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2010概率论教案(第二章)


第二章

随机变量及其分布
§1 随机变量

§1.1 随机试验引入随机变量 X, X 的概率 为了全面研究随机试验的结果 , 揭示随机现象的统计规律性 , 将随 机试验的每一个可能结果与一个实数对应起来 , 将随机试验的结果 数量化, 引入随机变量的概念. 在随机试验完成时, 人们常常不是关心试验结果本身, 而是对于试验 结果联

系着的某个数感兴趣. 例 1 在一袋中装有编号分别为 1,2,3 的 3 只球. 在袋中任取一只球, 放 回. 再取一只球, 记录它们的编号. 计算两只球的号码之和. 试验的样本空间 S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里 i,j 分别表示第一,二球的号 码. 以 X 记两球号码之和, 对于每一个样本点 e, X 都有一个值与之对 应, 如图所示.

试验的样本空间 S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里 i,j 分别表示第一,二球的号 码. 以 X 记两球号码之和, 对于每一个样本点 e, X 都有一个值与之对 应, 如图所示. 例 2 将一枚硬币抛掷 3 次. 关心 3 次抛掷中, 出现 H 的总次数, 而对

H,T 出现的顺序不关心. 比如说, 我们仅关心出现 H 的总次数为 2, 而 不在乎出现的是"HHT","HTH"还是"THH". 以 X 记三次抛掷中出现 H 的总数, 则对样本空间 S={e}中的每一个样本点 e, X 都有一个值与之 对应, 即有 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT

X 的值

3

2

2

2

1

1

1

0

§1.2 随机变量

(一)定义

设随机试验的样本空间为 S={e}. X=X(e)是定义在

样本空间 S 上的实值单值函数. 称 X=X(e)为随机变量.

有许多随机试验, 它的结果本身是一个数, 即样本点 e 本身是一个数. 我们令 X=X(e)=e, 则 X 就是一个随机变量. 例如, 用 Y 记某车间一天 的缺勤人数, 以 W 记录某地区第一季度的降雨量, 以 Z 记某工厂一天 的耗电量, 以 N 记某医院某一天的挂号人数. 那么 Y, W, Z, N 都是随 机变量.

本书中, 一般以大写字母如 X,Y,Z,W,...表示随机变量, 而以小写 字母 x,y,z,w,...表示实数.

(二)随机变量的概率规律 随机变量的取值随试验结果而定 , 而试验的各个结果出现有一定的 概率, 因而随机变量的取值有一定的概率. 例如, 在例 2 中 X 取值为 2, 记成{X=2}, 对应于样本点的集合 A={HHT, HTH, THH}, 这是一
P{ X ? 1} ? P{HTT , THT , TTH , TTT } ? 个事件, 当且仅当事件 A 发生时有{X=2}. 则称 P(A)=P{HHT, HTH, 8 4

THH}为{X=2}的概率, 即 P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有

一般, 若 L 是一个实数集合, 将 X 在 L 上取值写成{X?L}. 它表示事 件 B={e|X(e)?L}, 即 B 是由 S 中使得 X(e)?L 的所有样本点 e 所组成 的事件. 此时有 P{X?L}=P(B)=P{e|X(e)?L}, 随机变量的取值随试验的结果而定 , 在试验之前不能预知它取什么 值, 且它的取值有一定的概率. 这些性质显示了随机变量与普通函数 有着本质的差异.

有了随机变量,随机试验中的各种事件,就可以通过随机变 量的取值表达出来。随机变量概念的产生是概率论发展史上 的重大事件。 引入随机变量后, 对随机现象统计规律的研究, 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值 规律的研究.

§2.1 离散型随机变量及其分布律
有些随机变量, 它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无 限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量. 例如§1 例 2 中的随机 变量 X, 它只可能取 0,1,2,3 四个值, 它是一个离散型随机变量. 又如 某城市的 120 急救电话台一昼夜收到的呼唤次数也是离散型随机变 量. 若以 T 记某元件的寿命, 它所可能取的值充满一个区间, 是无法 按一定次序一一列举出来的 , 因而它是一个 非离散型的随机变量 . 本节讨论离散型随机变量 要掌握一个离散型随机变量 X 的统计规律, 必须且只需知道 X 的所 有可能取的值及取每一个可能值的概率.

设 X 所有可能取的值为 xk(k=1,2,...), 而 P{X=xk}=pk, k=1,2,.... (2.1)

由概率的定义, pk 满足如下两个条件
1, pk ? 0, k ? 1, 2,? ; 2, (2.2) (2.3)

?p
k ?1

?

k

? 1.

