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吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数与方程学案 理


函数与方程
一、 知识梳理: (阅读教材必修 1 第 85 页—第 94 页) 1、 方程的根与函数的零点 (1) 零点:对于函数,我们把使 0 的实数 x 叫做函数的零点。这样,函数的零点就是方程 0 的实数根,也就 是函数的图象与 x 轴交点的横坐标,所以方程 0 有实根。 (2) 、函数的零点存在性定理:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有那么,在 区间(a,b)内有零点,即存在 c,使得=0,这个 C 也就是方程 0 的实数根。 (3) 、零点存在唯一性定理:如果单调函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有那么, 在区间(a,b)内有零点,即存在唯一 c,使得=0,这个 C 也就是方程 0 的实数根。 (4) 、零点的存在定理说明: ①求在闭间内连续,满足条件时,在开区间内函数有零点; ②条件的函数在区间(a,b)内的零点至少一个; ③间[a,b]上连续函数,不满足,这个函数在(a,b)内也有可能有零点,因此在区间[a,b]上连续函数, 是函数在(a,b)内有零点的充分不必要条件。 2、 用二分法求方程的近似解 (1) 、二分法定义:对于区间[a,b]连续不断且的函数通过不断把区间一分为二,使区间的两个端点逐步 逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。 (2) 、给定精确度()用二分法求函数的零点近似值步骤如下: ①确定区间[a,b],验证给定精确度() ; ②求区间(a,b)的中点 c; ③计算 (I)若=0,则 c 就是函数的零点; (II)若则令 b=c, (此时零点) ; (III)若则令 a=c, (此时零点) ; ④判断是否达到精确度 ,若|a-b|,则得到零点的近似值 a(或 b) ,否则重复②--④步骤。 函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解,由于计算量较大,而且是重复相同 的步骤,因此,我们可以通过设计一定的程序,借助计算器或者计算机来完成计算。 二、 题型探究

[探究一]:考察零点的定义及求零点 例 1:已知函数 (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴只有一个公共点?(1 或 1/3)
1

(2) 如果函数的一个零点为 2,则 m 的值及函数的另一个零点。 (m=3,x=10)

[探究二]:判断零点的个数及确定零点所在区间 例 2:证明函数在(0,+)上恰有两个零点。

[探究三]:有二分法求方程的近似解 例 3:已知图象连续不断的函数在区间(a,b) (b-a=0.1)上有唯一零点 ,如果用“二分法”求个零点(精 确度 0.0001)的近似值,那么将区间等分的次数至少是(D) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10

例 4:下列图象不能用二分法示这个函数的零点的是(3、5)
y y y

o

X

o

X

o

X

(1)

(2)

(3)

y

y

o

X

o

X

(4)

(5)

三、

方法提升

1、 根据根的存在定量理,判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题,这类问题只需将区间的两 个端点的值 代入计算即可判断出来。 、
2

2、 判断函数零点的个数问题常数形结合的方法,一般将题止听等 式化为两个函数图象的交点问题。 3、 在导数问题中,经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题,要确定函数具体的零点的个数 需逐个判断,在符合根的存在定量的条件下,还需辅以函数的单调性才能准确判断出零点的个数。 四、 反思感悟:

。 五、课时作业: 1.函数 y ? 2 x2 ? 4 x ? 3 的零点个数( C ). A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 不能确定 2.若函数 y ? ax ? 1 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是( B ). A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? 1 D. a ? 1 x 3.函数 f ( x) ? 2 ? 3 的零点所在区间为( C ) A. ( ? 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 4.方程 lgx+x=0 在下列的哪个区间内有实数解( B ). A. [-10,-0.1] B. [0.1,1] C. [1,10] D. (??,0] 5.函数 y ? f ( x) 的图象是在 R 上连续不断的曲线,且 f (1)?f (2) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在区间 [1, 2] 上( D ). A. 没有零点 B. 有 2 个零点 C. 零点个数偶数个 D. 零点个数为 k, k ? N ? 1 x ( ? 1) , ? 6 、 设 f ( x) ? ? ? x ? 1 ? 若 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 三 个 不 同 的 实 数 解 x1,x2,x3 , 则 ? 1 (x ? 1). ?
2 2 x12 ? x2 ? x3 等于( A



