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湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案 第二讲 运动和力(含学生版和教师版)


湖南省岳阳县第一中学 2014 年物理奥赛教案
第二讲 运动和力

知识要点:参照系。质点运动的位移和路程,速度,加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和 分解。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。 牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。 一、参考系 参考系:

研究物体运动时,选定不动的物体叫参考系。 【例 1】某人划船逆流而上,当船经过一桥时,船上一小木块掉在河水里。但一直航行至上游某处时 此人才发现,便立即返航追赶。当他返航经过一小时追上这小木块时,发现小木块距桥有 6000 米远。若 此人向上航行和向下航行时的划力一样,问河水流速是多少? 分析:

小结: 二、运动的合成与分解(速度的合成与分解) 1、运动的合成与分解 例如工厂车间里的天车吊运重物时,物体相对于横梁上的小车有竖直向上的位移 S 物车,同时小车相对 于横梁有一水平方向的位移 S 车梁, 则物体相对于横梁的合成位移 S 物梁为 S 物车 S 物梁 S 物梁=S 物车+S 车梁 在这里合位移与分位移包含有变换参考系的作用。 2、速度的合成与分解 相对速度 S 车梁 当船相对于水有划行速度 v 船水, 水相对于岸有流速 v 水岸时, 则 船相对于岸的 速度 v 船岸(即岸上的观察者所观察到的船的实际运动速度)是两个分速度的矢量和,这可表示为 v 船岸=v 船水+v 水岸 其中,岸叫做不动参考系,水叫做运动参考系,v 船水叫做相对速度,v 水岸时叫做牵连速度,v 船岸是船相 对于“不动”参考的速度,叫做绝对速度。因此,“绝对”速度等于牵连速度和相对速度之矢量和。 根据运动的相对性可知 v 船水=-v 水船,因此,当已知水对岸速度 v 水岸和船对岸的速度 v 船岸时,求船对水 的速度 v 船水时,则有 v 船水=v 船岸-v 水岸 3、加速度合成与分解 an a 与上面水的速度合成与分解一样, 加速度也可合成与分解, 公式如下: a=a1+a2 例如,单摆作摆动时,即有切向加速度 a?也有径向加速度 an,则摆球 a= a?+an 写成大小表达式为:a= a? ? a n
2 2

a?

的合加速度为

【例 2】在平直的轨道上火车 A 以速度 v1 向前匀速行驶,司机忽然发现在前方同一轨道上距 A 为 S 远处有另一辆火车 B 正沿相同的方向以较小的速度 v2 做匀速运动(v1>v2),于是他立即使车做匀减速运动, 加速度大小为 a,要使两车不致相撞,则 a 应满足什么条件? 分析:

【例 3】如图所示,一辆汽车以速度 v1 在雨中行驶,雨滴落下的速 方向偏前?角,求车后的一捆行李不会被雨淋湿的条件。 解析:

行李

度为 v2 与竖直

L v1-v2sin? 答案: ≥ H v2cos? 【例 4】骑自行车的人以 4m/s 的速度向东行驶,感觉风从正南吹来,当车速为 6m/s 时,感觉风从东 南吹来。求风速(风相对于地的速度) 分析:设风相对人的速度为 v 风对人,人对地的速 度为 v 人对地, 风对地的绝对速度为 v 风对地,则 D B C v 风对地 第一次:v 风对地=v 风对人+v 人对地 第二次:v'风对地=v'风对人+v'人对地 根据上式,画出平等四边形如图所示,则有: v 风对地= v人对地 ? (v'人对地 -v 人对地 )
2 2

v'人对地

v 风对人 v'人对地 v 人对地 A A'

= 4 2 ? (6 ? 4) 2 ? 2 5 ? 5.4m / s 由矢量图可知,AA'=AC,这就是第一次风相对于人的速度大小,则 v 风对人=v'人对地-v 人对地=6-4=2m/s,方向向北。 设 v 风对地的方向与东西方向夹角为?,则有: tan?=v 风对人/v 人对地=2/4=0.5 ?=arctan0.5?26.6? 【例 5】如图所示,直杆 1、2 交角为?,交点为 A,若两杆各 的速度 v1、v2 沿着纸平面运动,则交点 A 的运动速度大小为多少? 解析: ? v2 v1 公路上有一汽车 L=200m 的 A 处 时,能与车相遇, 以垂直于自身

2

1

C 【例 6】一人站在离平直公路距离为 d=50m 的 B 处, ? 以 v1=10m/s 的速度行驶,如图所示,当汽车在与人相距 A d 时,人立即以速度 v2=3m/s 奔跑。为了使人跑到到公路上 问: B (1)人奔跑的方向与 AB 连线的夹角?为多少? (2)经多长时间人赶上汽车? (3)若其它条件不变,人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇,最小速度多少? 解析:

【例 7】大海里人游泳速度为 v,陆地上人跑步的速度为 v',设某地海岸线是直线,有一个厕所在陆地 上离海岸线距离为 L,在距离海岸线 L'的海域有一个人要去所里有急事,人与厕所的连线与海岸线夹角为 ?,求人要到达所里,最快多久。 解析:

三、抛体运动(斜抛运动) 运动特点:a=g,方向铅垂向下。在水平轴为 x,竖直轴为 y 的坐标系中,设 v0 与 x 轴成?,水平分量 vx,竖直分量为 vy,由有 vx=v0cos? vy=v0sin?-gt 运动规律为: x=x0+v0tcos? 1 y=y0+v0tsin?- gt2 2 平抛运动:?=0;上抛运动:?=90?;下抛运动:?=-90?;斜抛运动:?为任意值。 斜抛运动的解题方法通常是分解运动。 【例 8】树上有一只猴子,远处一个猎人持枪瞄准了猴子,当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即 落下,不考虑空气阻力,已知猴子开始离枪口的水平距离为 S,竖直高度为 h,试求当子弹初速度满足什 么条件时,子弹总能击中猴子。 解析:

【例 9】以 v0=10m/s 的初速率自楼顶平抛一小球,若不计空气阻力,当小球沿曲线运动的法向加速度 大小为 5m/s2 时,求小球下降的高度及所在处轨迹的曲率半径。 解析:

【例 10】一水枪需要把水喷射到离喷口的水平距离为 d=3m 的墙外,从喷口算起,墙高为 4.0m,不计 空气阻力,g=10m/s2,试求所需的最小喷射初速率 v0 和对应的喷射仰角?。 解析:

【例 11】如图所示,从 A 点以 v0 的初速度抛出一个小球,在 离为 s 处有一堵墙 BC,墙高为 h,要求小球能越过 B 点,问小球 抛出,才能使 v0 最小? A 解析:

V0

B h C

离 A 点水平距 以怎样的角度

S

四、圆周运动 圆周运动一般可以用它的运动轨迹半径 R 和运动的线速度 v(或角速度?)来描述。 v(或?)的大小不变的 圆周运动称为匀速圆周运动,否则称为变速圆周运动。匀速圆周运动并不是一种匀速运动,因为它的速度 方向一直不变;也不是一种匀变速运动,因为它的加速度的方向 时刻 在变。圆 周运动的向心加速度为 v y vy 2 v 2 an= =? R=v? R vx x ?tR 圆周运动也可以分解为两个互相垂直方向上的分运动,如图 所示 。一个质 0 点在 t=0 时刻从 x 正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动, 在 x 方向上有: x=Rcos?t vx=-vsin?t=-?Rsin?t ax=-acos?t=-?2Rcos?t 在 y 方向上,有 y=Rsin?t=Rcos(?t-π/2) vy=vcos?t=-?Rsin(?t-π/2) ay=-asin?t=-?2Rcos(?t-π/2) 从 x 和 y 方向上的位移、速度和加速度由时间 t 表达的参数方程可以看出:匀速圆周运动可以分为两 个互相垂直方向上的简谐运动,它们的相位差为?/2。 在数学中,只要知道一条曲线的方程,便可以求出曲线上任一点的曲率半径。对一些在物理学中常见 的曲线,也可以用一些特殊的方法求它们的曲率半径。 x2 x2 【例 12】已知椭圆曲线方程为 2 + 2 =1,求其两顶点处的曲率半径。 A B 解析:

【例 13】xOy 平面上有一个圆心在坐标原点、半径为 R 的圆, 根细杆,如图所示。从 t=0 时开始,细杆以速度 v0 朝 x 轴正方向匀速 杆与第一象限的圆的交点的向心加速度与时间 t 的关系式。 解析: O

y v0t ?

v0 v x

在 y 轴上放一 运动,试求细

五、刚体的平动和绕定轴的转动 1、平动 平动:刚体运动时,刚体上任一直线始终与其初始位置平行。 定理:平动刚体上各点的运动轨迹形状相同,速度、加速度相等。 2、定轴转动 (1)角位移、角速度与角加速度 角位移:?=?(t) 角速度:?= lim

?? ? ?0 ?t

角加速度:?= lim
? ?0

?? ?t

(2)刚体上各点的速度和加速度 定由转动的刚体上的点都与定轴距离保持不变,因此,刚体上的点均在过该点且垂直于定轴的平面内 作圆周运动。 路程为 S=R? 速度为 v=R? 向心加速度为:an=v2/R=R?2 切向加速度为:a?=R? 当?=常数时,刚体匀加速转动,类似匀加速直线运动,有 ?=?0+?t 1 ?=?0+?0t+ ?t2 2 ?2=?02+2?(?-?0) 3、刚体上点的相对运动 (1)同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 【例 14】如图所示,某人以常速率 v 拉动绳的一端,绳的另一端 A 系着一只小船,已知人离水面高 度为 h,试求当绳与水面成倾角?=30?时,小船的速度和 加速度。 解析: V ?