2是由于( X ? x1 ) ? { X ? x2 } ? ? 是必然事件, 且{ X ? x j } ? { X ? xk } ? ? , k ? j , 故 1 ? P[?{ X ? xk }] ? ? P{ X ? xk }, 即? pk ? 1.
k ?1 k ?1 k ?1 ? ? ?

称(2.1)式为离散型随机变量 X 的分布律. 分布律也可用表格的形 式来表示:

X pk

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

... ...

例 1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯 , 每组信号 灯以 1/2 概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时, 它已 通过的信号灯组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布 律. 解 以 p 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率, 易知 X 的分布律为

X pk

0 p

1 (1-p)p

2 (1-p)2p

3 (1-p)3p

4 (1-p)4

P={X=k}=(1-p)k p, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1-p)4. 以 p=1/2 代入得

X pk

0 0.5

1 0.25

2 0.125

3 0.0625

4 0.0625

下面介绍三种重要的离散型随机变量.

(一) 两点分布,(0-1)分布 与 1)两个值, 它的分布律是 P(X=x1)=1-p,

设随机变量 X 只可能取 x1,x2(0

P(X=x2)=p

(0<p<1),

则称 X 服从两点分布或(0-1)分布. (0-1)分布的分布律也可写成

X pk

0 1-p

1 p

对一个随机试验中的任何一个给定的事件 A, 0<P(A)<1, 都可以根据 事件 A 定义一个服从 0-1 分布的随机变量
?0, 当e ? A, X ? X (e ) ? ? ?1, 当e ? A.

来描述. 例如, 对新生婴儿的性别进行登记, 检查产品的质量是否合 格, 某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的"抛硬币"

试验等 都可以用(0-1)分布的随机变量来描述. (0-1)分布是经常遇到的一种分 布.

(二)伯努利试验,二项分布 对试验 E 中某一事件 A和它的逆A , 可称 E 为 伯努利试验, 设 P(A)=p(0<p<1), 此时 P( A ) ? 1 ?

p . 将 E 独立地重复地

进行 n 次, 将这一串重复的独立试验称为 n 重伯努利试验.若以 Ci 记第 i 次 试验的结果, Ci 为 A或A , i=1,2,…,n. "独立"是指 P{C1C2…Cn}=P(C1)P(C2)…P(Cn). (2.5)

定义随机变量 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 我们来 求它的分布律. X 所有可能取的值为 0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互 独立的, 因此事件 A 在指定的 k(0?k?n)次试验中发生, 在其它 n?k 次 试验中 A 不发生的概率为
p ? p ?? p ? (1 ? p) ? (1 ? p) ?? ? (1 ? p) ? p k (1 ? p) n ? k . ? ? ?? ? ???? ? ????? ?
k个 n?k个

?n? 这种指定的方式共有 ? ? 种, 它们两两互不相容的, ?k ? ?n? 故在n次试验中A发生k次的概率为 ? ? p k (1 ? p ) n ? k , ?k ?

若随机变量 X 的分布律为:

?n? P( X ? k ) ? ? ? p k q n ? k , k ? 0,1, 2,..., n. ?k ?

(2.6)

n n ?n? 显然, ? P{ X ? k} ? ? ? ? p k q n ? k ? ( p ? q ) n ? 1. k ?0 k ?0 ? k ? ? n ? k n?k n ? ? p q 刚好是二项式( p ? q ) 的展开式中出现 ?k ? p k的那一项, 故我们称随机变量X 服从参数为

n,p 的二项分布, 记为 X~b(n,p).

q=1-p,

二项分布模型:描叙 n 重贝努力试验中时间 A 出现次数,射手 射击 n 次中中的次数的,抛 n 次硬币出现正面次数概率分布等 等
例 2 按规定, 某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级 品. 已知一大批产品的一级品率为 0.2, 现在从中随机地抽查 20 只. 问 20 只元件中恰有 k 只(k=0,1,...,20)为一级品的概率是多少? 解 这是不放回抽样. 但由于这批元件的总数很大, 且抽查的元件数

量相对于元件的总数来说又很小, 因而可以当作放回抽样来处理, 这 样做会有一些误差 , 但误差不大 . 检查一只元件看它是否为一级品 , 检查 20 只元件相当于 20 重贝努利试验, 以 X 记其中一级品总数, 则 X~b(20,0.2). 由(2.6)式即得所求概率为
? 20 ? P{ X ? k} ? ? ? (0.2) k (0.8) 20? k , k ? 0,1,..., 20. ?k ?

