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【步步高】2016高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算学案 理 苏教版


第三章 学案 13

导数及其应用 导数的概念及运算

导学目标: 1.了解导数概念的实际背景,理解函数在一点处的导数的定义和导数的几 何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义,求函数 y=C (C 1 2 m 为常数),y=x,y=x ,y= ,y= x的导数.熟记基本初等函数的导数公式(c,x (m 为

/>
x

有理数),sin x,cos x,e ,a ,ln x,logax 的导数),能利用基本初等函数的导数公式及 导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b))的导 数.

x

x

自主梳理 1.函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为________________________. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 Δy = Δx ____________________无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在 x=x0 处可导,并称常数 A 为函 数 f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0). (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是过曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))的 ____________. (3)导数的物理意义: 函数 s=s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0), 是物体的运动方程 s=s(t) 在 t0 时刻的瞬时速度 v,即 v=__________;v=v(t)在点 t0 处的导数 v′(t0),是物体的运 动方程 v=v(t)在 t0 时刻的瞬时加速度 a,即 a=____________. 3.函数 f(x)的导函数 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内任一点都是可导的,就说 f(x)在开区间(a,b)内可 导,其导数也是开区间(a,b)内的函数,又称作 f(x)的导函数,记作 y′或 f′(x). 4.基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)=C(C 为常数) f′(x)=____ f(x)=xα (α 为常数) f′(x)=______ (α 为常数) f(x)=sin x f′(x)=________ f(x)=cos x f′(x)=________ x f(x)=a (a>0,a≠1) f′(x)=______(a>0,a≠1) x f(x)=e f′(x)=________ f(x)=logax f′(x)=__________ (a>0,a≠1,且 x>0) f(x)=ln x f′(x)=________ 5.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=____________; (2)[f(x)g(x)]′=________________; ?f?x??′=________________________ [g(x)≠0]. (3)? ? ?g?x?? 6. 复合函数的求导法则: 若 y=f(u), u=ax+b, 则 y′x=y′u·u′x, 即 y′x=y′u·a. 自我检测 设 f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若 Δ x 无限趋近于 0 时,比值
1

3 2 1.(2011·中山期末统一考试)已知物体的运动方程为 s=t + (t 是时间,s 是位移),

t

则物体在时刻 t=2 时的速度为________. 2 x 2.设 y=x ·e ,则 y′=______________. 1 3. 已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1, f(1))处的切线方程是 y= x+2, 则 f(1)+f′(1) 2 =________. x -x 4.(2010·临汾二模)若函数 f(x)=e +ae 的导函数是奇函数,并且曲线 y=f(x)的 3 一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标是________. 2 π π 5.(2009·湖北)已知函数 f(x)=f′( )cos x+sin x,则 f( )=________. 4 4

探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例 1 利用导数的定义求函数的导数: 1 (1)f(x)= 在 x=1 处的导数;

x

1 (2)f(x)= . x+2

变式迁移 1 求函数 y= x +1在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率,并求出其导函数.

2

探究点二 导数的运算 例 2 求下列函数的导数: 1? ln x ? (1)y=(1- x)?1+ ?;(2)y= ;

x? (3)y=xe ;(4)y=tan x.
x

?

x

变式迁移 2 求下列函数的导数: (1)y=x sin x;(2)y=3 e -2 +e;(3)y=
2

x x

x

ln x . x2+1

探究点三 求复合函数的导数 例 3 求下列函数的导数: 5 (1)y=(2x-3) ;

2

(2)y= 3-x; (3)y=ln(2x+5).

变式迁移 3 求下列函数的导数: 1 (1)y= 4; ?1-3x? π? ? (2)y=sin?2x+ ?; 3? ? (3)y=x 1+x .
2

探究点四 导数的几何意义 1 3 4 例 4 已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程.

变式迁移 4 求曲线 f(x)=x -3x +2x 过原点的切线方程.