【例 15】质量均为 m 的两个小球,固定在长度为 L 的轻杆两端,开始杆直立在光滑的水平地板上, 靠着竖直的光滑墙,如图所示,杆无初速度滑下,求当杆与水平 面成 ? 角时, 两球的速度。 解析: ?

【例 16】如图所示,一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向 为 a 的匀加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆,此杆只能 运动。当半圆柱体的速度为 v 时,杆与半圆柱体接触点 P 与柱 竖直方向的夹角为?,求此时竖直杆运动的速度和加速度。 解析:

R ? O

P

a

向右做加速 沿竖直方向 心的连线与

【例 17】如图所示,在直角墙角,立方块和三角块相互接触,若 速度和加速度为 V 和 a,试求立方块中心 C 的速度和加速度。

v

a vcc'

已知三角块的

? vc'

vc

解析:

【例 18】如图所示,B 是质量为 mB、半径为 R 的光滑半 光滑的水平桌面上.A 是质量为 mA 的细长直杆,被固定的光 在竖直方向, A 可自由上下运动. 碗和杆的质量关系为: mB = A 杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如 静止开始释放 A, A、 B 便开始运动. 设 A 杆的位置用??表示, 心??至 A 杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的 B 速度的大小(表示成??的函数).?????年第二十一届全国 赛初赛试题? 解析:

A

C O R

??
B

球形碗,放在 滑套管 C 约束 2mA. 初始时, 图).然后从 ?? 为碗面的球 夹角. 求A与 中学生物理竞

六、质点运动定律 1、惯性系与非惯性系 惯性系:牛顿运动定律适应的参考系,叫惯性系。一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性 系。实验证明,以太阳中心为原点,指向任一恒星的直线为坐标所构成的日心系是至今最精确的惯性系。 地球相对于日心系有公转和自转,严格地说不是惯性系,但这种加速度很小,在一定精度范围内,地球仍 视为惯性系。由此,相对地面静止或匀速直线运动物体上的参考系也可视为惯性系。 非惯性系:牛顿运动定律不适应的参考系,叫非惯性系。一切相对于面旋转或加速运动的参考系都是 非惯性系。在非惯性系中,牛顿第一、第二定律不再成立,需要引入惯性力,对定律的形式加以修正。 2、牛顿运动定律 定律一:若质点不受外力作用,则保持静止或匀速直线运动状态。 定律表明:任何物体相对于惯性系,都具有保持速度不变的惯性,而外力是改变物体速度的原因。 定律二:质点的加速度与其所受合外力成正比,与其质量成反比,即?F=ma 该定律适用于惯性参考系,并具有: 矢量性:合外力方向与加速度方面一致; 瞬时性:矢量关系在任意瞬时都成立; 独立性:各个方向的分量式(或投影式)都成立。 定律三: 两个物体之间的作用力与反作用力, 总是等值、 反向、 共线。 【例 19】如图所示,质点沿曲线运动,图示瞬时所受合外力沿 轨迹切线方 F M 向,试求此时质点的速度。

解析:由定律二的矢量性和瞬时性可知,此瞬时质点加速度方向与 F 相同,也沿切线方向,法向加速 度 an=0,即 v2/ρ=0,故此时 v=0。

【例 20】如图所示,一细绳跨过装在天花板上的滑轮,绳的一端吊一质量 另一端挂一载人梯子,人质量为 m,系统处于平衡状态,不计摩擦及滑轮与绳 天花板受力为零,试求人应如何运动? 解析:

为 M 的物体, 的质量,要使

3、质心与质心运动 质心:质点系的质量分布的平均位置。 质心的位置:如图所示,各质点的质量为 mi(i=1,2,3,?n),各质点的位置矢量为 ri,M=?mi,则有 ?miri rC= M 将上式向 x、y、z 坐标分别投影,得质心 C 的坐标位置为: ?mixi ?miyi ?mizi xC = ,yC= ,zC= M M M 【例 21】如图所示,质量为 mA、mB、mC 的三个质点位于连长 形顶点处,试确定质心 O 的位置。 解析: B a A a O a C 为 a 的等边三角

【例 22】质量分别为 M 与 m 的两个物体,用一极轻的绳连接起来,挂在一固定的极轻的滑轮上,如 图所示,起始时,每重物的重心与通过滑轮的 x 轴之间的距离分别等于 L1 和 L2,假定 M>m,求重物系统 质心的运动方程式。 解析:通常当物体的体积不太大时重心和质心重合,本题中质心 的运动只沿竖 直方向,因此不必求水平方向的坐标,由牛顿第二定律得 x Mg-T=Ma, T-mg=ma L2 M-m L1 得:a= g m M+m 经时间 t 后,满足 1 1 y1-L1= at2 ,y2-L2=- at2 2 2 代入质心公式可得系统质心的运动方程为 My1+my2 mL2+ML1 M-m 2 gt2 y0= = +( )× M+m M+m M+m 2 4、质心速度 【例 23】两个质量相同的小球,带有相等的电荷,处于同一条竖直线上,距地面高度分别为 h1 和 h2。 当他们以相同的水平速度抛出,在第一个小球落地时在水平方向经过距离 L 时,第二个球这时距地的高度 H2 为多少?设空气阻力、地表面的感应电荷可略。 解析: M y

【例 24】有两个质量为 m1、m2 的相同小球,每个球的电量为 Q,在开始时,两个小球相远离,m1 以 初速度 v 向另一个小球运动,而另一个小球速度为零,作用在小球上唯一的力是静电力,求两个小球能接 Q2 近的最小距离。已知两球相互作用势能:U=k d 解析:

5、质心加速度 【例 25】如图所示车厢 B 底面放置一物体 A,已知它们 mA=20kg,mB=30kg,在力 F=120N 作用下,B 由静止开始, 不计地面摩擦,求 A 在 B 内移动的距离。 解析:

B

A

F

的 质 量 为 2 秒内移动 5m,

6、质心守恒 若系统的合外力为零,且质心的初速度为零,则质心加速 不变,叫质心守恒。 可知,若质心在某个方向上合外力为零,且这个方向上初 质心在这个方向上没有位移。 【例 26】如图所示,等腰直角三角形的均匀质板△ABC, AB=12cm,使 AB 铅垂方向静立于光滑水平面上,若三角块保 内滑倒,试求直角边 BC 中点 M 的运动轨迹方程。 解析:由于在水平方向受力为零,则系统质点在水平没有 如图所示建立直角坐标系, y 轴过 O 点, 任意位置坐标有: x=OMcos?, y=AMsin? y2 x2 ? ?1 故有: 2 OM AM 2 即:
x2 y2 ? ?1 10 90

度为零,位置 B 速度为零,则 C A y B
M O

已知斜边长为 持在铅垂平面 位移。

C

A

7、联接体 两个或两个以上物体在某一种力(一般是弹力或摩擦力)作用下一起运动,叫联接体。解联接体的问题 一般要用隔离法,即把某一个物体隔离出来进行分析。有时联接体中的各个物体具有不同的加速度,必须 确定它们的加速度之间的关系。 【例 27】如图所示的装置,细绳不可伸长,三个物体的加速 度方向如图所 示,那么它们的加速度 a1、a2、a3 之间有什么关系。 解析: a1 m1 a2 m2

a3

m3

【例 28】质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结, 角??=30°的光滑斜面顶端的轻滑轮, 滑轮与转轴之间的摩擦 在水平桌面上,如图所示.第一次,m1 悬空,m2 放在斜面上, 斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间. 第二次, 将 换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜面底端由静止 面顶端所需的时间为 t 3 .求 m1 与 m2 之比.(2004 年第 21 届 解析:

N
?

T

T

mg

m1g

绳跨过位于倾 不计, 斜面固定 用 t 表示 m2 自 m1 和 m2 位置互 开始运动至斜 预赛试题)

8、曲线运动的向心力 (1)圆周运动 在匀速圆周运动中,物体受合外力等于它所需要的向心力。而在变速圆周运动中,一般要将合外力分 解成法向分力和切向分力。 如图所示,一个小球在半径为 R 的光滑柱形圆筒内做圆周运动, 在圆筒底部 B C D 时小球的速度为 v0,讨论小球的运动情况。 容易求得,小球要做完整圆周运动的速度必须满足条件: A O v0

在最高点必须满足:v0≥ gR 在最低点必须满足:v0≥ 5gR 讨论: 如果 2gR ≤v0≤ 5gR ,则小球将在 A、C 间的某点离开圆周。 (2)一般曲线运动 所有做曲线运动的物体 m 都需要向心力 F=mv2/R 式中 v 是物体的速度,R 是曲线的曲率半径。 如图所示,一个质量为 m 的小球沿着抛物线 y=Ax2 型的轨道从 h 开始滑下,试求小球到达轨道底部时对轨道的压力。小球到达底部时 v= 2gh 又抛物线在在底部时的曲率半径为 R=1/2A 小球在底部时受到两个力:重力 mg 和轨道的弹力 N,因此, v2 N-mg=m R

N

米高处由静止 的速度为 h

mg

N=mg(1+2h/R)=mg(1+4Ah) 【例 29】如图所示,用细杆把质量为 M 的圆环固定起来,圆环顶部套有两个质量均为 m 的小环,大 小环之间无摩擦。若两个小环同时由静止开始下滑,那么: (1)试证明当 m 大于某一值时,大环会有上升的趋势; N (2)说明 m 的值不同时,大圆环的运动趋势情况。 ? ? 解析:
mg

9、质点系牛顿第二定律 对一个质点系而言,同样可以应用牛顿第二定律。 如果这个质点系在任意的 x 方向上受的合外力为 Fx, 质点系中的 n 个物体(质量分别为 m1、 m2、 m3、 ??、 mn)在 x 方向上的加速度分别为 a1x、a2x、??、anx,那么有 Fx=m1a1x+m2a2x++mnanx 这就是质点系牛顿第二定律。 【例 30】如图所示,质量为 M 的长木板放在光滑的斜面上,斜面倾角为?,要木板静止在斜面上,则 木板上的质量为 m 的人应以多大的加速度运动?向哪里运动? 讨论:若要木板以加速 a 沿斜面向上运动呢?