将计算结果列表如下: P(X=0)=0.012 P(X=1)=0.058 P(X=2)=0.137 P(X=0)=0.205 P(X=4)=0.218 P(X=5)=0.175 P(X=6)=0.109 P(X=7)=0.055 P(X=8)=0.022 P(X=9)=0.007 P(X=10)=0.002

P{X=k}<0.001, 当 k?11 时 计算结果的图形:

注意: 当 n 很大时,计算麻烦,给出当 n 很大而 p 或者 1-p 很小时 的近似计算公式: 定理 2.1 泊松定理 设 npn = ? ( ? >0 是一常数, n 是任意正整数) ,

则对任意一固定的非负整数 k,有
?n? k ? k e?? n?k p (1 ? p ) ? , pn ? ? / n n ? ? n lim k k ! n ?? ? ?

此定理表明,当 n 很大 p 很小时,
?n? k ? k e?? n?k ? , ? ? np ? ? p (1 ? p ) k k ! ? ?

二项分布的泊松近似,常被应用于研究稀有事件(即每次试验中事件 A 出现的概率 p 很小)

例 3 某人进行射击, 设每次射击命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试 求至少击中两次的概率. 解 将 一 次 射 击 看 成 是 一 次 试 验 . 设 击 中 的 次 数 为 X, 则 X~b(400,0.02). X 的分布律为
? 400 ? k 400 ? k P{ X ? k} ? ? , k ? 0,1,..., 400. ? (0.02) (0.98) ? k ?

P{X?2}=1?-P{X=0}-?P{X=1}

=1?-(0.98)400-?400(0.02)(0.98)399=0.9972. 例 4 设有 80 台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概 率都是 0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理, 考虑两种配备维修 工人的方法, 其一是由 4 人维护, 每人负责 20 台; 其二是由 3 人共同 维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概 率的大小. 解 按第一种方法, 以 X 记"第 1 人维护的 20 台中同一时刻发生故障 的台数", 以 Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第 i 人维护的 30 台中发生故障不 能及时维修". 则知 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为 P(A1?A2?A3?A4)?P(A1)=P(X?2). 而 X~b(20,0.01), 故有
P{ X ? 2} ? 1 ? ? P ( X ? k )
k ?0 1

? 20 ? ? 1 ? ? ? ? (0.01) k (0.99) 20? k ? 0.0169 k ?0 ? k ?
1

即有 P(A1?A2?A3?A4)?0.0169. 按第二种方法 , 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数 . 此时 , Y~b(80,0.01), 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为
3 ? 80 ? P{Y ? 4} ? 1 ? ? ? ? (0.01) k (0.99)80? k ? 0.0087. k ?0 ? k ?

可以看出, 在后一种情况下尽管任务重了(每人平均维护约 27 台), 但 工作效率不仅没有降低, 反而提高了.

(一) 泊松分布

设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,..., 而取

各个值的概率为 P{ X ? k} ?

? k e? ?
k!

, k ? 0,1, 2,?,

? >0 是常数. 则称 X 服从参数为 ?的泊松分布 ? 其中? , 记为 X~p( ? ).

易知, P(X=k)?0, k=0,1,2,..., 且有

? P{ X ? k} ? ?
k ?0 k ?0

?

?

? k e? ?
k!

?e

??

? k ! ? e ? e? ? 1
? k ?0

?

?k

泊松定理知,泊松分布常被应用于研究稀有事件(即每次试验中事件 A 出现的概率 p 很小)

§2.2 随机变量的分布函数
对于非离散型随机变量 X, 由于其可能取的值不能一个一个地列举出 来, 因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它. 另外, 通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于 0. 再者, 在实际中, 对于这样的随机变量, 例如误差? , 元件的寿命 T 等, 我们并不会对误差? =0.05(mm), 寿命 T=1251.3(h)的概率感兴 趣, 而是考虑误差落在某个区间的概率, 寿命 T 大于某个数的概率.

因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率, P{x1<X?x2}. 由于 P{x1<X?x2}=P{x?x2}-P{x?x1}. 所以我们只需知道 P{x?x2}和 P{x?x1}就可以了. 由此引出分布函数 的概念. ( 一 )定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数. 函数 F(x)= P{X?x} 称为 X 的分布函数. 对于任意实数 x1,x2(x1<x2), 有 P{x1<X?x2}=P{x?x2}-P{x?x1}=F(x2)-F(x1), 称为 X 的分布函数. 分布函数是一个普通的函数, 正是通过它, 我们能用数学分析的方法 来研究随机变量. 如果将 X 看成是数轴上的随机点的坐标, 则分布函数 F(x)在 x 处的函 数值就表示 X 落在区间(?-?, x]上的概率. 分布函数 F(x)具有以下的基本性质: 1, F(x)是一个不减函数. 事实上, 由(3.1)式对于任意实数 x1,x2(x1<x2)有 F(x2)?F(x1)=P{x1<X?x2}?0. 2, 0?F(x)?1, 且 (3.1)

F (??) ? lim F ( x) ? 0,
x ???

