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物理竞赛-静电场


实例1 求电偶极子产生的电场强度。
1. 电偶极子轴线延长线上任一点P 的场强 ? l ? ? ? ? E ? E? ? E? ?q o +q E
? E?

?

P

1 E? ? ? r? 3 3 2?? 0 r 2?? 0 r r 2. 电偶极子轴线的中垂线上任一点的场强 ? q 1 o ?

q E? ? E? ? ? 2 4? ? 0 r ? ( l 2) 2
r ?? l
? E? 3

q ? 1 1 ?q ?o E ? E? ? E? ? ? ? 2 ? ? 2 4??0 ? ( r ? l 2E) (r ? l 2 ) ? P

? E? ? l

+q

? E?

? E?

P

? E?

ql

P

? E

P
? E?
? r

+q
?q

?
o +q

1 ql E ? E? cos ? ? E? cos ? ? ? 2 ? 2 32 4?? 0 [r ? (l 2) ] 4?? 0 r 3
? ? ?1 P E? ? 3 4??0 r 1 ?E? 3 r

ql

q? ? r? r? ? q? ? r? r? ? E ? E? ? E? ? r ? r ? ? 2 ? 2 ?? ? 3? 3? 2 ? 2 ? 4?? 0 r? 4?? 0 r? 4?? 0 ? r? r? ? 4?? 0 ? r? r? ? ? ? q? q?
? ? l ? ? l r? ? r ? ,r? ? r ? 2 2
?3 ? ?3 2 ?3 2

3. 空间任一点P的场强

l l 2 2 r ? r ? ? r ? l ,r? ? r ? ? r ? l 4 4
2 ? 2

2

2

r

? l r ?l ? ? r ?1 ? 2 ? 2 ? r ? ? 4r ? l r ?l ? ?3 ? r ?1 ? 2 ? 2 ? r ? ? 4r
2

? 3 r ?l ? ? r ?1 ? ? 2 ? ? 2 r ?
?3

P
? r?
? r ? r?

?3 2

r??3

? ? ? ? 3 r ?l ? q ?? ? ? E? r ? r? ? (r? ? r? ) ? ? 2 ? 3 ? ? 4??0 r ? 2 r ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 又r? ? r? ? ?l ,r? ? r? ? 2r ? E ?

? 3 r ?l ? ?3 ? r ?1 ? ? 2 ? ? 2 r ?
?q

? ol

+q

? ? P ? 3(r ? P) ? r ? ? 4?? 0 r ?
3

当P 点在连线上正电荷右侧,则

2P r ? P ? P,E ? 3 4?? 0 r
当P 点在连线的中垂线上,则

?P r ? P ? 0,E ? 4?? 0 r 3

点电荷电势的计算公式:

1 q U? ? 4?? 0 r1
1

q U? ? 4?? 0 r2

1

q q q r2 ? r1 Ua ? U? ? U? ? ( ? )? 4?? 0 r1 r2 4?? 0 r1r2
当a点很远时r>>L,则r1≈r2≈r,

q L cos ? 1 P cos ? Ua ? ? 2 4?? 0 r 4?? 0 r 2

r2 ? r1 ? r cos?

电偶极子轴线上的场强(电势梯度法)
连线延长线上的电势: U= 1

P P =k 2 2 4?? 0 r r dU d P 2P ? ? (k 2 ) ? k 3 连线上的电场强度: E ? ? dr dr r r
任一点的电场强度:

dU dU 2P cos ? 2P sin ? E ? ?( ? )?k r ?k ? 3 3 drr dr? r r

?? cos ? F1 ? ? k ? q 2 cos ? r1 2 r2 ?? k? q ?? cos ? F2 ? ? k ? q 2 cos ? r2
4 3 k? ? r ? 3 E? ? r 2 3? 0 r

k?

2 r1 ??

q

?S1

r1
?1

??

r2
?2

?S2

m q r O

带电球壳内场强为零!
Q M

此环靠近半径为b的接地的球,只有环中心O位于球面上,如图.试 求球上感应电荷的电量 .

例1 一个半径为a的孤立的带电金属丝环,其中心电势为U0.将

O点O1点电势均为0;
O点O1点电势均由环上电荷及 球上感应电荷共同引起! 环上电荷在O点的总电势为U0

O a

kqi U0 ? ? a i 环上电荷在O1点的总电势为 U ? aU0 O1 kqi UO1 ? ? a 2 ? b2 2 2 a ?b i 球上感应电荷在O1点引起的电势Ub abU 0 aU0 kQi Q? Ub ? ? ? ?U O1 ? ? 2 2 2 2 b k a ? b a ?b i

O1

例2 有均匀带电的半球面,证明:“盖”上此半球面 的平面是等势面;求此平面中心处的电场强度。半球面 的面电荷密度是α。



例3 把半径为 R, 电荷体密度的均匀带电导体球,切成 八等分,其中一份电荷在球心O点产生的场强?



