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步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义:6.1数列的概念及简单表示法


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§ 6.1 数列的概念及简单表示法

1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 按其他 标准分类 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如

果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项 公式.
? S1 ? 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an=? ?Sn-Sn-1 ?

类型 有穷数列 无穷数列 递增数列
[ 来源:z。 zs。tep.com]

满足条件 项数有限 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 其中 n∈N*

递减数列 常数列 有界数列 摆动数列

存在正数 M,使|an|≤M 从第二项起, 有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列

?n=1? ?n≥2?

.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

第 1 页 共 13 页

(1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达. (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. 1+?-1?n 1 (3)数列:1,0,1,0,1,0,?,通项公式只能是 an= . 2


( × ( √ ( × ( √ ( √

) ) ) ) )

(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则对?n∈N*,都有 an+1=Sn+1-Sn. (5)在数列{an}中,对于任意正整数 m,n,am+n=amn+1,若 a1=1,则 a2=2. (6)若已知数列{an}的递推公式为 an+1=

1 ,且 a2=1,则可以写出数列{an}的任何一项.( √ ) 2an?1
( D.64 )

2.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为 A.15 答案 A 解析 ∵Sn=n2,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. ∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15. 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10 等于 A.1 答案 A 解析 ∵Sn+Sm=Sn+m,a1=1,∴S1=1. 可令 m=1,得 Sn+1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=1. 即当 n≥1 时,an+1=1,∴a10=1. B.9 C.10 D.55 B.16 C.49

(

)

2 1 4.(2013· 课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 答案 (-2)n
-1

解析 当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时, 2 2 an=Sn-Sn-1= an- an-1, 3 3 故 an - =-2,故 an=(-2)n 1. an-1


当 n=1 时,也符合 an=(-2)n 1. 综上,an=(-2)n 1.


第 2 页 共 13 页

5.(2013· 安徽)如图, 互不相同的点 A1, A2, ?, An, ?和 B1, B2, ?, Bn?分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则数 列{an}的通项公式是________. 答案 an= 3n-2

2 2 2 2 2 由相似三角形面积比是相似比的平方知 OA2 n+OAn+2=2OAn+1,即 an+an+2=2an+1, 2 2 因此{a2 n}为等差数列且 an=a1+3(n-1)=3n-2,

故 an= 3n-2.

题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式:

(1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?. 思维启迪 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项数之间的关系,项与前后项之间 的关系. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.

2n-1 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?,所以 an= n . 2 (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而 各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1,所以 an 2+?-1?n =(-1)n· . n

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?-n,n为正奇数, 也可写为 a =? 3 ?n,n为正偶数.
n

1

9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 , , , , ?, 分母都是 3, 而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1, ?, 3 3 3 3 1 所以 an= (10n-1). 3 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、 分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征,应多进行对比、分析,从整体 到局部多角度观察、归纳、联想. (1)数列-1,7,-13,19,?的一个通项公式是 an=________. 3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公式是 an=________. 2 10 17 答案 解析 2n+1 (1)(-1)n· (6n-5) (2) 2 n +1 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n
+1

表示, 其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前

面的数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). 2×1+1 2×2+1 2×3+1 2×4+1 2n+1 (2)数列{an}的前 4 项可变形为 2 , 2 , 2 , 2 ,故 an= 2 . 1 +1 2 +1 3 +1 4 +1 n +1 题型二 由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项 例2 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式:

(1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b. 思维启迪 当 n=1 时,由 a1=S1,求 a1; 当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1 消去 Sn,得 an+1 与 an 的关系.转化成由递推关系求通项. 解 (1)a1=S1=2-3=-1,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5. (2)a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(3n+b)-(3n 1+b)=2· 3n 1.
- -

当 b=-1 时,a1 适合此等式. 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. ∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1;


? n=1, ?3+b, 当 b≠-1 时,an=? n-1 ?2· 3 , n≥2. ?

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?S1,n=1, ? 思维升华 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 当 n=1 时, a1 若适合 Sn-Sn-1, ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________________.
?2,n=1 ? 答案 an=? ?6n-5,n≥2 ?

解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式.
?2,n=1, ? 故数列的通项公式为 an=? ?6n-5,n≥2. ?

题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 例3 (1)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=________.