F (?) ? lim F ( x) ? 1.
x ??

如图, 将区间端点 x 沿数轴无限向左移动(即 x??-?, 则" 随机点 X 落在 x 左边" 这一事件趋于不可能事件, 从而其概率趋于 0, 即有 F(-??)=0; 又若将点 x 无限右移, ( 即 x??), 则" 随机点 X 落在 x 左边" 这一事件趋于必然事件, 从而其概率趋于 1, 即有 F(?)=1. 3 F(x+0)=F(x), 即 F(x) 是右连续的( 证略).

例 1 设随机变量 X 的分布律为 X pk -1 1/4 2 1/2 3 1/4

1? ?3 5? ? 求X 的分布函数, 并求P ? X ? ? , P ? ? X ? ? 2? ?2 2? ? P{2 ? X ? 3}.

解 X 仅在 x?=-?1,2,3 三点处其概率?0, 而 F(x) 的值是 X?x 的累积 概率值, 由概率的有限可加性, 知它即为小于或等于 x 的那些 xk

处的概率 pk 之和. X pk -1 1/4 2 1/2 3 1/4

由此得

x ? ?1, ?0, ?1/ 4, ?1 ? x ? 2, ? F ( x) ? ? ?3 / 4, 2 ? x ? 3 ? x ? 3. ?1,

F(x)的图形为

1? ? ?1? 1 P ?X ? ? ? F ? ? ? 2? ? ?2? 4 5? ?3 ?5? ?3? 3 1 1 P? ? X ? ? ? F ? ??F ? ? ? ? ? . 2? ?2 ?2? ?2? 4 4 2 P{2 ? X ? 3} ? F (3) ? F (2) ? P{ X ? 2} 3 1 3 ? 1? ? ? . 4 2 4

一般, 设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X=xk}=pk, 由概率的可列可加性得 X 的分布函数为
F ( x) ? P{ X ? x} ? 即 F ( x) ?
xk ? x

k=1,2,....

? P{X ? x },
k k

xk ? x

?p,

(3.2)

这里和式是对于所有满足 xk?x 的 k 求和的. 分布函数 F(x) 在 x=xk(k=1,2,...) 处有跳跃, 其跳跃值为 pk=P{X=xk}.

重点:已知分布函数 F(x)求分布律{pk} , 已知分布律求分布函数

作业 第二章 习题 请提问

§3 连续型随机变量及其概率密度 §3。1 引入
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘, 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与 该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶, 以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求 随机变量 X 的分布函数. 解 若 x<0, 则{X?x}是不可能事件, 于是 F(x)=P{X?x}=0. 若 0?x?2, 由题意, P{0?X?x}=kx2, k 是某一常数, 为了确定 k 的值, 取 x=2, 有 P{0?X?2}=22k. 但已知 P{0?X?2}=1, 故得 k=1/4, 即 x2 P {0 ? X ? x } ? . 于是 4 x2 F ( x) ? P{ X ? x} ? P{ X ? 0} ? P{0 ? X ? x} ? . 4 若 x?2, 由题意{X?x} 是必然事件, 于是 F(x)=P{X?x}=1. 综上所述, 即得 X 的分布函数为 x ? 0, ?0, ? 2 F ( x ) ? ? x / 4, 0 ? x ? 2, ?1, x ? 2. ?

它的图形是一条连续曲线如图所示

x ? 0, ?0, ? 2 F ( x ) ? ? x / 4, 0 ? x ? 2, ?1, x ? 2. ?
x

另外, 容易看到本例中的分布函数 F(x)对于任意 x 可以写成形式

其中

F ( x) ? ? f (t )d t ,
??

?t ? , 0 ? t ? 2, f (t ) ? ? 2 ? 其它. ? 0,

这就是说, F(x)是非负函数 f(t)在区间(??,x) 上的积分, 为连续型随机变量. 对照 f(x)和 F(x)图形

在这种情况下我们称 X

(一 )定义:如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 存在非负函数 f(x), 使对于任意实数 x 有

F ( x) ? ? f (t )d t
??

x

(4.1)

则称 X 为连续型随机变量, 其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数, 简 称概率密度. 连续型随机变量的分布函数是连续函数.
在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量 . 本课程只讨论这两种 随机变量. (二)概率密度 f(x)性质:

1, f ( x) ? 0. 2, ?
? ??

f ( x) d x ? 1.
x2

3, 对于任意实数x1 , x2 , ( x1 ? x2 ), P( x1 ? X ? x2 ) ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? ? f ( x) d x.
x1

4, 若f ( x)在点x连续, 则有F ?( x) ? f ( x).

