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2014北京东城高考二模数学文


东城区 2013-2014 学年第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)
第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)设集合 A ? {x ? R x ? 1 ? 2} ,集合 {?2, ?1, 0,1, 2} ,则 A (A) {2} (C) {0,1, 2} (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 (B) {1, 2} (D) {?1, 0,1, 2}

B=

2 对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限

(3)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时,输入的 x 值为 (A) 2 或 ?2 (B) ?1 或 ?2 (C) 1 或 ?2 (D) 2 或 ?1 (4)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 2a6 ? 6 ? a7 ,则 S9 的值是 (A) 18 (C) 54 (B) 36 (D) 72

(5)已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? 的值是 (A) ? (C) ?

4 5 3 5

(B)

4 5 3 5

(D)

(6)已知函数 f ( x) 在[0,+∞]上是增函数, g ( x) ? f (| x |) ,若 g (lg x) ? g (1), 则 x 的取值范围是 (A) (0,10) (C) ( (B) (10, ??) (D) (0,

1 ,10) 10

1 ) (10, ??) 10

(7)已知点 A(2, 0) , B(?2, 4) , C (5,8) ,若线段 AB 和 CD 有相同的垂直平分线,则点 D 的坐标是 (A) (6, 7) (B) (7, 6) (C) (?5, ?4) (D) (?4, ?5)

(8)对任意实数 a , b 定义运算“⊙”: a

?b, a ? b ? 1, b?? 设 f ( x) ? ( x2 ?1) ?a, a ? b ? 1,
1/7

(4 ? x) ? k ,若函数 f ( x) 的图象

与 x 轴恰有三个交点,则 k 的取值范围是 (A) (?2,1) (C) [?2, 0) (B) [0,1] (D) [?2,1)

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)函数 y ? log0.5 (4 x ? 3) 的定义域是 .

(10)已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 b ?



(11)在区间 [0, 6] 上随机取两个实数 x , y ,则事件“ 2 x ? y ? 6 ”的概率为_________. (12)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N * ,有 2Sn ? 3an ? 2 ,则 a1 ? ; Sn ? .

(13)过点 A(?1, 0) 且斜率为 k (k ? 0) 的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 B , C 两点,若 B 为 AC 中点,则 k 的值 是 .

(14)在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A , PA ? PC1 ? m , 1B 1C 1D 1 中,点 P 是正方体棱上一点(不包括棱的端点) ①若 m ? 2 ,则满足条件的点 P 的个数为 ________;

m 的取值范围是________. ②若满足 PA ? PC 1 ? m的点 P 的个数为 6 ,则
三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x . (Ⅰ)求 f (

? ? ) 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. 12 2

(16) (本小题共 13 分)汽车的碳排放量比较大,某地规定,从 2014 年开始,将对二氧化碳排放量超过 130g/km 的 轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单 位:g/km) .

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km . (Ⅰ) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆, 则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km 的概率是多少? (Ⅱ) 求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.

2/7

(17) (本小题共 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? PB ? AB ? 2 ,BC ? 3 ,?ABC ? 90 ° , 平面 PAB ? 平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点. (Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: AB ? PE ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? BEC 的体积. D A A E A C A P A

B A (18) (本小题共 13 分)

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 ? b , g ( x) ? 2a ln x . 6 2 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处的切线互相垂直,求 a , b 的值; g( x) ,若对任意的 x1, x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ,求 a (Ⅱ)设 F (x) ? f '( x) ?
已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 的取值范围.

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 . ? 2 ? 1 的一个焦点为 F (2, 0) ,且离心率为 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)过点 M (3,0) 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 A, B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 C ,求△ MBC 面积的最 大值.

(20) (本小题共 14 分) 设 a 是一个自然数, f ( a ) 是 a 的各位数字的平方和, 定义数列 {an } :a1 是自然数,an ? f (an?1 )( n ? N * ,n ? 2 ) . (Ⅰ)求 f (99) , f (2014) ; (Ⅱ)若 a1 ? 100 ,求证: a1 ? a2 ; (Ⅲ)求证:存在 m ? N * ,使得 am ? 100 .

3/7

东城区 2013-2014 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (文科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)B (2)A (6)D (3)C (7)A (4)C (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) [ , ??) (11)

3 4

(10) 2 5 (12) 2 (14) 6

1 4

3n ? 1

(13) 2 2

( 3, 5)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x

?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f ( ) ? 1 . (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? 所以,当 2 x ? 当 2x ?

? 6

…………………7 分

? 2

? ? 5? ? 2x ? ? . 6 6 6

? ? ? ? 时,即 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得最小值 0 ; 6 6

? ? ? 3 ? 时,即 x ? 时,函数 f ( x) 取得最大值 .…………………13 分 6 2 3 2

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)从被检测的 5 辆甲品牌的轻型汽车中任取 2 辆, 共有 10 种不同的二氧化碳排放量结果:

(80,110) , (80,120) , (80,140) , (80,150) , (110,120) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) .
设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km ”为事件 A , 则事件 A 包含以下 7 种不同的结果:

(80,140) , (80,150) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) .
4/7

所以 P ( A) ?