10、天体运动 天体运动的轨道一般是圆或椭圆,它做曲线运动的向心力是靠万有引力提供的,万有引力定律只适用 于两个质点之间的相互作用,但因为天体本身的大小与它们之间的距离比较起来很小,因此可以把它们当 成质点来处理。

当一颗质量为 m 的行星以速度 v 绕着质量为 M 的恒星做半径为 R 的圆周运动时,如果以无穷远作为 零势能,则它的动能 Ek 和势能 Ep 分别为 1 Mm Ek= mv2 , Ep=-G 2 R Mm v2 M 又因为有:G 2 =m 得:v2=G R R R 行星的总能量为 GMm E=Ek+Ep=2R 由以上推导可见,卫星飞得越高,其速度越慢,但是它的总能量却总越大,这是发射卫星比较困难的 原因之一。 天体运动遵循开普勒三定律: 开普勒第一定律:所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳在这些椭圆的一个焦点 上。 开普勒第二定律:太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律:所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。 【例 31】半径为 R、质量为 M 的均匀铅球内挖去一个直 径为 R 的球形 M 空腔,空腔与表面相切,在两球心连线的处长线上距铅球中心 m 为 d 处,另有 R 一质量为 m 的小球,如图所示,试求挖有空腔的铅球对小球 的万有引力。 解析: d

【例 32】世界上第一颗人造卫星的长轴比第二颗卫星短 8000km,第一颗卫星开始绕地球运转的周期 为 96.2min,试求: (1)第一颗人造卫星轨道的长轴。 (2)第二颗人造卫星绕地球运转时的周期。已知地球质量为 M=5.98?1024kg。 解析:

【例 33】太空站的质量为 M,与它连接在一起的人造卫星的质量为 m,它们沿圆轨道绕地球运动, 轨道半径是地球半径 R 的 n 倍,地球质量为 M',在某一瞬间人造卫星与太空站脱离,卫星发动机立即点 火,短暂喷射后卫星获得较大的速度,沿其原来运动方向进入椭圆轨道,如果当人造卫星绕地球一周时, Mm 刚好能在原处与已绕行 N 周的太空站对接,那么卫星点火后获得的速度应多大?(引力势能 EP=-G ) r 解析:

【例 34】假如有一颗恒星,质量为 M,有一颗质量为 m 的行星围绕着恒星做半径为 r0 的匀速圆周运 动。突然,恒星的质量减小了 1/n,试描述此后行星的运动情况。 解析:

【例 35】经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究, 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成,其中每个星体 的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他天体很远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是 M,两者相距 L,它们 正围绕连线的中点作圆周运动。(第 11 届复赛试题) (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计。 (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观,且 T 观:T 计=1: N (N>1),为了解释 T 观和 T 计的不同,目前 有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型,我们假定 在这两个星体连为直径的球体均匀分布着这种暗物质,而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上 述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。 解析:

11、惯性力 牛顿运动定律只在一类特殊的参照系中成立,简称惯性系。实验证明,地面已经是一个相当接近惯性 系的参照系。一般情况下,相对地面静止的或是匀速直线运动的参照系都可以看作惯性系。牛顿运动定律 不成立的参照系叫做非惯性系,非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。 为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用,必须引力一个惯性力。这样的: 如果非惯性系相对惯性系有平动加速度 a,那么只有认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为 ma、方向与 a 的方向相反的惯性力,牛顿运动定律即可照用。 例如,一物块 A 放在倾角为?的光滑斜面 B 上,问斜面 B 必须以多大的加速度运动,才能保持 A、B 相对静止? 可取 B 作为参考系,A 在这个参照系中应静止。 因为 B 是相对 N 地面有加速度的非惯性系,所以要加上一个惯性力 f=ma ,方向水 A f 平向右,a 的大小等于 B 相对地面的加速度。由受力 分析图可知: a ma=mgtan?,∴a=gtan? B ? 【例 36】质量为 m 的物体 A 置于质量为 M、倾 角为?的斜面 B A mg 上,A、B 之间光滑接触,B 的底面与水平地面也是光滑接触。设开 始时 A 与 B 均 B 为静止,而后 A 以某初速度沿 B 的斜面向上运动,如图所示,试问 A 在没有到达 ? 斜面顶部前是否会离开斜面?为什么?讨论中不必考虑 B 向前倾倒 的可能性。 解析:

【例 37】 如图所示, 与水平面成 θ 角的 AB 棒上有一滑套 C , 地在棒上滑动,开始时与棒的 A 端相距 b ,相对棒静止。当棒 不变地沿水平面匀加速运动,加速度为 a(且 a>gtgθ)时,求 的 A 端滑出所经历的时间。 解析:

可以无摩擦 保持倾角 θ 滑套 C 从棒

第二讲

运动和力

知识要点:参照系。质点运动的位移和路程,速度,加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和 分解。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。 牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。 一、参考系 参考系:研究物体运动时,选定不动的物体叫参考系。 【例 1】某人划船逆流而上,当船经过一桥时,船上一小木块掉在河水里。但一直航行至上游某处时 此人才发现,便立即返航追赶。当他返航经过一小时追上这小木块时,发现小木块距桥有 6000 米远。若 此人向上航行和向下航行时的划力一样,问河水流速是多少? 分析:船在静水中的流速不变,取河水面为参考系,则船在此参考系中离开木块和赶上木块所用时间 相等。故他离开木块和赶上木块的总时间为 2 小时。得河水流速为 v=s/t=6000m/2h=3km/h 小结:巧妙选择参考系会使解题大大简化。 二、运动的合成与分解(速度的合成与分解) 1、运动的合成与分解 例如工厂车间里的天车吊运重物时,物体相对于横梁上的小车有竖直向上的位移 S 物车,同时小车相对 于横梁有一水平方向的位移 S 车梁, 则物体相对于横梁的合成位移 S 物梁为 S 物梁=S 物车+S 车梁 S 物车 S 物梁 在这里合位移与分位移包含有变换参考系的作用。 2、速度的合成与分解 相对速度 S 车梁 当船相对于水有划行速度 v 船水,水相对 于岸有流速 v 水岸 v 船岸= v 船水+v 水岸 时, 则船相对于岸的速度 v 船岸(即岸上的观察 者所观察到的船的实际运动速度 ) 是 两个分速度的矢量和,这可表示为 v 船岸=v 船水+v 水岸 记忆方法:首尾对应法则(见右图) 其中,岸叫做不动参考系,水叫做运动参考系,v 船水叫做相对速度,v 水岸时叫做牵连速度,v 船岸是船相 对于“不动”参考的速度,叫做绝对速度。因此,“绝对”速度等于牵连速度和相对速度之矢量和。 根据运动的相对性可知 v 船水=-v 水船,因此,当已知水对岸速度 v 水岸和船对岸的速度 v 船岸时,求船对水 的速度 v 船水时,则有 v 船水=v 船岸-v 水岸 3、加速度合成与分解 an a 与上面水的速度合成与分解一样, 加速度也可合成与分解, 公式如下: a=a1+a2 例如,单摆作摆动时,即有切向加速度 a?也有径向加速度 an,则摆球 a= a?+an 写成大小表达式为:a= a? ? a n
2 2

a?

