

? 0? ? ? ? ?4 ? ? ?

3 k?m 2 , 9 k ?m 2

…………5 分



得 ………

4 ? ?k ? 3 . ? ? ?b ? ?2
…6 分 ( 2 ) ① 由 ( 1 ) 知 直 线

AC 的 方 程 为 y ?

4x ? y 3? ? 6 .

4 x?2 , 即 3

0

…………7 分

设点 M 的坐标分别为 M (t , 得

t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式, t?4

l?

| 4t ? 3 ?

t ?7 ?6| 1 9 t ?4 ? | 4t ? ?9|, 5 t ?4 42 ? 32

……

……9 分 又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 , 所 以

l ? f (t ) ?

0 ? t ? 3.
② 方法一:令 g (t ) ? 4t ? 所 (舍) , 以 由

1 9 | 4t ? ?9| 5 t?4



…………10 分

9 (2t ? 5)(2t ? 11) ? 9, 0 ? t ? 3 ,因为 g ?(t ) ? , t ?4 (t ? 4) 2 5 t? g ?(t ? ) , 0 解 得 或 2
…………12 分

t?

11 2

所以当 t ? (0, ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增;当 t ? ( , 3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单 调递减. 从 而 当

5 2

5 2

t?

5 2





g (t )













5 g ( ) ? ?5 , 2
即 当

…………14 分

t?

5 2





l





















1km .
方法二:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 , 则

…………16 分

4t ?

9 9 9 ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] t ?4 t ?4 4?t

………

…12 分

? 7 ? 2 4(4 ? t ) ?
当 号, 即 当 且 仅

9 ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 , 4?t 9 4 ?( t ? 4 当 4?t
时 ,

) ,



t?

5 2








…………14 分

t?

5 2

l



















1km .

…………16 分

方法三:因为点 M 在直线 AC 的上方,所以 4t ? 所 以

…………12 分 以 下 用 导 数 法 或 基 本 不 等 式 求 其 最 小 值 ( 此 略 , 类 似 给 分). …………16 分

0 ? t ? 3,

9 ?9 ? 0, t?4 1 9 l ? f (t ) ? ? (4t ? ? 9) 5 t ?4



DE 相切, 方法四:平移直线 AC 至 AC 1 1 ,使得 AC 1 1 与曲线
则 点. 由 y? 切 点 即 为

l





最 小 值 …………12 分





M

x?7 3 3 4 ? , 且 0?t ?3 , 解 得 , 得 y? ? ,则由 k? 2 2 x?4 (x ? 4 ) (t ? 4) 3

5 , …………14 分 2 5 故 当 t? 时 2 1km . t?



l





















…………16 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为直线 l ,动直线 a 2 b2 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交椭圆及 直线 l 于 P,Q 两点,如图.若 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,点 Q 的纵坐
18. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

1 标为 (其中 e 为椭圆的离心率) ,且 OQ ? 5OM . e
(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 请说明理由.

m 是否为常数?若是,求出该常数;若不是, k

a b 18.解: (1) 当 A, B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时, 则 A(a, 0) ,B(0, b) ,M ( , ) . 2 2

1 b a 1 e ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? 2 ,化简,得 b ? 1 .???2 分 a a c e c
2

a2 c ? 5 ,化简,得 ∵ OQ ? 5OM ,∴ 2a ? 5c . a 2
?a 2 ? b 2 ? c 2, ? 由 ?b ? 1, ? ?2a ? 5c,

? a 2 ? 5, ? 解得 ? 2 ? ?c ? 4.

????????????????4 分

椭圆 E 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ????????????????6 分 5 x2 ? y 2 ? 1 ,得 5
?????????????????8 分

(2)把 y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) ,代入
(5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .

当△ ? 0 , 5k 2 ? m2 ? 1 ? 0 时, xM ? ?

5mk m , yM ? 2 , 2 5k ? 1 5k ? 1
?????????????????10 分

5mk m , ). 5k 2 ? 1 5k 2 ? 1 1 所以直线 OM 的方程 y ? ? x . 5k
从而点 M (?
1 ? y ? ? x, ? ? 5k 由? 2 ? x ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

25k 2 . ?????????????????12 分 5k 2 ? 1

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP2 ? OM ? OQ , 从而 xP 2 ? xM xQ ? ? 由 ∴
25mk . 2(5k 2 ? 1)

?????????????????14 分

m 25k 2 25mk ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ?????15 分 ?? 2 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k
????????????????????????16 分

m 为常数 ?2 . k

19. 知函数 f ? x ? ? 1 ? a

?

2

x. ? ln x ? 1 3
3

(1)判定 f ? x ? 是否有极值; (2)设 g ? x ? ? f ? x ? ? 范围; (3)若 a ? 0, m ? n ? 2 ,比较 nf ? m ? 与 mf ? n ? 的大小.