由性质 2 知道介于曲线 y=f(x)与 Ox 轴之间的面积等于 1. 由性质 3 知道 X 落在区 间(x1,x2]的概率 P{x1<X?x2}等于区间(x1,x2]上的曲线 y=f(x)之下的曲边梯形面积.

由性质 4 在 f(x)的连续点 x 处有
f ( x) ? lim? F ( x ? Δ x) ? F ( x) Δ x ?0 Δx P( x ? X ? x ? Δ x) ? lim? . Δ x ?0 Δx

(4.2)

看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似, 这就是为什么称 f(x)为 概率密度的原因. 由(4.2)式知道, 若不计高阶无穷小, 有 P(x < X ? x+dx)?f(x)dx. (4.3) 例1 设随机变量 X 具有概率密度

0 ? x ? 3, ? kx, ? x ? f ( x) ? ?2 ? , 3 ? x ? 4, 2 ? 其它. ? ? 0, (1)确定常数k ;(2)求X 的分布函数F ( x); 7 (3)求P{1 ? X ? }. 2

(1) 解

f(x)的曲线形状如图所示

(2)

X 的分布函数为

(1) 由?
3

??

??

f ( x) d x ? 1, 得

4 x kx d x ? ?0 ?1 (2 ? 2 ) d x ? 1 1 解得k ? , 于是X 的概率密度为 6 ?x 0? x?3 ?6 , ? x ? f ( x) ? ?2 ? , 3 ? x ? 4, ? 2 ? 其它. ?0, ?

?0, x ? 0, ? xx ? ? d x, 0 ? x ? 3, ? 06 F ( x) ? ? 3 x x? ? xdx? ? 2 ? ? d x, 3 ? x ? 4, ? ? ? 0 3 ? 6 2? ? ? x ? 4. ?1, ?0, ? 2 ?x , ?12 F ( x) ? ? 2 ? ?3 ? 2 x ? x , ? 4 ? ?1, x ? 0, 0 ? x ? 3, 3 ? x ? 4, x ? 4.



F(x)与 f(x)的对照图 (2) X 的分布函数为
7 41 ?7? (3) P{1 ? X ? } ? F ? ? ? F (1) ? 2 48 ?2?

对于连续型随机变量 X 来说, 它取任一指定实数值 a 的概率均为 0, 即 P{X=a}=0. 事实上, 设 X 的分布函数为 F(x), ?x>0, 则由 {X=a}?{a-dx<X?a}得 0?P{X=a}?P{ a-dx <X?a}=F(a)?F(a-dx). 在上述不等式中令?x?0, 并注意到 X 为连续型随机变量, 其分布函数 F(x)是连 续的, 即得 P{X=a}=0. (4.4) 因此, 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时 , 可以不必区分该区间是 开区间或闭区间或半闭区间. 例如有 P{a<X?b}=P{a?X?b}=P{a<X<b}. 在这里, 事件{X=a}并非不可能事件, 但有 P{X=a}=0. 这就是说, 若 A 是不可能 事件, 则有 P(A)=0; 反之, 若 P(A)=0, 并不一定意味着 A 是不可能事件. 注意:以后当提到一个随机变量 X 的"概率分布"时, 指的是它的分布函数; 或者, 当 X 是连续型时指的是它的概率密度, 当 X 是离散型是指的是它的分布律. 介绍三种重要的连续型随机变量 (一) 均匀分布 设连续型随机变量 X 具有概率密度
? 1 , a ? x ? b, ? f ( x) ? ? b ? a ? 其它, ?0, (4.5)

则称 X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为 X~U(a,b). 如 X~U(a,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子 区间的位置无关. 任给长度为 l 的子区间(c,c+l), a?c<c+l?b, 有

P{c ? X ? c ? l} ? ? ??
由(4.1)式得 X 的分布函数为
?0, ?x?a ? F ( x) ? ? , ?b ? a ? ?1,
c ?l c

c ?l

c

f ( x) d x ?