3

2

1.准确理解曲线的切线,需注意的两个方面: (1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,若直线与曲线只有一个公共点,则 直线不一定是曲线的切线,同样,若直线是曲线的切线,则直线也可能与曲线有两个或两个 以上的公共点. 3 (2)曲线未必在其切线的“同侧”,如曲线 y=x 在其过(0,0)点的切线 y=0 的两侧. 2.曲线的切线的求法: 若已知曲线过点 P(x0,y0),求曲线过点 P 的切线则需分点 P(x0,y0)是切点和不是切点 两种情况求解. (1)点 P(x0,y0)是切点的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (2)当点 P(x0,y0)不是切点时可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标 P′(x1,f(x1)); 第二步:写出过 P′(x1,f(x1))的切线方程为 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1); 第三步:将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出 x1; 第四步:将 x1 的值代入方程 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点 P(x0,y0)的切线方程. 3.求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算, 再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,联 系基本初等函数求导公式,对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.

3

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1 3 1 2 f?1+Δ x?-f?1? 1. (2010·南通模拟)已知函数 f(x)= x - x +6x, 当 Δ x→0 时, 3 2 2Δ x →常数 A,则 A=________. 1 3 3 2 2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t - t +2t,那么速度 3 2 为零的时刻是__________. 4 3. 若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直, 则 l 的方程为______________. 4 4. (2010·辽宁改编)已知点 P 在曲线 y= x 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e +1 则 α 的取值范围是____________. 2 5.(2009·福建)若曲线 f(x)=ax +ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范 围是________. sinθ 3 3cosθ 2 ? 5π ? 6.(2009·安徽改编)设函数 f(x)= x+ x +tanθ ,其中 θ ∈?0, ?, 12 ? 3 2 ? 则导数 f′(1)的取值范围为______________. 7.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,那么 y=f(x),y=g(x)的图 象可能是________(填上正确的序号).

8.(2011·南京模拟)若点 P 是曲线 f(x)=x -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x -2 的最小距离为________. 二、解答题(共 42 分) 9.(12 分)求下列函数在 x=x0 处的导数. x x e e (1)f(x)= + ,x0=2; 1- x 1+ x

2

x-x3+x2ln x (2)f(x)= ,x0=1. x2

4

1 10.(14 分)求经过点 P(2,0)的曲线 y= 的切线方程.

x

11.(16 分)设函数 f(x)=ax+

1

x+b

(a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线

方程为 y=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:函数 y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为 定值,并求出此定值.

答案 自主梳理 f?x2?-f?x1? 1. x2-x1

2.(1)

f?x0+Δ x?-f?x0? Δx

(2) 切 线 的 斜 率

(3)s′(t0)

v′(t0) 4.0 α xα -1 cos x -sin x axln a ex
(2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 自我检测 13 2 x 1. 2.(2x+x )e 4 课堂活动区

1 1 5.(1)f′(x)±g′(x) xln a x f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (3) 2 [g?x?]

3.3 4.ln 2 5.1

Δy 例 1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式 中的分母 Δ x 这一因式约掉 Δx 才可能求出极限,所以目标就是分子中出现 Δ x,从而分子分母相约分. (2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”.“有理化”是处理根式问题常用的方 法,有时用“分母有理化”,有时用“分子有理化”. (3)用导数的定义求导的步骤为: Δy ①求函数的增量 Δ y;②求平均变化率 ;③化简取极限. Δx 1 -1 1+Δ x Δ y f?1+Δ x?-f?1? 解 (1) = = Δx Δx Δx 1- 1+Δ x 1-?1+Δ x? = Δ x 1+Δ x Δ x 1+Δ x?1+ 1+Δ x? -Δ x -1 = = , Δ x? 1+Δ x+1+Δ x? 1+Δ x+1+Δ x Δy 1 1 从而,当 Δ x→0 时, →- ,∴f′(1)=- . Δx 2 2 =

5

1 1 - Δ y f?x+Δ x?-f?x? x+2+Δ x x+2 (2) = = Δx Δx Δx ?x+2?-?x+2+Δ x? -1 = = , Δ x?x+2??x+2+Δ x? ?x+2??x+2+Δ x? Δy 1 从而,当 Δ x→0 时, →- 2, Δx ?x+2? 1 ∴f′(x)=- 2. ?x+2? 变式迁移 1 解 ∵Δ y= ?x0+Δ x? +1- x0+1 2 2 2 ?x0+Δ x? +1-x0-1 2x0Δ x+?Δ x? = = , 2 2 2 2 ?x0+Δ x? +1+ x0+1 ?x0+Δ x? +1+ x0+1 Δy 2x0+Δ x ∴ = . 2 2 Δx ?x0+Δ x? +1+ x0+1 Δy x x ∴Δ x→0 时, → 2 .∴y′= 2 . Δx x +1 x +1 例 2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其 复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧 扣求导法则,联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形. 1 1 ? 1? 1 ? 解 (1)∵y=(1- x)?1+ ?= - x= x 2 ? x 2 ,
2 2

?

x?

x

1 3 1 2 2 2 ?ln x?′=?ln x?′x-x′ln x (2)y′=? ? 2 ∴y′=( x

1 ? 2

x- )′-(x )′=- x- - x- . x

1 2

1 2

1 2

? x ?