(2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则它的一个通项公式为 an=________. n+2 (3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a .则{an}的通项公式为________. 3 n 思维启迪 观察递推式的特点,可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式. 答案 解析 n?n+1? n?n+1? - (1) +1 (2)2×3n 1-1 (3)an= 2 2 (1)由题意得,当 n≥2 时,

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) ?n-1??2+n? n?n+1? =2+(2+3+?+n)=2+ = +1. 2 2 1×?1+1? 又 a1=2= +1,符合上式, 2 n?n+1? 因此 an= +1. 2 (2)方法一 (累乘法) an+1=3an+2,即 an+1+1=3(an+1), 即 an+1+1 =3, an+1 a2+1 a3+1 a4+1 an+1+1 所以 =3, =3, =3,?, =3. a1+1 a2+1 a3+1 an+1 将这些等式两边分别相乘得 an+1+1 n =3 . a1+1

an+1+1 n 因为 a1=1,所以 =3 , 1+ 1

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即 an+1=2×3n-1(n≥1), 所以 an=2×3n 1-1(n≥2),


又 a1=1 也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n 1-1.


方法二 (迭代法) an+1=3an+2, 即 an+1+1=3(an+1)=32(an-1+1)=33(an-2+1) =?=3n(a1+1)=2×3n(n≥1), 所以 an=2×3n 1-1(n≥2),


又 a1=1 也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n 1-1.


(3)由题设知,a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1= a- a . 3 n 3 n-1 ∴ ∴ an n+1 = . an-1 n-1 an n+1 a4 5 = ,?, = , a3 3 an-1 n-1

a3 4 a2 = , =3. a2 2 a1 an n?n+1? 以上 n-1 个式子的等号两端分别相乘,得到 = , a1 2 n?n+1? 又∵a1=1,∴an= . 2 思维升华 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解. 当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;当出现 an=an-1+f(n) 时,用累加法求解;当出现 an =f(n)时,用累乘法求解. an-1

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n-1 (1)已知数列{an}满足 a1=1,an= a (n≥2),则 an=________. n n-1 (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N*),则 a5 等于 A.-16 答案 解析 1 (1) n B.16 (2)B C.31 D.32 ( )

n-1 (1)∵an= a (n≥2), n n-1

n-2 1 ∴an-1= an-2,?,a2= a1. 2 n-1 以上(n-1)个式子相乘得 1 2 n-1 a1 1 an=a1··· ?· = = . 23 n n n (2)当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1, ∴an=2an-2an-1, ∴an=2an-1. ∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2, 故 a5=a1×q4=24=16.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围. 思维启迪 (1)求使 an<0 的 n 值;从二次函数看 an 的最小值.(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作 相应的解析式 f(n)=n2+kn+4.f(n)在 N*上单调递增,但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究单调性. 规范解答 解 (1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3. [4 分]

5?2 9 5 * ②∵an=n2-5n+4=? ?n-2? -4的对称轴方程为 n=2.又 n∈N ,∴当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其 最小值为 a2=a3=-2.
2

[8 分]

(2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列, 又因为通项公式 an=n +kn+4, 可以看作是关于 n 的二次函数,
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k 3 考虑到 n∈N*,所以- < ,即得 k>-3. 2 2

[12 分]

温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N*上的二次函数, 因此可以利用 二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实数 k 的取值范围,使问题得到解决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取. (3)易错分析:本题易错答案为 k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.

方法与技巧 1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n 或(-1)n
+1

来区分奇偶项的符号);已知数

列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.
? ?S1 2.强调 an 与 Sn 的关系:an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1? ?n≥2?

.

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有二种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式. 失误与防范 1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值,如数列 an=f(n)和函数 y=f(x)的单调性是不同的. 2.数列的通项公式不一定唯一.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,?的一个通项公式是 an 等于 ?-1? +1 A. 2 答案 D 解析 令 n=1,2,3,?逐一验证四个选项,易得 D 正确. 2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6 等于 A.3×44 C.45 答案 A 解析 当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1,
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n

( D.cos n+2 π 2

)

B.cos

nπ 2

C.cos

n+1 π 2

(

)

B.3×44+1 D.45+1

∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1, ∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列.
?1?n=1?, ? 又 a2=3S1=3a1=3,∴an=? n-2 ? ?3×4 ?n≥2?.

∴当 n=6 时,a6=3×46 2=3×44.


