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指数与指数幂的运算教案


课题: 指数与指数幂的运算

第 课时

总序第 个教案

课型:新授课 教学目标:

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年 月

日 批注

1.知识与技能 理解 n 次

方根和根式的概念;理解有理数指数幂的意义,通过具体事例 了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;培养学生观察、分析、抽象等 认知能力。 2.过程与方法 通过师生共同讨论和探究的方法,使得学生参与到指数范围的扩充和完 善的过程中,从而领会类比、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法 的运用和提高分析解决问题的能力。 3.情感态度与价值观 体会数学模型与实际问题之间的关系,从而感受数学的应用价值; 让学生体验数学的简洁美和统一美。 让学生学会用联系的观点看待问题。
教学重点: 本节的教学重点是理解有理数指数幂的意义、掌握幂的运算. 教学难点:本节的教学难点是理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之

间的转化、理解无理数指数幂的意义。
教学用具:黑板 教学方法:根据本节课的特点,采用问题探究、引导发现和归纳概括相结

合的教学方法。
教学过程: (一)导入新课

1、引导学生回忆函数的概念,说明学习函数的必要性,引出实例。 2、以实例引入,让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究 分数指数幂的兴趣与欲望。 问题: 当生物体死亡后, 它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减, 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期” 。根据 此规律,人们想获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 的关系。

引导学生得出关系式:

? 1 ? 5730 P?? ? ?2?
总结关系式能解决实际问题,让学生体会数学的应用价值,同时指 出为了更好地解决实际问题必须进一步深入学习函数。 基于时间的连续性和死亡生物体碳 14 含量变化的连续性,说明引进

t

? 1 ? 5730 分数指数幂必要性,如 P ? ? ? 。不断提出新问题,打开心理缺口, ?2?
造成认知冲突,激起求知欲望,调动学生思维的活跃性。 (二)讲授新课 2.1.1 指数与指数幂的运算 1、根式 回忆平方根与立方根的定义,引入 n 次方根的定义,从已知到未知, 符合认知规律。

6000

n 次方根的定义:一般地,如果 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,
其中 n ? 1 且 n ? N * 。 以练习引入,加深对 n 次方根的概念的理解,分类讨论 n 次方根的 性质,同时提出根式的概念。 口头练习: (1) 4 的平方根, 16 的四次方根, ?4 的平方根。 (2) 8 的立方根, ?8 的立方根, ?32 的五次方根。 (3) 0 的七次方根, a 6 的立方根。 总结 n 次方根的性质: (1)当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根

是一个负数,这时 a 的 n 次方根用符号 n a 表示,如 5 ?32 ? ?2 。 (2)当 n 是偶数时,正数的 n 次方根是有两个,这两个数互为相反 数,这时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号
? n a 表示。正的 n 次方根和负的 n 次方根可以合并写成 ? n a (a ? 0) ,如 ? 4 16 ? ?2 。负数没有偶次方根。

(3) 0 的任何次方根都是 0 ,记作 n 0 ? 0 。 根式的定义:式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方 数。 以堂上练习和课本探究题引入,加深根式的概念理解,得到根式运 算的性质。 堂上练习: 1) 5 ?8)5 ( ( (2)3 ( ?8)3 (3) 10 2 (4) (?10) 2

( n a )n ? a 。提醒学生注意当 n 为大于 1 的偶数时, a ? 0 ;

当 n 为大于 1的奇数时, n a n ? a 。 当 n 为大于 1的偶数时, n a n ? a 。 引导学生完成教材的例 1,加深对根式运算的性质的理解。 例 1 (3) 4 (3 ? ? ) 4 2、分数指数幂 规定正数的正分数指数幂的意义,对比整数指数幂的意义,说明正 分数指数幂的意义不表示相同因式的乘积而是根式的一种新的写法。 正数的正分数指数幂的意义为: a ? n am (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) 回忆负整数指数幂的意义,引导学生结合正分数指数幂的意义自己 提出正数的负分数指数幂的意义。
m n

(4) (a ? b) 2 (a ? b)

正数的负分数指数幂的意义为: a

?

m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

说明 0 的正分数指数幂等于 0 , 0 的负分数指数幂没有意义。 引导学生解决导入新课时的实际问题。 指出规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到 了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指 数幂. 3、有理数指数幂的运算性质: (1) a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) (2) ? a r ? ? a rs (a ? 0, r , s ? Q )
s

(3) ? ab ? ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q )
r

引导学生口述有理数指数幂的运算性质,强化印象。 引导学生完成教材的例 2 、例 3 、例 4 、例 5 ,分析例题,让学生加 强对分数指数幂的意义及其运算性质的理解,同时掌握利用分数指数幂 来进行根式运算的思想和技巧。 例 2 求值
?1? ? 16 ? 8 ; 25 ; ? ? ; ? ? ?2? ? 81 ?
2 3 ? 1 2

?5

?

5 4

例 3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中 a ? 0 )
a3 ? a ; a 2 ? 3 a 2 ; a 3 a

例 4 计算下列各式(式中字母都是正数) : (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) 例 5 计算下列各式:
2 3 1 2 1 2 1 2 1 6 5 6

(2) (m n )

1 4

?

3 8 8

(1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 3、无理数指数幂

(2)

a2 a ? 3 a2

(a ? 0)

回顾数的认识过程,提出无理数指数幂。引导学生认真观察教科书 中的表格,感受用有理数指数幂逼近无理数指数幂过程,理解无理数指 数幂的意义。 指出一般地,无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运 算性质同样适用于无理数指数幂。指出指数的取值范围从整数扩充到实 数。 (三)归纳小结 通过小结,有利于优化学生的认知结构,加深课堂记忆,也更进一 步提高培养学生的归纳概括能力。 本课学习了 n 次方根和根式的概念。还知道了分数指数幂是根式的 另一种表示形式,两者是可以相互转化。还把指数的范围从整数扩充到 实数,并且整数指数幂的运算法则在实数范围内同样适用。在进行指数 幂的运算时,我们要学会将根式转化为分数指数幂,利用指数幂的运算 法则,简化运算以及提高运算的准确性。 (四)作业

教学后记:


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