1 l dx? . b?a b?a
x ? a, a ? x ? b, x ? b. (4.6)

例 2 设电阻值 R 是一个随机变量, 均匀分布在 900?~1100?. 求 R 的概率密度及 R 落在 950?~1050?的概率. 解 按题意, R 的概率密度为 1 ? , 900 ? r ? 1100, ? f (r ) ? ?1100 ? 900 ? 其它. ?0,
故有 P{950 ? R ? 1050} ? ?
1050 950

1 d r ? 0.5 200

(二) 指数分布

设连续型随机变量 X 的概率密度为

? >0 为常数, 则称 X 服从参数为? ?的指数分布. 容易得到 X 的分布函数为 其中?
?1 ? e ? x / ? , F ( x) ? ? ?0, x ? 0, 其它. (4.8)

?

? 1 ? x /? ? e , x ? 0, f ( x ) ? ?? (4.7) ? 其它, ?0,

f(x)的图形: 如 X 服从指数分布, 则任给 s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 P{( X ? s ? t ) ? ( X ? s )} P{ X ? s ? t | X ? s} ? P{ X ? s}
? P{ X ? s ? t} 1 ? F ( s ? t ) e ? ( s ?t )? ? ? ? s /? ? e?t /? P{ X ? s} 1 ? F (s) e ? P{ X ? t}.

性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. (三) 正态分布 1 )定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
f ( x) ?
? 1 e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, ?? ? x ? ?,

(4.10)

其中 ?,?(

?

? ?>0) 为常数 , 则称 X 服从参数为 ?,? ? 的正态分布或高斯

?

??

??

f ( x) d x ? 1

(Gauss)分布, 记为 X~N( ?,? 2). 显然 f(x)?0, 下面来证明 令(x-m)/s = t, 得到

?

??

??

? 1 e 2 π?

( x ? ? )2 2? 2

dx??

??

??

1 ? t2 e dt 2π

2

记I ? ? e ? t / 2 d t , 则有I 2 ? ?
2

?

??

??

??

?

??

??

e? (t

2

?u 2 ) / 2

d t d u,

转换为极坐标, 得 I2 ? ? 于是
2? 0

?
1

?

0

r e? r d r d ? ? 2 π

2

(4.11) 1 2?

2??

?

?

??

e

?

( x ? ? )2 2?
2

dx?

?

?

??

e

?

t2 2

d x ? 1.

2) f(x)的图形: f(x)具有的性质: 1, 曲线关于 x=? ?对称. 这表明对于任意 h>0 有 ? ? +h}. P{? ??-h<X?? ? }=P{?<X?? 2, 当 x= ? ?时取到最大值
f (? ) ? 1 . 2 π?

x离 ? ?越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离?越远, X 落 ? 在这个区间上的概率越小 . 3,在 x=?? ? ? 处曲线有拐点. 曲线以 Ox 轴为渐近线. ? 4,固定 ?(位置参数) , ? (精度参数)越小,图形越陡,因而 X 落在 ? 附近的 概率越大,若固定 ? ,改变 图形平移 ,形状不变 ? 由(4.10)式得 X 的分布函数为
F ( x) ? 1 2 π?

?

x

??

e

?

( t ? ? )2 2? 2

d t,

(4.12)

3)标准正态分布 当 ? ? =0, ? = 1 时称 X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别 ? ( x)和?( x) 用? 表示, 即有

? ( x) ?

1 ? x2 / 2 e , 2? x 1 ?t 2 / 2 ? ( x) ? e d t. ? 2 π ??

(4.13) (4.14)

易知 ?(? x) ? 1 ? ?( x) (4.15) 人们已经编制了?( x) 的函数表, 可供查用(见附表 2). X ?? 引理 若 X~N(? ?, ? 2), 则 Z? ~ N (0,1) 证: Z ? X ? ? 的分布函数为

?

?

?X ?? ? P{Z ? x} ? P ? ? x ? ? P{ X ? ? ? ? x} ? ? ? 1 ? 2 π? 令 t??

?

? ?? x

??

e

?

( t ? ? )2 2? 2

d t,

?

? u, 得

P{Z ? x} ?

1 2π

?

x

??

e?u / 2d u ? ?( x),

2

由此知 Z~N(0,1). 若 X~N(?,? ? ) 则它的分布函数 F(x)可写成: ? ?2 ?X ?? x??? ? x?? ? F ( x) ? P{ X ? x} ? P ? ? ? ? ?? ?. ? ? ? ? ? ? ? (4.16) 则对于任意区间(x1,x2], 有
? x ? ? X ? ? x2 ? ? ? P{x1 ? X ? x2 } ? P ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 (4.17) ???? ?. ? ? ? ? ? ?