7 ? 0.7 . 10
480 ? x ? 120 ,解得 x ? 120 . 5

即至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km 的概率为 0.7 .………………6 分 (Ⅱ)由题可知, x乙 ? 120 ,所以

1 2 2 2 2 2 2 ? 80-120) ? s甲 ? ( ? (110-120) ? (120-120) ? (140-120) ? (150-120) ? 5? ? 600. 1 2 2 2 2 2 2 ? 100-120) ? s乙 ? ( ? (120-120) ? (120-120) ? (100-120) ? (160-120) ?, 5? ? 480.
因为
2 2 x甲 ? x乙 ? 120, s甲 ? s乙 ,

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好.

………………13 分

(17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 D , E 分别为 AB , AC 中点, 所以 DE ∥ BC , 又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . (Ⅱ)连结 PD , 因为 DE ∥ BC ,又 ?ABC ? 90 ° , 所以 DE ? AB . 又 PA ? PB , D 为 AB 中点, 所以 PD ? AB . 所以 AB ? 平面 PDE , 所以 AB ? PE . …………………9 分 B A D A A E A C A …………………4 分 P A

(Ⅲ)因为平面 PAB ? 平面 ABC , 有 PD ? AB , 所以 PD ? 平面 ABC , 所以 VP ? BEC ?

1 1 1 1 3 . VP ? ABC ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 2 3 2 2

…………14 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ?

1 2 3 x ? (a ? 2) x , f '(1) ? a ? . 2 2

g '( x) ?

2a , g '(1) ? 2a . x

依题意有 f '(1) g '(1) ? ?1 ,
5/7

可得 2a (a ? ) ? ?1 ,解得 a ? 1 ,或 a ? (Ⅱ) F ( x) ?

3 2

1 . 2

……………6分

1 2 x ? (a ? 2) x ? 2a ln x . 2 不妨设 x1 ? x2 , F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a 等价于 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) , 则 x2 ? x1
即 F ( x2 ) ? ax2 ? F ( x1 ) ? ax1 . 设 G( x) ? F ( x) ? ax , 则对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 等价于 G( x) ? F ( x) ? ax 在 (0, ??) 是增函数.

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ?a, x2 ? x1

G ( x) ?

1 2

2

x ? 2 a l n? x ,2x

2a x 2 ? 2 x ? 2a , ?2 ? x x 依题意有,对任意 x ? 0 ,有 x 2 ? 2 x ? 2a ? 0 . 1 由 2a ? x2 ? 2 x ? ( x ?1)2 ?1,可得 a ? ? .……………13 分 2
可得 G '( x) ? x ? (19) (共 13 分)

c 6 . ? a 3 可得 a 2 ? 6 , b2 ? 2 . x2 y 2 故椭圆方程为 ? ? 1 . ………………………………………………5分 6 2 (Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) . ? y ? k ( x ? 3), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6 消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x2 ?18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 . (*) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .
解(Ⅰ)依题意有 c ? 2 ,

18k 2 27k 2 ? 6 , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 不妨设 x1 ? x2 ,显然 x1 , x2 均小于 3 . 1 则 S AMC ? ? 2 y1 ? (3 ? x1 ) ? y1 (3 ? x1 ) , 2 1 S ABC ? ? 2 y1 ? ( x2 ? x1 ) ? y1 ( x2 ? x1 ) . 2 SM B? S ? (y 3 ? x ? ( k 3 1? x) ( 3 ? x ) C S A? B C A 1M C 2 ) 2
故 x1 ? x2 ?

? k [9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] ?

3k 3k 2 ? 1

3 . 2 2 3k 1 2 等号成立时,可得 k ? ,此时方程(*)为 2 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 ,满足 ? ? 0 . 3 ?
2

3k

?

3 所以 ?MBC 面积 S 的最大值为 2 .

………………………………13 分
6/7

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) f (99) ? 92 ? 92 ? 162 ;

f (2014) ? 22 ? 02 ? 12 ? 42 ? 21 . (Ⅱ)假设 a1 是一个 n 位数( n ? 3 ) ,
那么可以设 a1 ? bn ?10
n?1

……………5 分

? bn?1 ?10n?2 ?

? b3 ?102 ? b2 ?10 ? b1 ,

其中 0 ? bi ? 9 且 bi ? N ( 1 ? i ? n ) ,且 bn ? 0 .
2 2 由 a2 ? f (a1 ) 可得, a2 ? bn ? bn?1 ?

? b32 ? b22 ? b12 .

a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (10n?2 ? bn?1 )bn?1 ?
n?1 ? (1 0 ? bn b ) n ? ?2 (n 1 0? bn?1 bn? ) 1?

? (102 ? b3 )b3 ? (10 ? b2 )b1 ? (1 ? b1 )b1,
) ,

?

2

( ? 1 b03b ? b ?1 ?)b b 1( 11 3 ) ? b( 1 20

所以 a1 ? a2 ? (10

n?1

? bn )bn ? (b1 ?1)b1 .

n?1 因为 bn ? 0 ,所以 (10 ? bn )bn ? 99 .

而 (b1 ?1)b1 ? 72 , 所以 a1 ? a2 ? 0 ,即 a1 ? a2 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知当 a1 ? 100 时, a1 ? a2 . 同理当 an ? 100 时, an ? an?1 . 若不存在 m ? N * ,使得 am ? 100 . 则对任意的 n ? N * ,有 an ? 100 ,总有 an ? an?1 . 则 an ? an?1 ?1 , 可得 an ? a1 ? (n ?1) . 取 n ? a1 ,则 an ? 1 ,与 an ? 100 矛盾. 存在 m ? N * ,使得 am ? 100 . ……………14 分 ……………9 分

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