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【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修二课后练习:空间中的垂直关系 二


学科:数学 专题:空间中的垂直关系
题1 判断下列命题的真假 (1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线,必垂直于另一个平面; (2)两个平面垂直,分别在两个平面内且互相垂直的两直线,一定分别与另一平面垂直. 题2 如果 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? a ,那么 a ? ? .

题3 如图所示,已知平面 ? ?

平面 ? = EF , A 为 ? 、 ? 外一点, AB ? ? 于 B , AC ? ? 于 C ,

CD ? ? 于 D .证明: BD ? EF .

题4 如图,直角 ?ABC 所在平面外有一点 S , SA ? SB ? SC ,且 D 为斜边 AC 的中点. 求证: SD ? 平面 ABC .

题5 题面:

如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , AB ∥ CD , BC ? CD , 侧 面 SAB 为 等 边 三 角 形. AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1 .证明: SD ? 平面SAB .
S

D

C

A

B

题6 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 2 ,点 E 在侧棱 AA1 上,点 F 在侧棱 BB1 上,且 AE ? 2 2, BF ? 2 .求证: CF ? C1E .

题7 一个多面体的直观图及三视图如图所示.(其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点). (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A—CDEF 的体积.

题8 四棱锥 P—ABCD 的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点. (1)求证:BE∥平面 PAD;(2)平面 EBD 能垂直于平面 ABCD 吗?为什么? 题9 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2. (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

题10 平面 ? 内有一半圆,直径 AB ,过 A 作 SA ? 平面 ? ,在半圆上任取一点 M ,连 SM 、 SB , 且 N 、 H 分别是 A 在 SM 、 SB 上的射影. (1)求证: NH ? SB ; (2)这个图形中有多少个线面垂直关系? (3)这个图形中有多少个直角三角形? (4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?

课后练习详解

题1 答案:错误,错误. 详解:(1)若该点在两个平面的交线上,则命题是错误的,如图,正方体 A1C 中,平面 AC ? 平 面 AD 1 ,平面 AC ? 平面 AD 1 ? AD ,在 AD 上取点 A ,连结 AB 1 ,则 AB 1 ? AD ,即过棱 上一点 A 的直线 AB 1 与棱垂直,但 AB 1 与平面 ABCD 不垂直,其错误的原因是 AB 1 没有保证 在平面 ADD 1A 1 内.可以看出:线在面内这一条件的重要性;

(2)该命题注意了直线在平面内,但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图,在正方体 A1C 中, 平面 AD 1 ? 平面 AC , AD 1 ? 平面 ADD 1A 1 , AB ? 平面 ABCD ,且 AB ? AD 1 ,即 AB 与

AD1 相互垂直,但 AD1 与平面 ABCD 不垂直.

题2 答案:见详解. 详解:证法一:如图所示,设 ? ? ? ? b , ? ? ? ? c , 过平面 ? 内一点 P 作 PA ? b 于 A ,作 PB ? c 于 B .

∵ ? ? ? ,∴ PA ? ? . 又 ? ? ? ? a ,∴ PA ? a ,同理可证 PB ? a . ∵ PA ? PB ? P 且 PA 、PB ? ? ,∴ a ? ? . 证法二:如图所示, 设 ? ? ? ? b ,在平面 ? 内作直线 l1 ? b .

∵ ? ? ? ,∴ l1 ? ? . 设 ? ? ? ? c ,在平面 ? 内作直线 l2 ? c .同理可证 l2 ? a ,因此 l1 // l2 . 由于 l1 ?

? , l2 ? ? ,∴ l2 // ? .

而 l2 ? ? , a ? ? ? ? ,∴ l2 // a . 故由 l2 // a 知, a ? ? . 题3 答案:见详解. 详解:∵ AB ? ? , CD ? ? ,∴ AB // CD .∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共面. ∵ AB ? ? , AC ? ? , ? ? ? ? EF ,∴ AB ? EF , AC ? EF . 又 AB ? AC ? A ,∴ EF ? 平面 ABCD .∴ EF ? BD . 题4 答案:见详解. 详解:∵ SA ? SC , D 为 AC 中点
? ∴ SD ? AC 即 ?SDA ? 90

又 SA ? SB ? SC , AD ? BD ? DC ∴ ?SDA ≌ ?SDB ≌ ?SDC
? ∴ ?SDA ? ?SDB ? ?SDC ? 90 .即 SD ? AC , SD ? DB , AC ? DB ? D

∴ SD ? 平面 ABC . 题5 答案:见详解. 详解:证明:取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2. 连结 SE,则 SE ? AB, SE ?
S

3 又 SD=1,故 ED 2 ? SE 2 ? SD 2

D F A E

H G B

C

所以 ?DSE 为直角.由 AB ? DE , AB ? SE , DE

SE ? E ,得

AB ? 平面SDE ,所以 AB ? SD .SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直.
所以 SD ? 平面SAB

题6 答案:见详解. 详解:由已知可得 CC1 ? 3 2, CE ? C1 F ?
2

22 ? 2 2

?