的合加速度为

【例 2】在平直的轨道上火车 A 以速度 v1 向前匀速行驶,司机忽然发现在前方同一轨道上距 A 为 S 远处有另一辆火车 B 正沿相同的方向以较小的速度 v2 做匀速运动(v1>v2),于是他立即使车做匀减速运动, 加速度大小为 a,要使两车不致相撞,则 a 应满足什么条件? 分析:本题可以用匀变速运动的有关公式直接求解。但若采用相对运动法,则更为简洁。 以前面的火车 B 为参考系,则 A 相对于 B 的初速度为 v0=v1-v2,A 相对于 B 的末速度为 0,相对加速 度为所求的加速度 a,相对位移为 S,则有: 2aS=v02-0 解得:a=

(v1 ? v 2 ) 2 2S

【例 3】如图所示,一辆汽车以速度 v1 在雨中行驶,雨滴落下的速度为 v2 与竖直方向偏前?角,求车 后的一捆行李不会被雨淋湿的条件。 解析:行李在车厢后面,要不被雨淋湿,车厢必须挡住可能落在行李上的雨,即雨相对于车的速度方 向如图所示。 雨滴相对于车的速度为 v1 行李 v 雨车=v 雨地-v 车地=v2-v1 H ?? v1-v2sin? 由图可得,tan?= v2cos? 要行李不被雨淋湿,则有 tan?≥L/H L v1-v2sin? 故所求条件是: ≥ H v2cos? 【例 4】骑自行车的人以 4m/s 的速度向东行驶,感觉风从正南吹来,当车速为 6m/s 时,感觉风从东 南吹来。求风速(风相对于地的速度) 分析:设风相对人的速度为 v 风对人,人对地的速 度为 v 人对地, 风对地的绝对速度为 v 风对地,则 v D B C 风对地 v'人对地 v 风对人 第一次:v 风对地=v 风对人+v 人对地 第二次:v'风对地=v'风对人+v'人对地 根据上式,画出平等四边形如图所示,则有: v 风对地= v人对地 ? (v'人对地 -v 人对地 )
2 2

v2

v 雨车

v 人对地

A

v'人对地 A'

= 4 2 ? (6 ? 4) 2 ? 2 5 ? 5.4m / s 由矢量图可知,AA'=AC,这就是第一次风相对于人的速度大小,则 v 风对人=v'人对地-v 人对地=6-4=2m/s,方向向北。 设 v 风对地的方向与东西方向夹角为?,则有: tan?=v 风对人/v 人对地=2/4=0.5 ?=arctan0.5?26.6? 【例 5】如图所示,直杆 1、2 交角为?,交点为 A,若两杆各以垂直于自身的速度 v1、v2 沿着纸平面 运动,则交点 A 的运动速度大小为多少? 解析:令 1 不动,则交点在杆 1 上滑行的速度为 v2A=v2/sin?; 令杆 2 不动,则交点在杆 1 上滑行的速度为 v1A=v1/sin? 由 A 点对纸面的合速度为 v1A 和 v2A 的合成,大小为 vA= v1A2+ v2A2-2v2Av1Acos(180?-?) sin? ? v2 v1 A 1 2 v2 ? 1 v1A A' vA A ? v2A

2

【例 6】一人站在离平直公路距离为 d=50m 的 B 处, 公路上有一汽车 C ? 以 v1=10m/s 的速度行驶,如图所示,当汽车在与人相距 A L=200m 的 A 处 d 时,人立即以速度 v2=3m/s 奔跑。为了使人跑到到公路上 时,能与车相遇, 问: B (1)人奔跑的方向与 AB 连线的夹角?为多少? (2)经多长时间人赶上汽车? (3)若其它条件不变,人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇,最小速度多少? 解析:人和车都做匀速运动,故人相对车的运动也是匀速的,因此,以车为参考系,根据运动的合成

与分解的知识和匀速运动的规律可求解。 (1)以汽车为参照系,人做匀速运动,故要人与车相遇,必须人相对于车的速度 v3 沿 BA 方向,根据三 角形法则可以得到如图所示的矢量三角形,由正弦定理有: v2 v1 v3 = ,而 sin?=d/L,得: v2 sin? sin? v1 d 5 sin?= × = v2 L 6 解得:?=56.5?或 123.5? 故人能与车相遇的条件是:56.5?≤?≤123.5? (2)在图中,由正弦定理得: v2 v3 = sin? sin(180?-?-?) 代入数值解得:v3=11.85m/s 或 v3'=8.03m/s 将 v3 代入 t=L/v3,解得:t=16.9s 或 t'=24.9s,即人追赶的时间 t 应满足 16.9s≤t≤24.9s (3)在速度矢量图中,不难看出,当?=90?时,v2 最小,故奔跑的最小速度为 v2min=v1sin?=2.5m/s 法二:相对速度法:取汽车为参考系进行研究 【例 7】大海里人游泳速度为 v,陆地上人跑步的速度为 v',设某地海岸线是直线,有一个厕所在陆地 上离海岸线距离为 L,在距离海岸线 L'的海域有一个人要去所里有急事,人与厕所的连线与海岸线夹角为 ?,求人要到达所里,最快多久。 解析:这题是一道名题了,几乎学过物理的人都做过,解法也很多,但是都没有这个联想法简便。 设海与大地为两种不同的介质,人所在位置为点光源,设有一束光照到了厕所的位置,则根据光程最 短原理+折射率是光速之比可以轻易求出人该走哪一点,然后时间易求。 小结:本题采用了联想的方法,联想是一种很有用的办法,可以绕过困难,把别的地方的既有公式直 接拿来使用。 三、抛体运动(斜抛运动) 运动特点:a=g,方向铅垂向下。在水平轴为 x,竖直轴为 y 的坐标系中,设 v0 与 x 轴成?角,水平分 量 vx,竖直分量为 vy,则有 vx=v0cos? vy=v0sin?-gt 运动规律为: x=x0+v0tcos? 1 y=y0+v0tsin?- gt2 2 y v0 ? x v1

平抛运动:?=0;上抛运动:?=90?;下抛运动:?=-90?;斜抛运动:?为任意值。 斜抛运动的解题方法通常是分解运动。 【例 8】树上有一只猴子,远处一个猎人持枪瞄准了猴子,当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即 落下,不考虑空气阻力,已知猴子开始离枪口的水平距离为 S,竖直高度为 h,试求当子弹初速度满足什 么条件时,子弹总能击中猴子。 解析:法一,以地面为参考系 设子弹出枪口的速度为 v0,与水平夹角为?,则有 x=v0tcos? ??① 1 y= v0tsin?- gt2??② 2

s 击中猴子时,x=s,即 t= v0cos?

??③

1 1 代入第二式得:y=stan?- gt2=h- gt2??④ 2 2 1 而在 t 时刻猴子离枪口的高度为:y'=h- gt2??⑤ 2 y=y',说明,子弹可以击中猴子。 由①③得:v0cos?×t=s,再由②⑤得:v0sin?×t=h 上述二式消去参数?得:v02t2=h2+s2 ??⑥ 由于子弹初速度越小,击中猴子前运动时间越长,如果运动的时间 t0= 2h ,则子弹刚好在地面击中 g 2h , g

猴子, 速度再小, 则子弹在落地前运动的水平距离小于 s, 不能击中猴子, 故要击中猴子, 时间 t0≤ 代入⑥式得: v0≥ g(s2+h2) 2h v0t gt2/2 h

方法二:以猴子为参照系,将变得十分简单。因为两者 体运动,可以抵消。即子弹沿初速度方向做匀速运动,由图 v02t2=h2+s2 由于要在猴子落地前击中,故时间的要求是 1 h≥ gt2 2 两式解得:v0≥ g(s2+h2) 2h s

都有一个自由落 可直接得到:

【例 9】以 v0=10m/s 的初速率自楼顶平抛一小球,若不计空气阻力,当小球沿曲线运动的法向加速度 大小为 5m/s2 时,求小球下降的高度及所在处轨迹的曲率半径。 解析:小球运动时,加速度恒为 g,设法向加速度与 g 成?角,则 g=an+a? 当 an=5m/s2 时,cos?=an/g=1/2,?=60? v0 又小球运动时,vy=v0tan?=10 3 (m/s) v0 v2 300 y 故 h= = =15m,为所求。 2 g 20 而 v=2v0, an=v2/? 故?=v2/an=80(m) 为所求。 【例 10】如图所示,从 A 点以 v0 的初速度抛出一个小球,在 V0 离为 s 处有一堵墙 BC,墙高为 h,要求小球能越过 B 点,问小球 抛出,才能使 v0 最小? A 解析:方法一:普通坐标系法,以水平方向建 x 轴,过 A 点 S 算。这种方法的数学要求较高,略。 方法二: 以 AB 方向建 x 轴, 过 A 作 x 轴的垂线建 y 轴。 个方向上都是匀变速直线运动, v0、 g 都要分解到两个方向上。 v0 y 小球的运动方程为 v0x v0y ? 1 ? x=v0cos?- gsin?t2 (1) 2 gx gy 1 g y=v0sin?- gcos?t2 (2) 2

B h C x

离 A 点水平距 以怎样的角度 建 y 轴, 进行计 这样,小球在两

当小球越过墙顶时,y 方向的位移为零,由(2)式可得 2v0sin? t= (3) gcos? 把(3)代入(1)式得: 2v02sin? 2v02 x= sin?cos(?+?) 2 (cos?cos?-sin?sin?) = gcos ? gcos2? v02 = [sin(2?+?)-sin?] gcos2? xgcos2? v02= sin(2?+?)-sin? 当 sin(2?+?)最大,即 2?+?=?/2 时,?=π/4-?/2,v0 有极小值 2 xgcos2?(1+sin?) h 2 xgcos ? v0 = = =xg(1+ )=g(h+ h2+s2 ) x 1-sin? 1-sin2? 方法三:将斜抛运动看成是一个 v0 方向的匀速直线运动和另一 动的合运动,如图所示 在位移三角形 ADB 中用正弦定理 1 2 gt 2 v0t L = = sin? sin? sin(?+?) v0 ??① ??② A ? ? D v0t ? 个自由落体运

B C

L

2v0sin? 由上式中第一个等式可得:t= gsin? 将②式代入①式中第二个等式得: 2v02sin? L = gsin? sin(?+?) gLsin2? 得:v02= -cos(2?+?)+cos?