3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+?+a10 等于 A.15 答案 A 解析 由题意知,a1+a2+?+a10 =-1+4-7+10+?+(-1)10×(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+?+[(-1)9× (3× 9-2)+(-1)10× (3× 10-2)] =3×5=15. 4 - 2 - 4.已知数列{an}的通项公式为 an=( )n 1-( )n 1,则数列{an} 9 3 A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 答案 C 4 - 2 - 解析 ∵数列{an}的通项公式为 an=( )n 1-( )n 1, 9 3 2 - 令 t=( )n 1,t∈(0,1],t 是减函数, 3 1 1 则 an=t2-t=(t- )2- , 2 4 由复合函数单调性知 an 先递增后递减. 故有最大项和最小项,选 C. B.12 C.-12 D.-15

(

)

(

)

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5.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= 5 A. 6 答案 D 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 所以 =5×6=30. a5 二、填空题 6 B. 5 1 C. 30

n 1 ,则 等于 a5 n+1 D.30

(

)

n-1 n 1 - = , n n+1 n?n+1?

n2 6.已知数列{ 2 },则 0.98 是它的第________项. n +1 答案 7 解析 n2 49 =0.98= ,∴n=7. 50 n2+1

7.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N*,都有 a1· a2· a3· ?· an=n2,则 a3+a5=________. 答案 61 16

解析 由题意知:a1· a2· a3· ?· an-1=(n-1)2, n 2 3 5 61 ∴an=( ) (n≥2),∴a3+a5=( )2+( )2= . 2 4 16 n-1 8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是________. 答案 (-3,+∞)

解析 方法一 (定义法) 因为{an}是递增数列,所以对任意的 n∈N*,都有 an+1>an, 即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得 2n+1+λ>0,即 λ>-(2n+1).(*) 因为 n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需 λ>-3. 方法二 (函数法) λ 设 f(n)=an=n2+λn,其图象的对称轴为直线 n=- , 2 要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数, 故只需满足 f(1)<f(2),即 λ>-3. 三、解答题 9.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6.
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(2)令 an=150,即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). 故数列从第 7 项起各项都是正数. 9n?n+1? 10.已知数列{an}的通项公式为 an= ,试判断此数列是否有最大项?若有,第几项最大,最大项是 10n 多少?若没有,说明理由. 解 9n 1?n+2? 9n?n+1? 9n 8-n an+1-an= - = n· , + 10n 10 10 10n 1


当 n<8 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=8 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>8 时,an+1-an<0,即 an+1<an. 则 a1<a2<a3<?<a8=a9>a10>a11>?, 故数列{an}有最大项,为第 8 项和第 9 项, 98×9 99 且 a8=a9= 8 = 8. 10 10 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子 外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( )

A.8 种 答案 C

B.13 种

C.21 种

D.34 种

解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an,则到达第 n 个格子的方法有两类: ①向前跳 1 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-1; ②向前跳 2 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-2,则 an=an-1+an-2, 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C. 1 2.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为( 2 A.5 答案 B 1 解析 ∵an+an+1= (n∈N*), 2 1 1 1 ∴a1= -a2= -2,a2=2,a3= -2,a4=2,?, 2 2 2
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)

7 B. 2

9 C. 2

13 D. 2

1 故 a2n=2,a2n-1= -2. 2 1 1 7 ∴S21=10× +a1=5+ -2= . 2 2 2 2 3.若数列{n(n+4)( )n}中的最大项是第 k 项,则 k=________. 3 答案 4

解析

?k?k+4??3? ≥?k+1??k+5??3? 由题意得? 2 2 ?k?k+4??3? ≥?k-1??k+3??3?
k k

2

2

k +1



k -1

2 ? ?k ≥10 所以? 2 ,由 k∈N*可得 k=4. ?k -2k-9≤0 ?

4.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 2

2 ,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. an+1

?3?n=1? ∴b =? 1 ?n?n≥2?
n

.

(2)∵cn=bn+1+bn+2+?+b2n+1 = 1 1 1 + +?+ , n+1 n+2 2n+1

1 1 1 ∴cn+1-cn= + - 2n+2 2n+3 n+1 = -1 1 1 - = <0, 2n+3 2n+2 ?2n+3??2n+2?

∴{cn}是递减数列. 5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围. 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,


即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n 1=2(Sn-3n). 即 bn+1=2bn,又 b1=S1-3=a-3, 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n 1,n∈N*.


(2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n 1,n∈N*,


于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n 1-3n 1-(a-3)2n
- - -2

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=2×3n 1+(a-3)2n 2,
- -

an+1-an=4×3n 1+(a-3)2n


-2

3 - - =2n 2[12( )n 2+a-3], 2 3 - 当 n≥2 时,an+1≥an?12( )n 2+a-3≥0?a≥-9. 2 又 a2=a1+3>a1. 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞).

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