例如, 设 X~N(1,4), 查表得

? 1.6 ? 1 ? ? 0 ?1 ? P{0 ? X ? 1.6} ? ? ? ???? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (0.3) ? ? (?0.5) ? 0.6179 ? [1 ? ? (0.5)] ? 0.6179 ? 1 ? 0.6915 ? 0.3094.

?, ? 2),由?( x? 设 X~N(? ) 的函数表还能得到: P{???<X<?+?}=?(1)??(?1) =2?(1)?1=68.26% P{??2?<X<?+2?}=?(2)??(?2)=95.44% P{??3?<X<?+3?}=?(3)??(?3)=99.74% ? ? 我们看到 , 尽管正态变量的取值范围是 (??,?), 但它的值落在 (?-3?,?

+3?)

内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的"3 ? ?"法则. 例 3 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在 d°C, 液 体的温度 X(以°C 计)是一个随机变量, 且 X~N(d, 0.52). (1) 若 d=90, 求 X 小于 89 的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为 80 的概率不低于 0.99, 问 d 至少为多 少? 解 (1)所求概率为
? X ? 90 89 ? 90 ? P{ X ? 80} ? P ? ? ? ? ? (?2) 0.5 ? ? 0.5 ? 1 ? ? (2) ? 1 ? 0.9772 ? 0.0228.

(2) 按题意需求 d 满足
? X ? d 80 ? d ? 0.99 ? P{ X ? 80} ? P ? ? ? 0.5 ? ? 0.5 ? X ? d 80 ? d ? ? 80 ? d ? ? 1? P ? ? ? ? 1? ? ? ? 0.5 ? ? 0.5 ? 0.5 ? ? 80 ? d ? ?? ? ? 1 ? 0.99 ? 1 ? ? (2.327) ? ? ( ?2.327), ? 0.5 ? 80 ? d 亦即 ? ?2.327. 0.5 故需 d ? 81.1635.

设 X~N(0,1), 若 z?满足条件 P{X>za?}=a?, 0<a?<1, (4.18) 则称点 za?为标准正态分布的上 a?分位点. 由 ? ( x)的对称性知 z1-a??=--?za?

§4

随机变量的函数的分布

在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如, 在一些试验中, 所关心的 随机变量往往不能直接由测量得到 , 而它却是某个能直接测量的随机变量的函 数. 比如我们能测量圆轴的直径 d, 而关心的却是截面积 A=pi?d2/4. 这里, 随机 变量 A 是随机变量 d 的函数. 一般地,设 X, Y 是两个随机变量,y=g(x)

是一个已知函数,如果当 X 取值 x 时,Y 取值为 g(x),则称 Y 是随 机变量 X 的函数, 记作 Y=g(X).
下面讨论如何由已知的随机变量 X 的概率分布去求得它的函数 Y=g(X)(g(?) 是已知的连续函数)的概率分布.


X pk

离散型随机变量函数的分布
-1 0.2 0 0.3 1 0.1 2 0.4

例 1 设随机变量 X 具有以下的分布律, 试求 Y=X+2, 的分布律.

解 Y 所有可能值为 1,2,3,4, 由 ? P{Y=1}=P{X+2=1}=P{X=-1}=0.2, P{Y=2}=P{X=0}=0.3 P{Y=3}=P{X=1}=0.` P{Y=4}=P{X?=1}=0.4 写出 Y 的分布律 Y=X+2 pk 1 0.1 2 0.3 3 0.1 4 0.4

步骤:1、确定 Y 的取值 y1,y2,…yi…这里 yi=g(xi) 2、求概率 P{Y=yi}=pi P{X=xi}= pi

3、列出概率分布表 一般地,若 X 的分布列为 X x1 x2 …… P p1 p2 …… xk …… pk ……

则 Y = g(X) 的分布列为 Y g(x1) P p1 g(x2) p2 …… …… g(xk) pk …… ……

如果 g(xk )中有一些是相同的,把它们作适当并项即可.
例 1 设随机变量 X 具有以下的分布律, 试求 Y=(X-1)2 的分布律. X pk -1 0.2 0 0.3 1 0.1 2 0.4

解 Y 所有可能值为 0,1,4, 由 ? 2 P{Y=0}=P{(X-?1) =0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X?=-?1}=0.2, Y pk 0 0.1 1 0.7 4 0.2



连续型随机变量函数的分布
?x ? , f X ( x) ? ? 8 ? ?0,

例 2 设随机变量 X 具有概率密度
0 ? x ? 4, 其它.