3 ? 6 ln x ,且 g ? x ? 在定义域上是单调递减函数,求实数 a 的取值 x

19. 解析:因为 f ? ? x ?

?1 ? a ? ? x ? ?1 ? a ? ? x ?
2 2 2

3

x

x

? x ? 0? ,

? 当 1 ? a 2 ? 0 ,即 a ? ?1 ,或 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是单调
递减函数,故此时 f ? x ? 无极值; ????2 分

2 3 2 当 1 ? a ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 时,由 f ? ? x ? ? 0 , x ? 0 得 0 ? x ? 1 ? a ,

3 所以 f ? x ? 在区间 0, 1 ? a 2 上单调递增, 在区间

?

?

?

3

故此时 f ? x ? 1 ? a 2 , ?? 上单调递减,

?

在 x ? 1 ? a 时有极大值,无极小值.
3 2

????4 分
3

(2)可得 g ? x ? ? 1 ? a 所以 g ? ? x ?
2

?

2

x ? ln x ? 1 3

?

3 ? 6 ln x , x

?1 ? a ? ? x ?
x
4

3

?

3 6 ? x2 x
????6 分

?1 ? a ? x ? x ?
2

? 3 ? 6x

x

2

3 ? 0 ,又 x ? 0 ,?1 ? a 2 ? x3 ? ? 6 , x

4 3 3 3 x ?1 2 设 h( x) ? x ? ? 6 ? x ? 0 ? ,则 h? ? x ? ? 3x ? 2 ? ? x ? 0? , x x x2
3

?

?

由 h? ? x ? ? 0, x ? 0 得 x ? 1. 故 h ? x ? 在 ? 0,1? 上是单调递减函数,在 ?1, ?? ? 上是单调 递增函数.? h ? x ? ? h ?1? ? ?2. 故 1 ? a ? ?2 ,解得 a ? ? 3 ,或 a ? 3.
2

即实数 a 的取值范围是 ??, ? 3 ? ? ? 3, ?? .

?

?

?

?

????10 分

(3)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ln x ?

f ? x ? ln x 1 2 1 3 ? ? x ? x ? 2? , x ,设 G ? x ? ? x x 3 3

则 G? ? x ? ?

1 ? ln x 2 x 3 ? 3ln x ? 2 x3 ? ? ? x ? 2? ,????8 分 x2 3 3x 2
3

令 H ? x ? ? 3 ? 3ln x ? 2x

? x ? 2? ,则 H ? ? x? ?

?3 ? 6 x2 ,? x ? 2,? H ? ? x ? ? 0 , x

故 H ? x ? 为减函数,? H ? x ? ? H ? 2? ? ?13 ? 3ln 2 ? 0 ,所以 G? ? x ? ? 0 , 故 G ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上是单调递减函数. ????14 分

又 m ? n ? 2 ,?G ? m ? ? G ? n ? ,



f ? m? f ? n? ,? nf ? m? ? mf ? n ? . ? m n

????16 分

20.已知数列 {an } 的奇数项是公差为 d 1 的等差数列,偶数项是公差为 d 2 的等差数列,

a1 ? 1, a2 ? 2 .
(1)若 S5 ? 16, a4 ? a5 ,求 a10 ; (2)已知 S15 ? 15a8 ,且对任意的 n ? N ,有 an ? an?1 恒成立,求证:数列 {an }是等差数 列; (3)若 d1 ? 3d 2 (d1 ? 0) ,且存在正整数 m, n(m ? n) ,使得 am ? an ,求当 d 1 最大时,数 列 {an }的通项公式.
?

20、 (1)解:根据题意,有 a1=1,a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2,a5=a3+d1=1+2d1 ∵S5=16,a4=a5, ∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16,2+d2=1+2d1 ∴d1=2,d2=3. ∴a10=2+4d2=14 (2)证明:当 n 为偶数时,∵an<an+1 恒成立,∴2+ ∴ (d2-d1)+1-d2<0 ∴d2-d1≤0 且 d2>1 当 n 为奇数时,∵an<an+1 恒成立,∴ ∴(1-n) (d1-d2)+2>0 ∴d1-d2≤0 ∴d1=d2 ∵S15=15a8,∴8+ +14+ =30+45d2 , ,

∴d1=d2=2 ∴an=n ∴数列{an}是等差数列; (3)解:若 d1=3d2(d1≠0) ,且存在正整数 m、n(m≠n) ,使得 am=an,在 m,n 中必然一个是奇数,一个是偶数 不妨设 m 为奇数,n 为偶数 ∵am=an,∴ ∵d1=3d2,∴

∵m 为奇数,n 为偶数,∴3m-n-1 的最小正值为 2,此时 d1=3,d2=1

∴数列{an}的通项公式为 an=




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