A.5

B. 2 ?

2 b2

C.13

D. 3 ?

1 c2

7、 f ( x) 是定义在 [?c, c] 上的奇函数,其图象如下图所示, 令 g ( x) ? af ( x) ? b ,则下列关于 g ( x) 的叙述正确的是( B A.若 a ? 0 ,则函数 g ( x) 的图象关于原点对 B.若 a ? ?1,?2 ? b ? 0 ,则方程 g ( x) =0 有大于 2 的实根 C.若 a ? 0, b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有两个实根 D.若 a ? 1, , b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有三个实根 8、已知 f ( x) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,那么在区间 [?1,3] 内,关于 x 的方程 )

f ( x) ? kx ? k ? 1 (其中 k 走为不等于 l 的实数)有四个不同的实根,则 k 的取值范围是(C )
A. (?1, 0) B. (? , 0)

1 2

C. (? , 0)

1 3

D. (? , 0)
3

1 4

9、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方程 f ( x) ? 0 在闭区 间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为( D ) A.0 B.1 C.3 D.5

10、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,其图象关于 x ? 1 对称且 f ? ? ? 0 ,则方程 f ?x ? ? 0 在 ? 0,5? 内 解的个数的最小值是 (D ) A. 4 B. 5 11、已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? 数解,则 m 的取值范围为( B A. ( )

?1? ?2?

C. 6

D. 7

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 ? 若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?

15 8 , ) 3 3
x ?1

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

12、方程 2

? x ? 5 的解所在的区间为( C )
C.(2,3) D.(3,4)

A.(0,1) B.(1,2) 13、函数的零点所在的区间是( B ) A

? 0,1?

B ?1, e ?

C

? e,3?

D

? 3, ?? ?

14、若方程 ln( x ? 1) ? A. ? 1 B.1

2 的根在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上,则 k 的值为( C ) x
D. ? 1 或 2

C. ? 1 或 1

15、设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) (D) 3
B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点?

A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点?

1 e

1 e

C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点? D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点? 16、设方程 2 A x1 x2 ? 0 17、已知 f ( x) ? ? A.0 B.1
2

1 e

1 e

?x

? lg x 的两个根为 x1 , x 2 ,则 (D )
B x1 x2 ? 1 C x1 x2 ? 1 D 0 ? x1 x2 ? 1 D )

31? x
2

( x ? 0),
C.2

x ? 4 x ? 3( x ? 0),

则方程 f(x)=2 的实数根的个数是( D.3

18 、已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a 在区间 ? ??,1? 上有最小值 , 则函数

f ? x? 在区间 ?1, ?? ? 上是 ( C) x
4

A.有两个零点

B.有一个零点

C.无零点

D.无法确定

19、已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)(x ? b)(a ? b), m, n 是 f ( x) 的零点,且 m ? n ,则实数 a、b、m、n 的大小关 系是( A ) A. m ? a ? b ? n B. a ? m ? n ? b C. a ? m ? b ? n D. m ? a ? n ? b

2 2 2 20、关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 其中假 命题的个数是( A ) A.0 B.1 C.2 D.3 . 21、条件 p : a ? ?2 ;条件 q :函数 f ( x) ? ax ? 3 在区间 ? ?1, 2? 上存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,则 ? p 是 q 的 (A ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 ) C.a≤1 D.0<a≤1 或 a<0

22、ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是( C A.0<a≤1
3

B.a<1

23、已知函数 y ? x ? ax( x ? R) 在(1,2)有一个零点则实数 a 的值范围是 (A ) A. 1 ? a ? 4 二、填空题 24.函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 6 的零点是
x

B. ?1 ? a ? 4

C. a ? 1 或 a ? 4

D. ?4 ? a ? 4

2或3

.

25、若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是_a>1___. 26、若函数 f(x)=e -2x-a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是_a>2-2ln2_ 27.函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x ? 1 零点的个数为 3 .
x

28、定义域和值域均为 ?? a, a? (常数 a ? 0 )的函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的图像如图所示,给出下列四个命题: (1)方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (2)方程 g ? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (4)方程 g ?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解。

(3)方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解; 那么,其中正确命题的个数是__(1)(4)___ 。 三、解答题 29.已知二次方程 (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ? 0 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 m 的取值范围. 解:设 f ( x) = (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ,则 f ( x) =0 的两个根分别属于(-1,0)和(1,2). 1 7 所以 f (?1) ? f (0) ? 0 ,即 (?2m ? 1) ?1 ? 0 , ∴ ? ?m? . f (2) ? f (0) ? 0 (10m ? 7) ?1 ? 0 2 10 30.已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点;

?

