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2009年高考数学(理)真题(word版)——贵州用卷(试题+答案解析)


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷) 数学(理)试题
一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

1、(5 分) A.-2+4i

=(

) C.2+4i D.2-4i

B.-2-4i

2、(5 分)设集合 A={x|x>3},B={x| A. B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞)

},则 A∩B=(

)

3、(5 分)已知△ABC 中,

,则 cosA=(

)

A.

B.

C.

D.

4、(5 分)曲线

在点(1,1)处的切线方程为(

)

A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0 5、(5 分)已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D. ,则|b|=( D.25 ,则 ( C.b>a>c ) D.b>c>a )

6、(5 分)已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|= A. B. C.5 ,

7、(5 分)设 a=log3π, A.a>b>c B.a>c>b

8 、 (5 分 ) 若 将 函 数 y=tan(

)(ω > 0) 的 图 象 向 右 平移

个 单 位 长 度后 , 与函数

y=tan(

)的图象重合,则 ω 的最小值为…(

)

A.

B.

C.

D.

9、(5 分)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k=( )

A.

B.

C.

D.

10、(5 分)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的 选法共有( ) A.6 种 B.12 种 C.30 种 D.36 种

11、 (5 分)已知双曲线 C: 于 A、B 两点.若

(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 且斜率为 ,则 C 的离心率为( )

的直线交 C

A.

B.

C.

D.

12、(5 分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该 正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平 ,得到右侧的平面图形,则标“Δ”的面的方位是 ( )

A.南 B.北 C.西 D.下 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分) 13、(5 分) ( )4 的展开式中 x3y3 的系数为___________.

14、(5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a5=5a3.则

=___________.

15、(5 分)设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45° 角的平面截球 O 的

表面得到圆 C,若圆 C 的面积等于

,则球 O 的表面积等于______________. ),则四边形 ABCD

16、 (5 分)已知 AC,BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 的面积的最大值为_____________. 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)

17、(10 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,cos(A-C)+cosB=

,b2=ac,求 B.

18、(12 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1. (Ⅰ)证明:AB=AC; (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小.

19、(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (Ⅰ)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式.

20、(12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人, 现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技 术考核. (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

21、(12 分)已知椭圆 C:

(a>b>0)的离心率为

,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相

交于 A、B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由.

.

成立?若存在,求出所

22、(12 分)设函数

=x2+aln(1+x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. 的单调性;

(Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 (Ⅱ)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 . 4

答案解析
一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1、(5 分) A

解析: 2、(5 分) B

.故选 A.

解析:∵

(x-1)(x-4)<0,∴1<x<4,

即 B={x|1<x<4},∴A∩B=(3,4).故选 B. 3、(5 分) D

解析:∵

,∴A 为钝角.

又∵

,∴

.

代入 sin2A+cos2A=1,求得 故选 D. 4、(5 分) B

.

解析:∵ ∴y′|x=1=-1. ∴切线的斜率 k=-1. ∴切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.故选 B. 5、(5 分) C

,

解析:如图所示,连接 A1B,因 A1D1

BC,所以四边形 A1BCD1 为平行四边形,

所以 A1B∥D1C,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角即为 BE 与 BA1 所成的角. 不妨设 AB=1,则 AA1=2,设∠ABE=α,∠ABA1=β,则

,

,

,

.

∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα= 6、(5 分) C 解析:设 b=(x,y),

.故选 C.





解方程组得 则|b|= 7、(5 分) A

或 .故选 C.

解析:∵a=log3π>log33=1,

,

. ∴a>b>c.故选 A. 8、(5 分) D

解析:将函数 y=tan(

)(ω>0)的图象向右平移

个单位,

得 y=tan(

),又因平移后函数的图象与 y=tan(

)的图象重合,



(k∈Z),即

,

∴ 当 k=0 时, 9、(5 分) D

,即 ω 的最小值为

.故选 D.

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,Δ=16(k2-2)2-4k2· 4k2>0.

得-1<k<1,即 0<k<1,

,x1x2=4.

又∵|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知 F(2,0),抛物线的准线方程为 x=-2,∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2, ∴x1+2=2x2+4,即 x1=2x2+2. 代入 x1· x2=4,得 2 x2 +x2-2=0, ∴x2=1,或 x2=-2(舍去,因 x2>0). ∴x1=2× 1+2=4.



.



.

又 0<k<1,∴ 10、(5 分) C

.故选 D.

解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为 课程都不相同的选法有 共有 24+6=30 种.故选 C. 11、(5 分) A 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由 得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2), ∴y1=-4y2. ,

种,甲、乙所选的

种,所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法

设过 F 点斜率为

的直线方程为

,



则有

∴ 将 y1=-4y2 分别代入①②得

化简得



.

化简得 16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).

∴25c2=36a2.∴ 12、(5 分) B

,即

.

解析 : 如右图所示正方体 , 要展开成要求的平面图 , 必须剪开棱 BC, 剪开棱 D1C1 使正方形 DCC1D1 向北的方向展平.剪开棱 A1B1,使正方形 ABB1A1 向南的方向展开,然后拉开展平,则标 “Δ”的面的方位则为北.故选 B. 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分) 13、(5 分) 6 解析:设展开式中第 r+1 项为 x3y3 项, 由展开式中的通项,得

= 得 r=2.∴系数为 14、(5 分) 9

.令 .

,

解析:由 a5=5a3,得

,

. 15、(5 分) 8π

解析:如图所示,设球半径为 R,球心 O 到截面圆的距离为 d,在 Rt△ ONB 中,d2=R2-BN2.①

又∵π·BN2=

,



.