电场线的疏密表示电场的强弱,若场中某面元上有 ? e 条电场线垂直穿过,则 E ? ? e 点电荷电场
S

球面上各处场强大小均为

E?
1

kq r
2

?

q
q

S

?12 2 2 从该球面穿出的电通量 ?0 ? ? 8.85 ? 10 C /N ? m

4?? 0 r
4?? 0 r

2

4?? k ? ES ? e

2

? 4? r ?
2

q

q

S?

?0

根据电场线的性质——在电场中 没有电荷处电场线是连续的、不 相交的,可以肯定包围点电荷q的 任意封闭曲面S′上的电通量也是

?e ?

q

?0

例4 如图,电场线从正电荷+q1出发,与正点电荷及负点电荷的连 线成α角,则该电场线进入负点电荷-q2的角度β是多大?

以点电荷+q1与-q2为中心, 取一半径r很小的球面,可 视为其上电场线均匀分布, 穿出2α角所对的球冠面的 α 电场线应完全穿入2β角所 对的球冠面,两面上电通 +q1 量相等:

β



-q2

q1 2? r ? r ? 1 ? cos ? ? q2 2? r ? r ? 1 ? cos ? ? ? ? ? 2 ?0 ?0 4? r 4? r 2

sin

?
2

?

q1 ? sin q2 2

如图所示,正四面体ABCD各面为导体,但又彼此绝缘.已 ?4 ? 2 ,求四面体中心 知带电后四个面的静电势分别为 、 、 ?1 和 O点 ?3 的电势φ0 .

例8

A

O B C

D

球,小球球心与大球球心O相距为a,试求点的场强,并证明空腔内电场均匀 .

例9如图所示,在半径为R、体密度为的均匀带电球体内部挖去半径为r的一个小

O?

O

如图所示,在半径为R的细圆环上分布有不能移动的正电荷,总电量为 Q,AB是它的一条直径,如果要使AB上的场强处处为零,则圆环上的电荷应该 如何分布?

例10

A

B

如图,无限大的接地导体板,在距板d处的A点有 一个电量为Q的正电荷,求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力.

专题17-例11

由于导体板接地,板上电势为零,在点电荷Q 的作用下,板的右侧出现感应电荷.

由于导体为一等势面,从点电荷Q出 发的电场线应处处与导体面正交而终 止,因而导体板右侧电场线分布大致 如图所示. 联想到等量异种电荷的电场:

A -Q Q

导体板上感应电荷对板右侧电场的影响, 可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的另 一虚设点电荷-Q替代,板上感应电荷对Q的 作用亦等效于像电荷-Q对Q发生的作用 由库仑定律,板上感应电荷对点电荷Q的 作用力大小为 Q

kQ ? F? 2 2 16?? 0 d 4d

拓展
(1)从点电荷Q出发时沿着平行于导体板的电场线碰 到导体表面的位置

+Q

(2)导体板上电荷面密度δ

一个直径为1cm,总带电量为10-8C的均匀带电塑 料球,用一根很长的绝缘绳悬挂起来,其最底端与一盐水 容器相距1cm,已知盐水的密度为1000kg/m3,求水面涌起 的高度

3r

专题17-例12如图所示,设在一接地导体球的右侧P点,有一点电荷q,它与
球心的距离为d,球的半径为R,求导体球上的感应电荷为多少?点电荷q受到的电 场力为多大?

由导体表面感应 电荷总电量在O点 引起的电势与点 电荷q在O点引起 的电势之和为零 得 ?

R

O

?
r q?

P

kq kq ? ?0 d R

F?

kq?q

?d ? r ?

2

?

kRdq 2

+q

?d

2

?R

2

?

2

根据唯一性原理可知,等效的像电荷量即为

像电荷位置,应令其在球面上任意点引起的电势与q在同 一点电势叠加为零,即满足
2 2 2 2 d r ?

R q? ? ? q d

d

?

2 R ? 2 Rrd ? 2 R d ? ? R 2 ? r 2 ? 2 Rr cos ? ? R 2 R 2? d ? 2R Rd cos ? R ? d ? 2 Rd cos ? R ? r ? 2r Rr cos ? ? 对任意角位置等式均成立必有 d

4 2 kq

?

2

?

32

??

kq? 2 2 cos ?

?

拓展
(1)若导体球不接地

(2)若导体球原本带电为Q1

(3)导体球壳上电荷面密度δ

如图所示,一薄壁导体球壳(以下简称为球壳)的球心在O点。 球壳通过一细导线与端电压V=90V的电池的正极相连,电池负极 接地。在球壳外A点有一电量为q1=10×10-9C的点电荷,B点有 一电量为q2=16×10-9C的点电荷。OA之间的距离d1=20cm, OB之间的距离d2=10cm 1现设想球壳的半径从a=10cm开始缓慢 地增大到50cm,问:在此过程中的不同阶段,大地流向球壳的 电量各是多少?已知静电力恒量k=9×109N· m 2· C-2。假设点电荷 能穿过球壳壁进入导体球内而不与导体壁接触。
A

B

O


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