当-cos(2?+?)有极大值 1 时,即 2?+?=π 时,v0 有极小值。 因为:2?+?=π,2?+?+π/2=π π? 所以:?= 42 四、圆周运动 圆周运动一般可以用它的运动轨迹半径 R 和运动的线速度 v(或角速度?)来描述。 v(或?)的大小不变的 圆周运动称为匀速圆周运动,否则称为变速圆周运动。匀速圆周运动并不是一种匀速运动,因为它的速度 方向一直不变;也不是一种匀变速运动,因为它的加速度的方向时刻在变。圆周运动的向心加速度为 v2 an= =?2R=v? R 圆周运动也可以分解为两个互相垂直方向上的分运动,如图所示。一个质点在 t=0 时刻从 x 正方向开 始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动,在 x 方向上有: x=Rcos?t vx=-vsin?t=-?Rsin?t ax=-acos?t=-?2Rcos?t 在 y 方向上,有 y v vx ?tR vy x

0 y=Rsin?t=Rcos(?t-π/2) vy=vcos?t=-?Rsin(?t-π/2) ay=-asin?t=-?2Rcos(?t-π/2) 从 x 和 y 方向上的位移、速度和加速度由时间 t 表达的参数方程可以看出:匀速圆周运动可以分为两

个互相垂直方向上的简谐运动,它们的相位差为?/2。 在数学中,只要知道一条曲线的方程,便可以求出曲线上任一点的曲率半径。对一些在物理学中常见 的曲线,也可以用一些特殊的方法求它们的曲率半径。 x2 x2 【例 11】已知椭圆曲线方程为 2 + 2 =1,求其两顶点处的曲率半径。 A B 解析: 将椭圆看成是半径为 R=A(设 A>B)的圆在?平面上的投影, 圆平面和?平面的夹角?满足关系式: cos?=B/R=B/A 设一个质点以速率 v 在圆周上做匀速圆周运动, 则向心加 从图中可以看出,当质点的投影在椭圆的长轴(x 轴)上的 P 点 加速度分别为 B vx=vcos?= v , ax=a=v2/A A ? 速度 a=v2/A , 时,其速率和

R

当质点的投影在椭圆的短轴(y 轴)上的 Q 点时,其速率和加速度分别为 v2 vy=v,ay=acos?=B 2 A 因此,椭圆曲线在 P 点和 Q 点的曲率半径分别为 vx2 B2 ?P = = ax A ?Q = vy2 A2 = ay B y v0t ? O v0 在 y 轴上放一 运动,试求细

【例 12】xOy 平面上有一个圆心在坐标原点、半径为 R 的圆, 根细杆,如图所示。从 t=0 时开始,细杆以速度 v0 朝 x 轴正方向匀速 杆与第一象限的圆的交点的向心加速度与时间 t 的关系式。 解析:因为细杆与圆的交点运动的方向总是与圆相切的,所以交 v0 v0 v02R2 v= = 2 2 2 ,即 v2= 2 2 2 (R -v0 t ) cos? R -v0 t R v2 v02R 故向心加速度为 a= = 2 2 2 R (R -v0 t ) 五、刚体的平动和绕定轴的转动 1、平动 平动:刚体运动时,刚体上任一直线始终与其初始位置平行。 定理:平动刚体上各点的运动轨迹形状相同,速度、加速度相等。 2、定轴转动 (1)角位移、角速度与角加速度 角位移:?=?(t)

v x 点的速度为

?? ?t ?? 角加速度:?= lim ? ?0 ?t
角速度:?= lim
? ?0

(2)刚体上各点的速度和加速度 定轴转动的刚体上的点都与定轴距离保持不变,因此,刚体上的点均在过该点且垂直于定轴的平面内 作圆周运动。 路程为 S=R? 速度为 v=R?

向心加速度为:an=v2/R=R?2 切向加速度为:a?=R? 当?=常数时,刚体匀加速转动,类似匀加速直线运动,有 ?=?0+?t 1 ?=?0+?0t+ ?t2 2 ?2=?02+2?(?-?0) 3、刚体上点的相对运动 (1)同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 【例 13】如图所示,某人以常速率 v 拉动绳的一端,绳的另一端 A 系着一只小船,已知人离水面高 度为 h,试求当绳与水面成倾角?=30?时,小船的速度和加速 度。 O V 解析:不计滑轮尺寸,可视绳段为刚体。 则有:v=vAcos30? 即 vA=
2 3 v 3 3 v 3
2

?

A

而 vAO=vtg30?=

v
v2 6h

anAO aA vA0 a?A0

又在此处 anAO= v AO 故 aA=

AO

=
2

vA

a nAO 3v ? cos 30? 9h

(2)不同刚体上两个运动点的相对速度和加速度 【例 14】质量均为 m 的两个小球,固定在长度为 L 的轻 直立在光滑的水平地板上,靠着竖直的光滑墙,如图所示,杆 求当杆与水平面成?角时,两球的速度。 解法一:当杆滑下时,只有重力作功,机械能守恒,杆从 与地面倾角为?时,有: 1 1 mg(L-y)= mv12 + mv22 2 2 式中 y=Lsin?为上球在此时的纵坐标,v1、v2 分别为两球的速度,且满足 v1cos?=v2sin? 得:v1= 2glsin2?(1-sin?) , v2= 2glcos2?(1-sin?)

B

杆两端,开始杆 无初速度滑下, A 竖直位置滑下,

?

解法二:选 A 为参考系,则球的速度如图所示。 由 VA 地=VAB+VB 地得 tan?=VB/VA 再结合能量守恒可求解。 【例 15】如图所示,一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方 为 a 的匀加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆,此杆只 运动。当半圆柱体的速度为 v 时,杆与半圆柱体接触点 P 与 竖直方向的夹角为?,求此时竖直杆运动的速度和加速度。 解析:(1)取半圆柱体作为参考系,在此参考系中,P 点 V 杆柱的方向沿着圆上 P 点的切线方向,根据题意,V 杆地的方 的,因为 V 杆地=V 杆柱+V 柱地

vA v

B ? vB A 向向右做加速 能沿竖直方向 柱心的连线与 做圆周运动, 即 向是竖直向上

R ? O

P

a

v 杆柱 R ? O P

v 杆地 v 柱地

所以可画出矢量三角形 PAB,如图所示。 由此可知: V 杆地=V 柱地 tan?=vtan? V 杆柱=V 柱地/cos? (2)在半圆柱体参考系中,P 的加速度由切向加速度 a? 构成,即 a=an+a?其中 v2杆柱 v2 an= = R Rcos2? 由相对运动知识可得矢量式为:a 杆地=an+a?+a 柱地 将这些矢量投影在 an 方向上,可得: a 杆地 cos?=a 柱地 sin?-an(这样做避免了 a?) 得: v2 1 v2 a 杆地=a 柱地 tan?=atan ? Rcos2? cos? Rcos3? 【例 16】如图所示,在直角墙角,立方块和三 触,若已知三角块的速度和加速度为 V 和 a,试求立 速度和加速度。 解析:选三角块为动参考系,动系上与 C 相重 度为 VC'=V,故 VC=VC'+VCC' 其中 VCC'平行于三角块的斜面。 故有 VC=Vtan?,方向如图所示。 同理可得:ac=atan? ? ? ? 小结: V立地 ? V立三 ? V三地 v a vcc' ? vc' vc

和法向加速度 an a? R ? O an a 杆地 a 柱地

v

a acc'

角块相互接 方块中心 C 的 合的点 C'的速

? ac'

ac

【例 17】如图所示,B 是质量为 mB、半径为 R 的光滑半 球形碗,放在 A 光滑的水平桌面上.A 是质量为 mA 的细长直杆,被固定的光 滑套管 C 约束 在竖直方向, A 可自由上下运动. 碗和杆的质量关系为: mB = 2mA. 初始时, A 杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如 图).然后从 C 静止开始释放 A, A、 B 便开始运动. 设 A 杆的位置用??表示, ?? 为碗面的球 O 心??至 A 杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的 夹角. 求A与 R ?? B 速度的大小(表示成??的函数).?????年第二十一届全国 中学生物理竞 赛初赛试题? B 解析: 由题设条件知, 若从地面参考系观测, 则任何时刻, A 沿竖直方向 运动,设其速度为 vA,B 沿水平方向运动,设其速度为 vB.若以 B 为参考系,从 B 观测,则 A 杆保持在 竖直方向,它与碗的接触点在碗面内作半径为 R 的圆周运动,速度的方向与圆周相切,设其速度为 VA.杆 相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度, 速度合成的矢量图如图中的平行四边形 所示.由图得 VAsin?=vA ??① VAco?=vB??② 因而 vB=vAcot? ??③ 由能量守恒 A 1 1 2 2 O mA gR cos? ? mA v A ? mB v B ??④

2

2

?? R
B

vB vA

VA

由③④两式及 m B ? 2m A 得
v A ? sin ? v B ? cos? 2 gR cos? 1 ? cos 2 ?