?

5

解: (1)

?

2( m ? 1) ? 0 ,解得 m ? 1 且 m ? ?1 . (4m) 2 ? 4 ? 2( m ? 1)(2m ? 1) ? 0

(2)如果函数两个零点在原点左右两侧,求实数 m 的取值范围. 1 2(m ? 1) ? 0 或 2(m ? 1) ? 0 . 解得 ?1 ? m ? . f (0) ? 2m ? 1 ? 0 f (0) ? 2m ? 1 ? 0 2

?

?

31、设关于 x 的函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? b(b ? R) , (1)若函数有零点,求实数 b 的取值范围; (2)当函数有零点时,讨论零点的个数,并求出函数的零点. 解: (1)原函数零点的问题等价于方程 4 x ? 2 x?1 ? b ? 0(b ? R) 化简方程为 b ? 4 ? 2
x x ?1



?当 ? 1 ? b ? 0时,2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
综合①、②,得 1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ; 2)当 b ? 0或b ? ?1 时,原方程有唯一解 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;3)当 b ? ?1 时,原方程无解。 32、已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求实数 a 的 取值范围。 解析 1:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解, a=0 时 , 不 符 合 题 意 , 所 以 a ≠ 0, 方 程 f(x)=0 在 [-1 , 1] 上 有 解 <=> f (?1) ? f (1) ? 0 或
?af (?1) ? 0 ?af (1) ? 0 ? ? ?3 ? 7 ?3 ? 7 或a?5 ? a ? 或 a≥1 ?? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ?1 ? a ? 5 或 a ? 2 2 ? ?? 1 ? [?1.1] ? ? a

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新疆奎屯
· 2007 ·

6

所以实数 a 的取值范围是 a ?

?3 ? 7 或 a≥1 2

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解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又 ∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解, ? (2 x2 ?1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解 ? 1]上有解,问题转化为求函数 y ? [1,5], y ? ?
7 t 1 2 x2 ? 1 在[-1, ? a 3 ? 2x

2 x2 ? 1 [-1,1]上的值域;设 t=3-2x,x∈[-1,1],则 2x ? 3 ? t ,t∈ 3 ? 2x

1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t
t2 ? 7 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, g '(t ) >0,此函数 t2

设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ?

2 g(t) 单 调 递 增 , ∴ y 的 取 值 范 围 是 [ 7 ? 3,1] , ∴ f ( x) ? 2ax =0 在 [-1 , 1] 上 有 解 ? ? 2 x? 3? a

1 ∈ a

[ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ?

3? 7 。 2

补充练习: 1、已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x—1),且 x∈[—1,1]时,f(x)=x ,则 y=f(x)与 y=log5x 的 图象的交点个数为 2、 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, 6) 内解的个数 的最小值是( )
2
2

A.2

B.3

C.4

D.5 )

3、函数 f ( x) ? mx ? x ? 1在 (0,1) 内恰有一个零点,则实数 m 的取值范围是(

A. (??, ?2]

B. (??, ?2)

C. [2, ??)

D. (2, ??)
).

4、函数 f ( x) ? 2 x ? 6 ? ln x 的零点一定位于下列哪个区间( A. (1, 2) B. (2,3) C. ? 3,4 ? ) D.

? 4,5?

5、在区间[3,5]上有零点的函数是 ( A. f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3

B. f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5

C. f ( x) ? 2 x ? 4

D. f ( x) ? ?

1 ?2 x

6、函数 f ( x) ? ( ) ? sin x 在区间[0, 2? ]上的零点个数为(
x

1 2

) D.4 个 ( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

7、设函数 f ( x ) ? ( x ? 2008)( x ? 2009) ? A.在定义域内无零点;

1 ,有 2010

) 、 (2009 ,??) 内; B.存在两个零点,且分别在 (??,2008

) 、 (2007,??) 内;D.存在两个零点,都在 (2008 ,2009) 内。 C.存在两个零点,且分别在 (??,?2007
8、已知 a 是使表达式 2 x ?1 ? 42 ? x 成立的最小整数,则方程 1? | 2x ?1 |? a x ?1 实数根的个数为( )
7

(A)0

(B)1
x

(C)2

(D)3

9、已知函数 f ? x ? ? e ?