1 =

x

·x-ln x 1-ln x = . 2 2

x

x

(3)y′=x′e +x(e )′=e +xe =e (x+1). ?sin x?′=?sin x?′cos x-sin x?cos x?′ (4)y′=? ? 2 cos x ?cos x? cos xcos x-sin x?-sin x? 1 = = 2 . 2 cos x cos x 2 2 2 变式迁移 2 解 (1)y′=(x )′sin x+x (sin x)′=2xsin x+x cos x. x x x x x x x x (2)y′=(3 e )′-(2 )′+(e)′=(3 )′e +3 (e )′-(2 )′ x x x x x x x =3 ln 3·e +3 e -2 ln 2=(ln 3+1)(3e) -2 ln 2. 2 2 ?ln x?′?x +1?-ln x?x +1?′ (3)y′= 2 2 ?x +1? 1 2 ?x +1?-ln x·2x 2 x x +1-2x2ln x = = . 2 2 ?x +1? x?x2+1?2 例 3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为: 选定中间变量 → 分解复合关系 → 分层求导 (2)由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键 是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函 数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程. 5 5 解 (1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3) 由 y=u 与 u=2x-3 复合而成. 4 4 4 ∴y′=y′u·u′x=5u ·2=10u =10(2x-3) .
6

x

x

x

x

x

1 (2)设 u=3-x,则 y= 3-x由 y=u 与 u=3-x 复合而成. 2 1 1 1 1 1 ∴y′=y′u·u′x= u- (-1)=- u- =- . 2 2 2 2 2 3-x (3)设 u=2x+5,则 y=ln(2x+5) 由 y=ln u 与 u=2x+5 复合而成. 1 2 2 ∴y′=y′u·u′x= ·2= = . u u 2x+5 -4 变式迁移 3 解 (1)设 u=1-3x,y=u . 12 -5 则 y′=yu′·ux′=-4u ·(-3)= 5. ?1-3x? π (2)设 u=2x+ ,则 y=sin u, 3 π ∴y′=y′u·u′x=cos u·2=2cos(2x+ ). 3 (3)y′=(x 1+x )′=x′· 1+x +x( 1+x )′ 2 x2 1+2x 2 = 1+x + = . 2 2 1+x 1+x 例 4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的 差异;过点 P 的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切 线,必以点 P 为切点. (2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率,只要求函数在该点处的导数即可. (3)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标来解决. 2 解 (1)∵y′=x ,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 3 4 ? (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0, x0+ ?,则切线的斜率 k= 3 3? 3 3 ? 2 x0. ?1 3 4? 2 ∴切线方程为 y-? x0+ ?=x0(x-x0), 3? ?3 2 4 2 3 即 y=x0x- x0+ .∵点 P(2,4)在切线上, 3 3 2 3 4 2 ∴4=2x0- x0+ , 3 3 3 2 3 2 2 即 x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 2 ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 2 ∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0),则 2 切线的斜率为 k=x0=1,解得 x0=±1, ? 5? 故切点为?1, ?,(-1,1). ? 3? 5 故所求切线方程为 y- =x-1 和 y-1=x+1, 3 即 3x-3y+2=0 和 x-y+2=0. 2 变式迁移 4 解 f′(x)=3x -6x+2.设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k=f′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为 y=2x. 3 2 2 (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有 y0=x0-3x0+2x0,k=f′(x0)=3x0-
7
2 2 2