??⑤

2 gR cos? ??⑥ 1 ? cos 2 ? ? ? ? 小结:(1) V杆地 ? V杆碗 ? V碗地 ;(2)不同刚体上相对运动问题一般要选用不同的参考系来分析,找相

对速度,然后用 VAB ? VAC ? VCB 来解。 六、质点运动定律 1、惯性系与非惯性系 惯性系:牛顿运动定律适应的参考系,叫惯性系。一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性 系。实验证明,以太阳中心为原点,指向任一恒星的直线为坐标所构成的日心系是至今最精确的惯性系。 地球相对于日心系有公转和自转,严格地说不是惯性系,但这种加速度很小,在一定精度范围内,地球仍 视为惯性系。由此,相对地面静止或匀速直线运动物体上的参考系也可视为惯性系。 非惯性系:牛顿运动定律不适应的参考系,叫非惯性系。一切相对于面旋转或加速运动的参考系都是 非惯性系。在非惯性系中,牛顿第一、第二定律不再成立,需要引入惯性力,对定律的形式加以修正。 2、牛顿运动定律 定律一:若质点不受外力作用,则保持静止或匀速直线运动状态。 定律表明:任何物体相对于惯性系,都具有保持速度不变的惯性,而外力是改变物体速度的原因。 定律二:质点的加速度与其所受合外力成正比,与其质量成反比,即?F=ma 该定律适用于惯性参考系,并具有: 矢量性:合外力方向与加速度方面一致; 瞬时性:矢量关系在任意瞬时都成立; 独立性:各个方向的分量式(或投影式)都成立。 定律三: 两个物体之间的作用力与反作用力, 总是等值、 反向、 共线。 【例 18】如图所示,质点沿曲线运动,图示瞬时所受合外力沿 轨迹切线方 F M 向,试求此时质点的速度。 解析:由定律二的矢量性和瞬时性可知,此瞬时质点加速度方 向与 F 相同, 2 也沿切线方向,法向加速度 an=0,即 v /ρ=0,故此时 v=0。 【例 19】如图所示,一细绳跨过装在天花板上的滑轮,绳的一 端吊一质量为 M 的物体,另一端挂一载人梯子,人质量为 m,系统处于平衡状态,不计摩擦 及滑轮与绳的 质量,要使天花板受力为零,试求人应如何运动? 解析:应使绳张力为零,物块 M 须自由下落,则梯子向上加速度为 g,设 人与梯间的相 互作用力为 F,人向下加速度为 a,则 对梯子:F-(M-m)g=(M-m)g 故 F=2(M-m)g 对人:F+mg=ma 得:a=(2M/m-1)g z mC mi 故人相对于梯子应以 a'=2Mg/m 的加速度向下运动, 才能 使天花板的受 力为零。 rC 3、质心与质心运动 ri y 质心:质点系的质量分布的平均位置。 O 质心的位置: 如图所示, 各质点的质量为 mi(i=1,2,3,?n), x 各质点的位置 矢量为 ri,M=?mi,则有

?

?

?

?miri rC= M 将上式向 x、y、z 坐标分别投影,得质心 C 的坐标位置为: ?mixi ?miyi ?mizi xC = ,yC= ,zC= M M M 【例 20】如图所示,质量为 mA、mB、mC 的三个质点位于边长 形顶点处,试确定质心 O 的位置。 解析:选 B 为原点,质心为 O,则 (mA+mB+mC)?BO=mA?BA+mC?BC 解矢量三角形得: mA2+mC2+mAmC mB2+mC2+mBmC BO= a,同理得:AO= a mA+mB+mC mA+mB+mC B a A a O a C 为 a 的等边三角

【例 21】质量分别为 M 与 m 的两个物体,用一极轻的绳连接起来,挂在一固定的极轻的滑轮上,如 图所示,起始时,两重物的重心与通过滑轮的 x 轴之间的距离分别等于 L1 和 L2,假定 M>m,求重物系统 质心的运动方程式。 解析:通常当物体的体积不太大时重心和质心重合,本题中质心的运动只沿竖直方向,因此不必求水 平方向的坐标,由牛顿第二定律得 Mg-T=Ma, T-mg=ma M-m x 得:a= g M+m L2 经时间 t 后,满足 L1 m 1 1 y1-L1= at2 ,y2-L2=- at2 2 2 M y 代入质心公式可得系统质心的运动方程为 My1+my2 mL2+ML1 M-m 2 gt2 y0= = +( ) × M+m M+m M+m 2 4、质心速度 【例 22】两个质量相同的小球,带有相等的电荷,处于同一条竖直线上,距地面高度分别为 h1 和 h2。 当他们同时以相同的水平速度 v0 抛出,在第一个小球落地时,它在水平方向上经过了距离 L,这时第二个 球距地的高度 H2 为多少?设空气阻力、地表面的感应电荷可略。 解析:把二个球取作一作力学系统,则二球间的库仑力为内力,不影响质心的运动。空气阻力与地面 感应电荷作用力可略,所以,质心的运动方程为 Mac=Mg,ac=g 1 质心开始时的位置为: (h1+h2) 2 质心沿水平方向的速度为 v,所以质心作平抛运动,其运动轨迹为一条抛物线,离地的高度 1 1 x h= (h1+h2) - g( )2 (注意:此处求时间只能质心的位移,不能用下球的运动求) 2 2 v 式中 x 是质心在水平方向的距离。当第一个球落地时,x=L,设质心的高度为 H,由上式有: 1 1 L H= h= (h1+h2) - g( )2 2 2 v 因球的质量相同,第二个球这时所在的高度为 H2=2H,即 L H2=h1+h2-g( )2 v 【例 23】有两个质量为 m1、m2 的相同小球,每个球的电量为 Q,在开始时,两个小球相远离,m1 以 初速度 v 向另一个小球运动,而另一个小球速度为零,作用在小球上唯一的力是静电力,求两个小球能接

近的最小距离。已知两球相互作用势能:U=k

Q2 d

解析:采用质心参考系,设在质心参考系中二球的速度为 v1'、v2',按质心参考系定义,vc'=0,故 m1v1'+m2v2' vc'= =0 m1v1'=-m2v2' m1+m2 设两球相距最近时,二球的速度为 v',则由动量守恒有: m1v1'+m2v2'=(m1+m2)v'=0 v'=0 即这时二球相对质心系为静止。 因为系统无外力作功,也没有非保守力的内力,所以系统的机械能守恒。 1 1 Q2 m1v'12 + m2v'22 +0=k (*) 2 2 d 由上式求 d 还有一个问题要解决,因为题中给出的是地面参考系中测得的速度,所以还要转换为地面 参考系中的速度。 m1v+m2×0 m1v 显然:vc= = m1+m2 m1+m2 而 v'1=v-vc= m2v m1v ,v'2=0-vc=m1+m2 m1+m2

kQ2(m1+m2) 代入(*)得:d= =20cm m1m2v2 1 1 Q2 法二:m1v1=(m1+m2)vc 及 m1v2 = (m1+m2)vC2 +k 求解。 2 2 d 5、质心加速度 【例 24】如图所示车厢 B 底面放置一物体 A,已知它们 mA=20kg,mB=30kg,在力 F=120N 作用下,B 由静止开始, 不计地面摩擦,求 A 在 B 内移动的距离。 解法一:对整体 F=MaC=mAaA+mBaB 代入数值得:120=20aA+30aB B 受常力,作匀速直线运动,有 1 1 S= aBt2 ,即 5= aB× 4 ,得 aB=2.5m/s2,aA=9/4m/s2 2 2 1 故 SA= aAt2 =4.5m;SAB=5-4.5=0.5m 为所求。 2 解法二(质心法):对整体 F=mac 得 ac=2.4m/s2 1 又 Sc= aCt2 =4.8m 2 (mA+mB)SC=mASA+mBSB 得:SA=4.5m,SB=5m,SAB=0.5m 6、质心守恒 若系统的合外力为零,且质心的初速度为零,则质心加速度为零,位置不变,叫质心守恒。 可知,若质心在某个方向上合外力为零,且这个方向上初速度为零,则质心在这个方向上没有位移。 【例 25】如图所示,等腰直角三角形的均匀质板△ABC, 已知斜边长为 B AB=12cm,使 AB 铅垂方向静立于光滑水平面上,若三角块保 持在铅垂平面 内滑倒,试求直角边 BC 中点 M 的运动轨迹方程。 C 解析:由于在水平方向受力为零,则系统质点在水平没有 位移。 A F 的 质 量 为 2 秒内移动 5m,

B

A

如图所示建立直角坐标系, y 轴过 O 点, 任意位置坐标有: x=OMcos?, y=AMsin? y2 x2 ? ?1 故有: OM 2 AM 2
x2 y2 即: ? ?1 10 90

y B
M O

C

A 7、联接体 两个或两个以上物体在某一种力 ( 一般是弹力或摩擦力 ) 作用下一起运 动,叫联接体。解联接体的问题一般要用隔离法,即把某一个物体隔离出来进行分析。有时联接体中的各 个物体具有不同的加速度,必须确定它们的加速度之间的关系。 【例 26】如图所示的装置,细绳不可伸长,三个物体的加速度方向如图所示,那么它们的加速度 a1、 a2、a3 之间有什么关系。 解析:先设 m2 物体不动,那么当 m1 物体下降 h1 时,m3 物体上升 h1/2;再设 m1 物体不动,当 m2 物 体下降 h2 时,m3 物体将上升 h2/2。当上述两种运动结合起来,则实际上 m1 物体下降 h1,m2 物体下降 h2, m3 物体应是上升 h3=(h1+h2)/2,它们对时间的变化率(即速度)之间 也有上述关联, 即 v1+v2 v3= 2 它们之间的加速度之间的关系也同样是 a1+a2 a3= 2 【例 27】质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结,绳 a1 m1 a2 m2

跨过位于倾角 斜面固定在水 a3 平桌面上,如图所示.第一次,m1 悬空,m2 放在斜面上,用 t 表 m3 示 m2 自斜面底 端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间.第二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为 t 3 .求 m1 与 m2 之比.(2004 年第 21 届预赛试题) 解析:第一次,小物块受力情况如图所示,设 T1 为绳 中张力, a1 为两物 N T T 块加速度的大小, l 为斜面长,则有