在△ ONM 中,d=OM· sin45° =

,②

将②代入①得 ∴S 球=4πR2=8π. 16、(5 分) 5

,∴R2=2.

解析:如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则 d12+d22=|OM|2=12+( 在△ ONC 中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,∴ 同理在△ OBP 中, . .

)2=3.

S 四边形=S△ CAD+S△ CAB=

= =

=

.

当且仅当 d1=d2 时取等号,即 d1=d2=

时取等号.

三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)

17、(10 分) 解:由 cos(A-C)+cosB=

及 B=π-(A+C)得

cos(A-C)-cos(A+C)=

,

cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=

,

. 又由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sinAsinC.



,



(舍去),

于是



.

又由 b2=ac 知 b≤a 或 b≤c,

所以

.

18、(12 分) 解法一:(Ⅰ)取 BC 的中点 F,连接 EF,则 EF

,从而 EF

DA.

连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF∥DE. 又 DE⊥平面 BCC1,故 AF⊥平面 BCC1, 从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线, 所以 AB=AC,

(Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG.由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的 平面角. 由题设知∠AGC=60° .

设 AC=2,则

.又 AB=2,

,故

.

由 AB· AD=AG· BD 得

,解得

,

故 AD=AF.又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形. 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF. 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD. 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角.

因 ADEF 为正方形,

,故 EH=1,又

,

所以∠ECH=30° ,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30° . 解法二:(Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示的直角坐标系 A—xyz,

设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),

则 B1(1,0,2c),E(

,

,c).

于是

=(

,

,0),

=(-1,b,0).

由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC, · =0,求得 b=1,

所以 AB=AC. (Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 =(x,y,z),则 · =0, · =0.

又=(-1,1,0), =(-1,0,c). 故 令 x=1,则 y=1, , =(1,1,). 又平面 ABD 的法向量=(0,1,0). 由二面角 A-BD-C 为 60° 知,〈〉=60° , 故· =||· ||· cos60° ,求得.

于是=(1,1,), =(1,-1,), cos〈,〉=, 〈,〉=60° , 所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30° . 19、(12 分) 解:(Ⅰ)由已知有 a1+a2=4a1+2,解得 a2=3a1+2=5,故 b1=a2-2a1=3, 又 an+2=Sn+2-Sn+1 =4an+1+2-(4an+2) =4an+1-4an; 于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an),即 bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{bn}中 b1=3,公比 q=2, 所以 an+1-2an=3× 2n-1,

于是

,

因此数列{

}是首项为

,公差为

的等差数列,

, 所以 an=(3n-1)· 2n-2. 20、(12 分) 解:(Ⅰ)由于甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两 组中共抽取 3 名工人进行技术考核,则从甲组抽取 2 名工人,乙组抽取 1 名工人. (Ⅱ)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则

. (Ⅲ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2. B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人. Ai 与 B 独立,i=0,1,2.

P(ξ=0)=P(A0· )=P(A0)· P(

)=

, )

P(ξ=1)=P(A0· B+A1· )=P(A0)· P(B)+P(A1)· P(

=

,

P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)· P(B)=

,

P(ξ=2)=1-[P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)]= 故 ξ 的分布列为 ξ P 0 1

. 2 3

Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=

.

21、(12 分) 解:(Ⅰ)设 F(c,0),当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x-y-c=0,O 到 l 的距离为

,



,c=1.由

,得

,

. 成立,

(Ⅱ)C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 由(Ⅰ)知 C 的方程为 2x2+3y2=6,设 A(x1,y1),B(x2,y2), (ⅰ)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-1). C 上的点 P 使

成 立 的 充 要 条 件 是 P 点 的 坐 标 为 (x1+x2,y1+y2) , 且

2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6, 整理得 2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6. 又 A、B 在 C 上,即 2x12+3y12=6,2x22+3y22=6. 故 2x1x2+3y1y2+3=0.① 将 y=k(x-1)代入 2x2+3y2=6,并化简得 (2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,

于是

,

,

y1· y2=k2(x1-1)(x2-1)=

.

代入①解得 k2=2,此时

,

于是 y1+y2=k(x1+x2-2)=

,

即 P(

,

).

因此,当

时,P(

,

),l 的方程为

;



时,P(

,

),l 的方程为

. 成立,

(ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由

=(2,0)知,C 上不存在点 P 使

综上,C 上存在点 P(

,)使成立,此时 l 的方程. 的定义域是 x>-1,

22、(12 分) 解:(Ⅰ)由题设知,函数

, 且 f′(x)=0 有两个不同的根 x1,x2,故 2x2+2x+a=0 的判别式 Δ=4-8a>0,



,

且 又 x1>-1,故 a>0.

,

.①

因此 a 的取值范围是(0, 当 x 变化时, x f′(x) +

).

与 f′(x)的变化情况如下表: (-1,x1) x1 0 极大值 (x1,x2) x2 0 极小值 (x2,+∞) +

因此

在区间(-1,x1)和(x2,+∞)上是增函数,在区间(x1,x2)上是减函数.

(Ⅱ)由题设和①知

<x2<0,a=-2x2(1+x2), 于是 f(x2)=x22-2x2(1+x2)ln(1+x2). 设函数 g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t),

则 g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t).



时,g′(t)=0;

当 t∈(

,0)时,g′(t)>0,

故 g(t)在区间[

,0)上是增函数.

于是,当 t∈(

,0)时,

.

因此

.



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