?

2

?2 3

EF 2 ? AB 2 ? ? AE ? BF ? , EF ? C1E ? 22 ?

? 2?

2

? 6

于是有 EF 2 ? C1E 2 ? C1F 2 , CE 2 ? C1E 2 ? C1C 2 所以 C1E ? FE, C1E ? CE ,又 FE ? CE ? E ,所以 C1E ? 平面 CEF ,则 CF ? C1E 题7 8 答案: (1)见详解; (2)3. 详解: 由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE—BCF, 且 AB=BC=BF=2, DE=CF=2 2,∠CBF=90° .

(1)取 BF 的中点 G,连结 MG、NG,由 M、N 分别为 AF、BC 中点,可得 NG∥CF,MG∥EF ?面 MNG∥面 CDEF?MN∥面 CDEF. (2)取 DE 中点为 H,连结 AH,因为 AD=AE?AH⊥DE. 在直三棱柱 ADE—BCF 中,平面 ADE⊥平面 CDEF, 面 ADE∩面 CDEF=DE?AH⊥平面 CDEF?多面体 A—CDEF 是以 AH 为高,以矩形 CDEF 为底面的棱锥,在△ADE 中,AH= 2, 1 8 S CDEF=DE· EF=4 2?棱锥 A—CDEF 的体积 V= S CDEF · AH= . 3 3 题8 答案:见详解. 详解:(1)如图所示,取 PD 的中点 F,

连接 EF,易证四边形 ABEF 是平行四边形, ∴BE∥AF. 又 BE?平面 PAD,AF?平面 PAD,∴BE∥平面 PAD. (2)平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD, 理由如下: 假设平面 EBD⊥底面 ABCD, 过 E 作 EO⊥BD 于 O,连接 AO,CO,由于 A,O,C 是 P,E,C 三点在平面 ABCD 上的射影,P,E,C 三 点均在直线 PC 上,故它们的射影也共线. ∵平面 EBD⊥平面 ABCD,EO?平面 EBD,EO⊥BD,BD=平面 EBD∩平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD,又 PA⊥平面 ABCD, ∴EO∥PA,而 E 为 PC 的中点, ∴O 为 AC 的中点,又由 AB∥CD, 可知△ABO∽△CDO,且相似比为 1∶1, ∴AB=CD,这与“四边形 ABCD 为梯形”矛盾, 故假设不成立,从而平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD. 题9 答案:见详解. 详解: (1)因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC.又因为 DE ? 平面 A1CB,所以 DE∥平 面 A1CB. (2) 由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F ? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE.所以 A1F⊥BE (3)线段 A1B 上存在点 Q, 使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:如图,

分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知 DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP,所以 A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. 题10 答案:(2) 4 个; (3)11 个; (4)11 对 详解:注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断.

(1)连 AM 、 BM .如图所示, ∵ AB 为已知圆的直径,∴ AM ? BM . ∵ SA ? 平面 ? , BM ? ? ,∴ SA ? MB . ∵ AM ? SA ? A ,∴ BM ? 平面 SAM . ∵ AN ? 平面 SAM ,∴ BM ? AN . ∵ AN ? SM 于 N , BM ? SM ? M ,∴ AN ? 平面 SMB .∴ AN ? SB ∵ AH ? SB 于 H ,∴ SB ? 平面 AHN ,∴ NH ? SB . (2):由(1)知, SA ? 平面 AMB , BM ? 平面 SAM , AN ? 平面 SMB . ∵ SB ? AH 且 SB ? HN ,∴ SB ? 平面 ANH , ∴图中共有 4 个线面垂直关系. (3)∵ SA ? 平面 AMB ,∴ ?SAB 、 ?SAM 均为直角三角形. ∵ BM ? 平面 SAM ,∴ ?BAM 、 ?BMS 均为直角三角形. ∵ AN ? 平面 SMB ,∴ ?ANS 、 ?ANM 、 ?ANH 均为直角三角形. ∵ SB ? 平面 ANH ,∴ ?SHA 、 ?BHA 、 ?SHN 、 ?BHN 均为直角三角形. 综上,图中共有 11 个直角三角形. (4)由 SA ? 平面 AMB 知, SA ? AM , SA ? AB , SA ? BM . 由 BM ? 平面 SAM 知, BM ? AM , BM ? SM , BM ? AN . 由 AN ? 平面 SMB 知, AN ? SM , AN ? SB , AN ? NH . 由 SB ? 平面 ANH 知, SB ? AH , SB ? HN . 综上,图中共有 11 对互相垂直的直线. 为了保证(2)(3)(4)答案不出错,首先应找准(2)的答案,由“线 ? 面”可得到“线 ? 面内线” , 当“线 ? 面内线”且相交时,可得到直角三角形;当“线 ? 面内线”且不相交时,可得到异 面且垂直的一对直线.


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