??=30°的光滑斜面顶端的轻滑轮,滑轮与转轴之间的摩擦不计,

m1g-T1=m1a1 T1-m2gsin?=m2a1 1 l ? a1t 2 2

(1) (2) (3)

?

mg

m1g

第二次,m1 与 m2 交换位置.设绳中张力为 T2,两物块 a2,则有 m2g-T2=m2a2 T2-m1gsin?=m1a2
l? 1 ?t? a2 ? ? 2 ? 3?
2

加速度的大小为

(4) (5) (6)

由 (1)、(2) 式注意到? =30°得 2m1 ? m2 a1 ? g 2?m1 ? m2 ? 由 (4)、(5) 式注意到? =30°得 2m2 ? m1 a2 ? g 2?m1 ? m2 ? 由 (3)、(6) 式得

(7)

(8)

a1 ?

a2 9

(9)

由 (7)、(8)、(9) 式可解得 m1 11 ? m2 19 解法二:整体法 第一次:m1g-m2gsin?=(m1+m2)a1 1 又 L= a1t2 2

1 第二次:m2g-m1gsin?=(m1+m2)a2 又 L= a2(t/3)2 2 上面四式可求得答案。 8、曲线运动的向心力 (1)圆周运动 在匀速圆周运动中,物体受合外力等于它所需要的向心力。而在变速圆周运动中,一般要将合外力分 解成法向分力和切向分力。 如图所示,一个小球在半径为 R 的光滑柱形圆筒内做圆周运动, 在圆筒底部 B C D 时小球的速度为 v0,讨论小球的运动情况。 容易求得,小球要做完整圆周运动的速度必须满足条件: A 在最高点必须满足:v0≥ gR O 在最低点必须满足:v0≥ 5gR v0 讨论: 如果 2gR ≤v0≤ 5gR ,则小球将在 A、C 间的某点离开圆周。 (2)一般曲线运动 所有做曲线运动的物体 m 都需要向心力 F=mv2/R 式中 v 是物体的速度,R 是曲线的曲率半径。 如图所示,一个质量为 m 的小球沿着抛物线 y=Ax2 型的轨道从 h 开始滑下,试求小球到达轨道底部时对轨道的压力。小球到达底部时 v= 2gh 又抛物线在在底部时的曲率半径为 R=1/2A 小球在底部时受到两个力:重力 mg 和轨道的弹力 N,因此, v2 N-mg=m R N=mg(1+2h/R)=mg(1+4Ah) 注:由抛物线可求顶点处的曲率半径

N

米高处由静止 的速度为 h

mg

0

v0 x

y

【例 28】如图所示,用细杆把质量为 M 的圆环固定起来,圆环顶部套有两个质量均为 m 的小环,大 小环之间无摩擦。若两个小环同时由静止开始下滑,那么: (1)试证明当 m 大于某一值时,大环会有上升的趋势; (2)说明 m 的值不同时,大圆环的运动趋势情况。 解析:(1)当小环与大圆心的连线与竖直线的夹角为?时,设它与大圆环之间的弹力是 N,那么分析小 环受力有: v2 mgcos?-N= m ??① R N mgR(1-cos?)= 1 2 mv 2 ??② ??③
? ? mg

分析圆环有:T=Mg-2N'cos? 由①②得:

N=mg(3cos?-2) 当 3cos?-2<0,即 cos?<2/3 时,N<0,说明小环开始对圆环有向上的作用力,要圆环开始有上升的趋 势,必须有 T=0,即 Mg-2N'cos?=Mg-2mg(2-3cos?)cos?=0 6mcos2?-4mcos?+M=0 4m± 16m2-24Mm 1 1 3M cos?= = ± 112m 3 3 2m 只有当 m>3M/2 时,?才有解,即圆环才可能有上升的趋势。有上升趋势的位置为 1 1 ?=arcos( ± 3 3 3M 1) 2m

(2)如果 m 恰好为 3M/2,则小环只在一位置,即当?=arcos(1/3)≈70? 时,圆环才有上升的趋势。如果 m>3M/2,则小环的位置在一个范围内大环都有上升的趋势。例如当 m=2M 时,?1= arcos(1/2)=60?,?2= arcos(1/6)=80.4?,即?在 60?~80.4? 的范围内,圆环都有上升的趋势。 9、质点系牛顿第二定律 对一个质点系而言,同样可以应用牛顿第二定律。

如果这个质点系在任意的 x 方向上受的合外力为 Fx, 质点系中的 n 个物体(质量分别为 m1、 m2、 m3、 ??、 mn)在 x 方向上的加速度分别为 a1x、a2x、??、anx,那么有 Fx=m1a1x+m2a2x++mnanx 这就是质点系牛顿第二定律。 【例 29】如图所示,质量为 M 的长木板放在光滑的斜面上,斜面倾角为?,要木板静止在斜面上,则 木板上的质量为 m 的人应以多大的加速度运动?向哪里运 动? 讨论:若要木板以加速 a 沿斜面向上运动呢?

10、天体运动 天体运动的轨道一般是圆或椭圆,它做曲线运动的向心力是靠万有引力提供的,万有引力定律只适用 于两个质点之间的相互作用,但因为天体本身的大小与它们之间的距离比较起来很小,因此可以把它们当 成质点来处理。 当一颗质量为 m 的行星以速度 v 绕着质量为 M 的恒星做半径为 R 的圆周运动时,如果以无穷远作为 零势能,则它的动能 Ek 和势能 Ep 分别为 1 Mm Ek= mv2 , Ep=-G 2 R Mm v2 M 又因为有:G 2 =m 得:v2=G R R R 行星的总能量为 GMm E=Ek+Ep=2R 由以上推导可见,卫星飞得越高,其速度越慢,但是它的总能量却总越大,这是发射卫星比较困难的 原因之一。 天体运动遵循开普勒三定律: 开普勒第一定律:所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳在这些椭圆的一个焦点 上。 开普勒第二定律:太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律: 所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方 跟公 转周期的 平方的比值相等。 M 【例 30】半径为 R、质量为 M 的均匀铅球内挖去一个直 m 径为 R 的球形 R 空腔,空腔与表面相切,在两球心连线的处长线上距铅球中心 为 d 处,另有 一质量为 m 的小球,如图所示,试求挖有空腔的铅球对小球 的万有引力。 d 解析:这类问题与求带有空腔的物体的重心问题相似,一 般先 求不带空 腔的物体的引力(在求重心的问题中应为重力,下同),再求空腔部分物体的引力,然后求出两者之差即为 所求。 Mm 若铅球无空腔,则其对小球的引力为:F1=G 2 d 1 M 空腔所在处的铅球的质量为:M'=( )3M = 2 8 其对小球的引力为: M'm Mm F2=G =G (d-R/2)2 2(2d-R)2 可见带空腔的铅球对小球 m 的引力为

1 1 F=F1-F2=GMm[ 2] d 2(2d-R)2 【例 31】世界上第一颗人造卫星的长轴比第二颗卫星短 8000km,第一颗卫星开始绕地球运转的周期 为 96.2min,试求: (1)第一颗人造卫星轨道的长轴。 (2)第二颗人造卫星绕地球运转时的周期。已知地球质量为 M=5.98?1024kg。 解析:设想有一颗靠近地球表面的作匀速圆周运动的人造卫星,则 Mm 4π2 G 2 =m 2 R R T T2 4π2 因而有 k= 3 = R GM 设第一颗卫星的长轴为 a,第二颗卫星的周期为 T2,则有 T12 T 22 k= = (a/2)3 (a/2+4000)3 代入数据得:a=1.47?107m T2=104.6min 【例 32】太空站的质量为 M,与它连接在一起的人造卫星的质量为 m,它们沿圆轨道绕地球运动, 轨道半径是地球半径 R 的 n 倍,地球质量为 M',在某一瞬间人造卫星与太空站脱离,卫星发动机立即点 火,短暂喷射后卫星获得较大的速度,沿其原来运动方向进入椭圆轨道,如果当人造卫星绕地球一周时, Mm 刚好能在原处与已绕行 N 周的太空站对接,那么卫星点火后获得的速度应多大?(引力势能 EP=-G ) r 解析:卫星从太空站分离后做椭圆运动,设 a 是近地点距离,b 是远地点距离,va、vb 分别为近地点 和远地点的速度,则 1 1 v ?a = vb?b 2 a 2 1 M'm 1 M'm mv 2 -G = mvb2 -G 2 a a 2 b 解得:va= b 1 2GM'× ( ) a a+b

由题意得:a=nR 另由开普勒第二定律得 (a+b)2 2 a2 = , T2 T 2 ( ) N 解得:b=nR(2N2/3-1),所以,va= GM' (2-N2/3) nR

【例 33】假如有一颗恒星,质量为 M,有一颗质量为 m 的行星围绕着恒星做半径为 r0 的匀速圆周运 动。突然,恒星的质量减小了 1/n,试描述此后行星的运动情况。 解析:在恒星的质量变化之前有 Mm v02 G 2 =m v0 r0 由此可知行星的速度 v0 和动能 Ek 分别为 v0= MG 1 GMm ,Ek= mv02 = r0 2 2r0

此时行星的势能(实际上是行星和恒星共有的,下同)为

Mm Ep=-G r0 行星的总能量为 GMm E=2r0 行星的运动周期为 2πr0 2?r0 T= = v0 MG
3/ 2

GMm 在恒星质量发生变化后的瞬间,行星运动的速度仍为 v0,动能也仍然为 ,由于恒星的质量减小 2r0 n-1 Mm(n-1) 了 1/n,即变成了 M ,所以行星的势能变成了-G ,因而总能量变成了 n nr0 E'=Ep'+Ek'= GMm Mm(n-1) n-2 mMG -G =- × >E 2r0 nr0 n 2r0