1 x ? 3 ( e 为自然对数的底) ,下列判断中正确的是( 2



A.函数 f ?x ? 无零点;

B.函数 f ?x ? 有且只有一个零点,且该零点在区间 ? ,1? 内;

?1 ? ?2 ?

C.函数 f ?x ? 有两个零点,其中一个为正数,另一个为负数; D.函数 f ?x ? 有且只有一个零点,且该零点在区间 ?1,2? 内。 10、若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是( ) A. f ? x ? ? 4x ?1 B. f ? x ? ? ( x ?1)2
x

C. f ? x ? ? ex ?1

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

?1? 11、 已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x , 若实数 x? 是方程 f ? x ? ? 0 的解, 且 0 ? x1 ? x? , 则 f ? x1 ? 的值为( ) ? 3?
A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0
? 1 , ( x ? 2) ? 12、定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? x ? 2 ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 5 个不同的实 ?1, ( x ? 2) ?

数解 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,则 f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( A.

) D.

1 4

B.

1 8

C.

1 12

1 16

13、方程 2 x ? 4 ? ax ? b ? 0 恰 有两个不相等实根的充要条件是 14 、已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值

m ? 1(m ? 0) .设 f ( x ) ?

g ( x) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 15、设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 1,f( 1 )) (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0 , x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,
8

f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
补充练习答案解析:1、4 ;2、D; 3、D; 4、B;5、A ; 6、B;7、D ;8、C;9、B ;10、A;11、A;12、B; 13、
a ? ?2且b ? 4 ;14、 解: (1) 依题可设 g ( x) ? a( x ? 1)
2

则 g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ; ? m ? 1 ( a ? 0 ),



g? ? x ? 的 图 像 与 直 线 y ? 2 x 平 行

? 2a ? 2



a ?1

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2x ? m , f ? x ? ?

g ? x? m ? x? ?2 , x x
m 2 ) x0

2 2 设 P xo , yo ,则 | PQ | 2 ? x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? x0 ? ( x0 ?

?

?

2 ? 2 x0 ?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m 2 x0
2 0

m2 2 当且仅当 2 x ? 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 x0
当 m ? 0 时, ( 2 2 ? 2) m ? 当 m ? 0 时, (?2 2 ? 2)m ? (2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

2 2

解得 m ?

2 ?1

解得 m ? ? 2 ? 1

m ? 2 ? 0 ( x ? 0 ),得 ?1 ? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 x

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 , k ? 1?

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 , 函 数 y ? f ? x ? ? kx 有 两 个 零 点 x ? , 即 m 2(1 ? k )

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ; 若 m ? 0 ,k ? 1 ? , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? , m k ?1 2(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1
k ? 1? 1 , m

即x?

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,

函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 ? ?m k ?1
9

综上,当 k ? 1 时, 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ?

m ; 2

当 k ? 1?

1 1 ( m ? 0 ),或 k ? 1 ? ( m ? 0 )时, m m

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1

当 k ? 1?

1 1 ? ?m . 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? m k ?1

15、 【解析】解:当 m ? 1时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 3

所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1,f( 1 )) (2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,令 f ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
' 2 2 '

因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0

(1 ? m,??)
+

极小值

极大值

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 m ? m2 ? 3 3

函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ?

(3)解:由题设, f ( x) ? x(?

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

所以方程 ?

1 2 4 x ? x ? m 2 ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ,故 x1 ? x2 ? 3 ,且 ? ? 1 ? ( m 2 ? 1) ? 0 , 3 3

10

解得 m ? ?

1 1 3 (舍),m ? 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 2, 2

若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意

1 3

若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 则 f ( x) ?? ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 3

又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 0,于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成 立的充要条件是 f (1) ? m ?
2

1 1 3 3 3 ? 0 ,解得 ? 。 ,综上,m 的取值范围是 ( , ) ?m? 3 2 3 3 3

11


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