求变量 Y=2X+8 的概率密度. 解 分别记 X,Y 的分布函数为 FX(x),FY(y). 下面先来求 FY(y).
FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{2 X ? 8 ? y} y ?8? ? ? y ?8 ? ? P ?X ? ? ? FX ? ?. 2 ? ? ? 2 ?

? y ?8 ? FY ( y ) ? FX ? ?. ? 2 ?

将 FY(y)关于 y 求导数, 得 Y=2X+8 的概率密度为
? ? y ?8 ?? y ?8 ? fY ( y ) ? f X ? ?? ? ? 2 ?? 2 ? ?1 ? y ? 8 ? 1 y ?8 ? 4, ? ? ?? , 0 ? ? ?8 ? 2 ? 2 2 ?0, 其它 ? ? y ?8 , ? ? ? 32 ? ?0, 8 ? y ? 16, 其它.

例3

2 设随机变量 X~N(?,? ). 试求 X 的线性函数 Y=aX+b(a?0)的概率密度.

1. 当 y=g(x) 是单调函数
定理 设随机变量 X 具有概率密度 fX(x), ?<x<?, 又设函数 g(x)处处可导且恒有 g'(x)>0 (或恒有 g'(x)<0), 则 Y=g(x)是连续型随机变量, 其概率密度为

? f X [h( y )] | h?( y ) |, ? ? y ? ? , fY ( y ) ? ? 其它 ?0,

(5.2)

其中?=min(g(-??),g(?)), ?=max(g(-??),g(?)), h(y) 是 g(x) 的反函数.

证 先设 g'(x)>0. 此时 g(x)在(??, ?)严格单调增加, 它的反函数 h(y) 存在, 且在(???)严格单调增加, 可导. 分别记 X,Y 的分布函数为 FX(x),FY(y). 因 Y 在(???)取值, 故当 y??时, FY(y)=P{Y?y}=0; 当 y??时, FY(y)=P{Y?y}=1. 当?<y<?时,

FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X?h(y)}=FX[h(y)].

F

Y(y)=FX[h(y)].

将 FY(y)关于 y 求导数, 即得 Y 的概率密度
? f X [h( y )]h?( y ), fY ( y ) ? ? ?0,

? ? y ? ?,
其它.

(5.3)

对于 g'(x)<0 的情况同样可以证明, 有
? f X [h( y )][?h?( y )], fY ( y ) ? ? ?0,

? ? y ? ?,
其它.

(5.4)

合并(5.3),(5.4)式得证.



fX(x)在有限区间[a,b]以外等于零, 只需成立在[a,b]上恒有

g'(x)>0(或恒有 g'(x)<0), 上述定理依然成立, 但此时有

?=min[g(a),g(b)], ?=max[g(a), g(b)].

2 例 3 设随机变量 X~N(?,? ).试证明 X 的线性函数 Y=aX+b(a?0)也服从正态分布 证明:见教材 p54 用公式法证明

2. 当 y=g(x)是非单调函数 对于分区间分段单调函数, 可以分段利用公式求出密度函数, 再求和

例 3 设随机变量 X 具有概率密度 fX(x),- ??<x<?, 求 Y=X 2 的概率密度.

(思路:先求分布函数,再求导得概率密度)
解 分别记 X,Y 的分布函数为 FX(x), FY(y). 由于 Y=X 2?0, 故当 y?0 时 FY(y)=0. 当 y>0 时有 FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{ X 2 ? y}
? P{? y ? X ? y } ? FX ( y ) ? FX (? y ).
FY ( y ) ? FX ( y ) ? FX (? y ).

将 FY(y)关于 y 求导数, 即得 Y 的概率密度为
? 1 [ f X ( y ) ? f X ( ? y )], ? fY ( y ) ? ? 2 y ?0, ? y ? 0, y ? 0.

例题 已知随机变量 X? U [0, ? ], 求 Y = sinX 的概率密度 fY ( y)
?0 ? FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P ( SinX ? y ) ? ?1 ?? ? y?0 y ?1 0 ? y ?1

( SinX ? y)

FY ( y) ? FX (arcsin y) ? FX (0) ? FX (? ) ? FX (? ? arcsin y)
从上述两例中可以看到, 在求 P(Y≤y) 的过程中, 关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出 X,得一个与{g(X) ≤ y }等价的 X 的不等式这样做是为了利用已知的 X 的分布,从而求出相应的概率. .总结:求随机变量函数 Y=g(X)的概率密度的方法: 法一:求分布函数法(先求分布函数,再求导得概率密度) 法二:公式法 (若严格单调或分段严格单调, ) :

? (0 ? X ? arcsin y ) ? (? ? arcsin y ? X ? ? )


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