由上式可知,当 n≤2 时,总能量 E'≥0,即行星将摆脱恒星的束缚飞到无穷远去。 当 n>2 时,由于 M 的变小导致万有引力变小,无法提供行星在原轨道上做圆周运动的向心力,所以 行星开始做椭圆运动,而恒星应位于椭圆的一个焦点上,即恒星质量减小的瞬间,行星应该在椭圆长轴的 近日点上,因为行星此时的速度方向垂直于它和恒星的连线。假设恒星质量变小瞬间行星所在位置为 A, 与恒星的距离为 rA(rA=r0),长轴的另一端 B 与恒星的距离为 rB,行星在 B 点时的速度为 vB,则根据开普勒 第二定律,行星的面积速度应该相等,即 1 1 1 S= rBvB = r0v0 = r0 2 2 2 GM 1 = r GM r0 2 0 vA rA A vB rB B

由于行星在椭圆轨道上运行时总能量守恒,因此 1 m(n-1)MG n-2 mMG EB= mvB2 = ? 2 nrB -n 2r0 将以上两式联列消去 vB,可得有关 rB 的二次方程 (n-2)rB2+2r0(n-1)rB-nr02=0 解此方程可得到 rB 的两个根: n rB1=r0 rB2= r0 n-2

显然,rB1 就是恒星到 A 点的距离,rB2 就是恒星到 B 点的距离,即 A 点为椭圆的近恒星点,B 为椭 圆的远恒星点。设 a、b、c 分别为此椭圆轨道的半长轴长度、半短轴长度和半焦距,则有 r0=a-c n r =a+c n-2 0 由此可求得椭圆的参数 n-1 1 a= r0 ,c= r0 ,b= n-2 n-2 n r n-2 0

行星在椭圆轨道上的运行的周期为 n-1 n π r2 n-2 n-2 0 n-1 πab T'= = = S 1 n-2 r0GM 2 n 2πr03/2 ? n-2 MG

原来行星做圆周运动时的周期为

T=

2πr0 2πr0 2πr03/2 = = v0 MG MG r0

显然:T'>T 【例 34】经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究, 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成,其中每个星体 的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他天体很远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是 M,两者相距 L,它们 正围绕连线的中点作圆周运动。(第 11 届复赛试题) (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计。 (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观,且 T 观:T 计=1: N (N>1),为了解释 T 观和 T 计的不同,目前 有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型,我们假定 在这两个星体连为直径的球体均匀分布着这种暗物质,而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上 述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。 解析:本题中双星做匀速圆周运动所需要的向心力由它们之间的万有引力提供,由万有引力定律和向 心力公式即可求出双星系统的运动周期 T 计,又实验上观测到的运动周期 T 观和 T 计的不同是由于两个星体 之间存在一种暗物质,这时双星系统做匀速圆周运动所需要的向心力由双星之间的万有引力和暗物质对双 星的万有引力共同提供,再运用万有引力定律和向心力公式即可求解。 (1)由于双星的质量相等,因此双星均绕它们连线的中点作圆周运动,设运动速率为 v,由万有引力定 v2 GM2 律和向心力公式有:M = 2 L/2 L 所以有:v= GM 2L 2L GM

2π(L/2) 故双星系统的运动周期为:T 计= =πL v (2)根据观测结果,星体的运动周期 1 T 观= T 计 <T 计 N

而圆周运动的周期越短,向心力越大,因此双星系统中受到的向心力大于本身的引力,故它一定还受 到其它指向中心的作用力,从题设可知这一作用力来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在球体内部的暗物 质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M 位于中点处的质点相同。 受暗物质作用后双星的 速度即为观测到的速度 v 观,则有: v观2 GM2 GMM' G(M+4M') M = 2 + ∴v 观= L/2 L (L/2)2 2L 又 T 观 v 观=T 计 v 将 v 观和 v 代入上式得: 故所求暗物质的密度为: ?= M' 3(N-1)M = 4 2πL3 π(L/2)3 3 ∴v 观= Nv N-1 M'= M 4

11、惯性力 牛顿运动定律只在一类特殊的参照系中成立,简称惯性系。实验证明,地面已经是一个相当接近惯性 系的参照系。一般情况下,相对地面静止的或是匀速直线运动的参照系都可以看作惯性系。牛顿运动定律 不成立的参照系叫做非惯性系,非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。 为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用,必须引力一个惯性力。这样的:

如果非惯性系相对惯性系有平动加速度 a,那么只有认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为 ma、方向与 a 的方向相反的惯性力,牛顿运动定律即可照用。 例如,一物块 A 放在倾角为?的光滑斜面 B 上,问斜面 B 必须以多大的加速度运动,才能保持 A、B 相对静止? 可取 B 作为参考系,A 在这个参照系中应静止。 因为 B 是相对 N 地面有加速度的非惯性系,所以要加上一个惯性力 f=ma ,方向水 A f 平向右,a 的大小等于 B 相对地面的加速度。由受力 分析图可知: a ma=mgtan?,∴a=gtan? B ? 【例 35】质量为 m 的物体 A 置于质量为 M、倾 角为?的斜面 B A mg 上,A、B 之间光滑接触,B 的底面与水平地面也是光滑接触。设开 始时 A 与 B 均 B 为静止,而后 A 以某初速度沿 B 的斜面向上运动,如图所示,试问 A 在没有到达 ? 斜面顶部前是否会离开斜面?为什么?讨论中不必考虑 B 向前倾倒 的可能性。 解析:设 B 向右运动的加速度为 aM,取 B 为参照系,则 A 的受力为支持力 N、重力 mg 和非惯性力 maM,由牛顿第二定律对 m 列方程有 maMsin?+N=mgcos? 又对 B 受力分析,由牛顿第二定律列式有: Nsin?=MaM 由以上两式解得: mMgcos? N= M+msin2? maM mg N A

因为 A、B 之间的作用力 N 为相互作用力,总为正值,故不会离开斜面。 讨论:还可求得两物体的加速度分别为 mgsin?cos? aA= msin2?+M 分析 B 物块,它相对地面的加速度的水平分量为 NABsin? Mgsin?cos? aBx= = m msin2?+M 竖直分量为 mg-NABcos? Mgcos2? aBy= =gm msin2?+M 【例 36】如图所示,与水平面成 θ 角的 AB 棒上有一滑套 C ,可以 无摩擦地在棒上滑动,开始时与棒的 A 端相距 b ,相对棒静止。当棒保 持倾角 θ 不变地沿水平面匀加速运动,加速度为 a(且 a>gtgθ)时,求滑 套 C 从棒的 A 端滑出所经历的时间。 解析:以棒为参照,隔离滑套,分析受力,如图所示。 注意,滑套相对棒的加速度 a 相是沿棒向上的,故动力学方程为: F*cosθ- mgsinθ= ma 相 ??① 其中 F* = ma ??② 而且,以棒为参照,滑套的相对位移 S 相就是 b ,即: b=S相 =

1 a 相 t2 2

??③

解①②③式就可以了。 另解:若用连接体的方法(整体法与隔离法)也可。 这是一个比较特殊的“连接体问题”,寻求运动学参量的 学分析更加重要。动力学方面,只需要隔离滑套 C 就行了。 思考:为什么题意要求 a>gtgθ?

关系似乎比动力

定性绘出符合题意的运动过程图,如图所示:S 表示棒的位移,S1 表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建 直角坐标后,S1x 表示 S1 在 x 方向上的分量。不难看出: S1x + b = S cosθ ?? ① 设全程时间为 t ,则有:

1 2 at 2 1 2 S1x = a1xt 2
S=

??② ??③

而隔离滑套,受力图如图所示,显然: mgsinθ= ma1x ??④ 解①②③④式即可。 答案:t =
2b a cos? ? g sin ?

附:例 36 的隔离与整体法求解: 如图所示,一质量为 M 、倾角为 θ 的光滑斜面,放置在光滑的水 平面上, 另一个质量为 m 的滑块从斜面顶端释放, 试求斜面的加速度。 解析:本题涉及两个物体,它们的加速度关系复杂,但在垂直斜 面方向上,大小是相等的。对两者列隔离方程时,务必在这个方向上 进行突破。 思考:定性判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。 位移矢量示意图如图所示。根据运动学规律,加速度矢量 a1 和 a2 也具有这样的关系。 思考:这两个加速度矢量有什么关系? 沿斜面方向、垂直斜面方向建 x 、y 坐标,可得: a1y = a2y ??① 且:a1y = a2sinθ ??② 隔离滑块和斜面,受力图如下图所示。 对滑块,列 y 方向隔离方程,有: mgcosθ- N = ma1y ??③ 对斜面,仍沿合加速度 a2 方向列方程,有: Nsinθ= Ma2 ??④ 解①②③④式即可得 a2 。 答案:a2=

m sin ? cos ? g。 M ? m sin 2 ?

思考:如何求 a1 的值? 解析:a1y 已可以通过解上面的方程组求出;a1x 只要看 列 x 方向的隔离方程即可,显然有 mgsinθ= ma1x,得:a1x= gsinθ。最后据 a1 = 答:a1 =
g sin ? M ? m sin 2 ? M 2 ? m( m ? 2 M ) sin 2 ? 。

滑块的受力图,
a12x ? a12y 求 a1。


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