6x0+2,① 又 k= =x0-3x0+2,② 3 1 由①②得 x0= ,k=- . 2 4 1 ∴所求曲线的切线方程为 y=- x. 4 3 2 综上,曲线 f(x)=x -3x +2x 过原点的切线方程为 1 y=2x 或 y=- x. 4 课后练习区 ? 3π ? 1.3 2.1 秒或 2 秒末 3.4x-y-3=0 4.? ,π ? ? 4 ? 5.a<0 解析 1 由题意可知该函数的定义域为{x|x>0},且 f′(x)=2ax+ .因为曲线存在垂直

y0 x0

2

x

1 于 y 轴的切线, 故此时斜率为 0, 问题转化为 x>0 范围内导函数 f′(x)=2ax+ 存在零点. 令

x

1 1 2 2 2 2ax+ =0,即 2ax +1=0,即 x =- ,显然只有 a<0,方程 2ax +1=0 才有正实数根, x 2a 故实数 a 的取值范围是 a<0. 6.[ 2,2] 2 解析 ∵f′(x)=sin θ ·x + 3cos θ ·x, π? ? ∴f′(1)=sin θ + 3cos θ =2sin?θ + ?, 3? ? 5 π π 3π ? ? π 又 θ ∈?0, ?.∴ ≤θ + ≤ , 12 ? 3 3 4 ? π? 2 ? ≤sin?θ + ?≤1,∴ 2≤f′(1)≤2. 3? 2 ? 7.④ 解析 由导函数 y=f′(x)的图象可知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y =f(x)的图象上任意一点切线的斜率为单调递减,故可排除①、③. 又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)在点 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象 在 x=x0 处的切线斜率相同,故可排除②. 8. 2 2 解析 过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 f(x)=x -ln x 相切. 1 2 设 P(x0,x0-ln x0),则有 k=f′(x0)=2x0- . ∴

x0

1 |1-1-2| ∴2x0- =1,∴x0=1 或 x0=- (舍去),∴P 点坐标为(1,1),∴d= = 2, x0 2 1+1 即最小距离为 2. 9.解 (1)∵f′(x)=? =

1

? 2e ?′=?2e ?′?1-x?-2e ?1-x?′ ? 2 ?1-x? ?1-x?
x

x

x

x

2?2-x?e , ∴f′(2) 2 ?1-x? 0.?????????????????????????(6 分) 3 (2)∵f′(x)=(x- )′-x′+(ln x)′ 2



8

3 5 1 3 =- x- -1+ , ∴f′(1)=- .?????????????????????(12 2 2 x 2 分) 1 10.解 设切点为 M(x0,y0)(x0≠0),则 y0= .

x0

∵切线过 P(2,0), y0-0 1 ∴切线斜率为 = .?????????????????????? x0-2 x0?x0-2? (4 分) 1 1 1 又 y′=( )′=- 2, ∴k=- 2.??????????????????????(6

x

x

x0

分) 1 由导数的几何意义知- 2= 分) 1 ∴y0= =1,∴M(1,1).∴切线斜率为 k=-1, 1

x0 x0?x0-2?

.

解得 x0=1.?????????????????????????????? (10

x0

故切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.???????????????(14 分) 1 11. (1)解 f′(x)=a- ?????????????????????? 2, ?x+b? (2 分) 1 2a+ ? ? 2+b=3, 于是? 1 a- ? ? ?2+b? =0.
2

解得?

?a=1, ? ? ?b=-1,

9 a= , ? ? 4 或? 8 b=- . ? ? 3

因为 a, b∈Z, 故 f(x)=x+ 分)

1

x-1

.??????????????????????(6

1 (2)证明 已知函数 y1=x,y2= 都是奇函数,

x

1 所以函数 g(x)=x+ 也是奇函数, 其图象是以原点为中心的中心对称图形. 而 f(x)=x

x

1 -1+ +1. x-1 可知,函数 g(x)的图象按向量 a=(1,1)平移,即得到函数 f(x)的图象, 故函数 f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.???????????? (10 分) 1 ? ? (3)证明 在曲线上任取一点?x0,x0+ , x0-1? ? ? 1 由 f′(x0)=1- 2知,过此点的切线方程为 ?x0-1? 1 x2 0-x0+1 ? ? y- = ? 1- 2? (x - x0) .??????????????????? x0-1 ? ?x0-1? ? (12 分) x0+1 令 x=1,得 y= , x0-1

9

切线与直线 x=1 的交点为?1,

? ?

x0+1? ; x0-1? ?

令 y=x,得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1); 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为 1?x0+1 ? 1 2 ? -1?|2x0-1-1|= ? ? ? ?|2x0-2|=2. 2?x0-1 ? 2?x0-1? 所以,所围三角形的面积为定值 2.????????????????????(16 分

10


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