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河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(实验班)同步练习:3.2.1直线的方向向量和平面的法向量]


3.2.1 直线的方向向量和平面的法向量
?1 ? 1.若平面 α、β 的法向量分别为 a=?2,-1,3?,b=(-1,2,6),则( ? ? A.α∥β C.α⊥β B.α 与 β 相交但不垂直 D.α∥β 或 α 与 β 重合 ) )

2.直线 l1、l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( A.l1∥l2 C

.l1⊥l2 B.l1 与 l2 相交,但不垂直 D.不能确定

3.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,给出下列结论: ①直线 DD1 的一个方向向量为(0,0,1). ②直线 BC1 的一个方向向量为(0,1,1). ③平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0). ④平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

4.若 a=(1,2,3)是平面 γ 的一个法向量,则下列向量中能作为平面 γ 的法向量的 是( ) B.(3,6,9) D.(3,6,8)

A.(0,1,2) C.(-1,-2,3)

5.如果一条直线 l 与平面 α 内的两条直线垂直,那么 l 与 α 的位置关系是 A.平行 C.l?α B.垂直 D.不确定 )

6.平面的一条斜线和这个平面所成的角 θ 的范围是( A.0° <θ<180° B.0° ≤θ≤90°

7.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),则平面 α 的一个 法向量是________(写出一个即可). 8.已知空间直角坐标系 O-xyz 中的点 A(1,1,1),平面 α 过点 A 并且与直线 OA 垂直, 动点 P(x, y, z)是平面 α 内的任一点, 则点 P 的坐标满足的条件为________. 9. 在底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 中, E 是 PC 中点, 求证:

PA∥平面 EDB. 10.如图, 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面边长为 2 2, 4,E,F 分别是棱 AB、BC 的中点,EF∩BD=G. 求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. 侧棱长为

3.2.1 直线的方向向量和平面的法向量
1. [答案] D[解析] ∵b=-2a,∴b∥a,∴α∥β 或 α 与 β 重合. 2. [答案] C[解析] ∵a· b=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. 3. [答案] C[解析] DD1∥AA1,=(0,0,1);BC1∥AD1,=(0,1,1),直线 AD⊥平面 ABB1A1,

AD =(0,1,0);C1 点坐标为(1,1,1),与平面 B1CD 不垂直,∴④错.
4.[答案] B[解析] 平面 γ 的法向量. 5. [答案] D[解析] 直线和平面可能的位置关系是平行,垂直,在平面内,故选 D. 6.[答案] D[解析] 由斜线和平面所成的角定义知选 D. 7. [答案] 形如(2k,k,0) (k≠0)的都可以 [解析] 因为 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), 所以 AB =(1,-2,-4), AC =(2,-4,-3). 设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z), 依题意,应有 n· AB =0 且 n· AC =0,
? ?x-2y-4z=0, 即? 解得 z=0 且 x=2y. ? ?2x-4y-3z=0.

因为(3,6,9)=3(1,2,3)=3a,即向量(3,6,9)与 a 平行,故(3,6,9)能作为

令 y=1,则 x=2,所以平面 α 的一个法向量是 n=(2,1,0).(答案不唯一) 8. [答案] x+y+z=3[解析] 由题意知,OA⊥α,直线 OA 的方向向量=(1,1,1), 因为 P∈α,∴ OA ⊥ AP , ∴(1,1,1)· (x-1,y-1,z-1)=0, ∴x+y+z=3. 1 9. [证明] 设 DA =a, DC =b, DP =c,则 DE = (b+c), 2

DB =2(a+b), PA =a-c,
∵ PA =2 DB -2 DE , ∴ PA 与 DE 、 DB 共面, ∵ DB 、 DE 不共线,PA?平面 BDE. ∴PA∥平面 BDE. 10. [解析] 以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、

1

z 轴建立空间直角坐标系,由题意知:D(0,0,0),B1(2 2,2 2,4),E(2 2, 2,0),F( 2, 2 2,0),

B1E =(0,- 2,-4), EF =(- 2, 2,0).
设平面 B1EF 的一个法向量为 n=(x,y,z). 则 n· EF =- 2x+ 2y=0. B1E =- 2y-4z=0,n· 解得 x=y,z=- 2 2 y,令 y=1 得 n=(1,1,- ), 4 4

又平面 BDD1B1 的一个法向量为 AC =(-2 2,2 2,0) 而 n· AC =1×(-2 2)+1×2 2+(- 2 )×0=0 4

即 n⊥ AC .∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1.


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