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高二数学选修4-1综合测试题


高二数学选修 4-1 综合测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知三角形的 3 条中位线分别为 3cm、4cm、6cm,则这个三角形的周长是( ) .

9.如图所示,在△ ABC 中,AC=5,中线 AD=4,则 AB 边的取值范围是( A. 1 ?

AB ? 9 C. 5 ? AB ? 13 B. 3 ? AB ? 13 D. 9 ? AB ? 13

) .

A.3cm B.26cm C.24cm D.65cm 2.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为 50cm、60cm、 80cm,三角形框架乙的一边长为 20cm,那么符合条件的三角形框架乙共有( ) . A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 3.在 RtΔABC 中,CD 是斜边上的高线,AC∶ BC=3∶ 1,则 SΔABC∶ SΔACD 为( ) . A.4∶ 3 B.9∶ 1 C.10∶ 1 D.10∶ 9 4.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,BF⊥ CE 于 F, 那么 S△BFC:S 正方形 ABCD=( ) . A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6 5.在△ABC 中,∠ A∶ ∠ B∶ ∠ C=1∶ 2∶ 3,CD⊥ AB 于 D,AB= a ,则 DB=( A. )

D F A E B

C

10.如图,平行四边形 ABCD 中, AE : EB ? m : n ,若 ?AEF 的面积等于 a ,则 ?CDF 的面积等于( ) .

m2 A. 2 a n

n2 B. 2 a m

( m ? n) 2 a C. m2

( m ? n) 2 a D. n2
A D

a 4
1 B.3

B.

a 3
2 C.3

C.

a 2
2 D.5

D.

3a 4
) .

6.若梯形的中位线被它的两条对角线三等分,则梯形的上底 a 与下底 b(a<b)的比是( 1 A.2

11.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,对角线 AC⊥BD, 且 AC=12,BD=9,则此梯形的 中位线长是( ) . A. 10 B.

7.如图,在正方形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, F 是 CD 上一点,且 CF ?

1 CD , 4
D

21 2

C.

15 2

D. 12

B
C P A

C

△ ABE ∽△ AEF , ?BAE ? 30 ,② 下列结论:①
AE ? EF ,④ △ ADF ∽△ECF . ③ 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

A

12.如图,设 P 为 ?ABC 内一点,且 AP ? 2 AB ? 1 AC , 5 5 则 ?ABP 的面积与 ?ABC 的面积之比等于( A. ) .

F B E C

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

1 2

B

8.直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形,其中一个是边长为 30 的等边三角形, 则这个梯形的中位线长是( ) . A.15 B.22.5 C.45 D.90

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.若两个相似三角形的周长比为 3 : 4 ,则它们的三角形面积比是____________. 14.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC⊥BA,AD=DC=5,则 BC 的长是__________. 15.已知:△ ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,BE 的延长线交 AC 于 点 F,则

AF ? ____________. AC

16.在△ABC中, AB ? 9,AC ? 6 ,点M在AB上且 AM ? 3 ,点N在AC上,联结MN,使△ AMN 与原三角形相似,则AN=___________ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

19.已知:如图,△ ABC中,AD平分∠ BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于 2 点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,求证:DF =CF?BF. ( 12 分)

17.如图,在 ?ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, F 为 AB 上任意一点, CF 交 AD 于点 E , 求证: AE ? BF ? 2 DE ? AF . ( 10 分)
C

D E

A

F

B

18.如图,正方形 DEMF 内接于△ ABC,若 S ?ADE ? 1 , S正方形DEFM ? 4 ,求 S ?ABC ( 12 分)
A

20.如图,CD 是 Rt△ ABC 的斜边 AB 上的高,E 是 BC 上任意一点,EF⊥ AB 于 F. 求证: AC ? AD ? AF ? CD ? EF . ( 12 分)
2

D

P

E

B

M

Q F C

例2图

22.如图,在 △ ABC 中, ?BAC ? 90 , AD 是 BC 边上的高, E 是 BC 边上的一个动点(不 21.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB ? 90 , CD ? AB ,垂足为 D ,设 BC ? a , AC ? b , 与 B,C 重合) , EF ? AB , EG ? AC ,垂足分别为 F,G .

AB ? c . CD ? b ,试说明:

1 1 1 ? 2 ? 2. ( 12 分) 2 a b h

C

EG CG ? ; AD CD (2) FD 与 DG 是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由; (3)当 AB ? AC 时, △FDG 为等腰直角三角形吗?并说明理由. ( 12 分)
(1)求证:

A

b
A

h

a
B B

c

D

F

G
C

D E

答案与解析: 1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA

∴ AF =CF?BF,∴ DF =CF?BF. 20.证明: AC ? AD AB ,
2





1 9 14.10 15. 16.2,或 3 2 D DG // AB CF G 17.证明:过 作 ,交 于 , ? CDG ?CBF , ? AEF ? DEG ∴ , AE DE DG CD ? ? ∴ , , AF DG BF CB 1 D 为 BC 的中点, CD ? CB , ∵ 2 DG 1 1 ? , DG ? BF , BF 2 2 AE 2 DE ? ,即 AE ? BF ? 2 DE ? AF . AF BF
13. 9 :16 18.解:∵ 正方形的面积为 4,∴ DE=MF=2, 过 A 点作 AQ⊥ BC 于 Q,交 DE 于 P, ∵ AP=1, S ?ADE ? 1 ,∴ ∵ DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC, ∴

AC 2 ? AD ? AF ? AD ( AB ? AF ) ? AD BF
因为 Rt ADC

Rt EFB ,所以

AD EF ? , CD BF

则 AD BF ? CD EF ,

AC 2 ? AD ? AF ? CD ? EF ,即 AC 2 ? AD ? AF ? CD ? EF .
21.解:等式

1 1 1 ? 2 ? 2 成立.理由如下: 2 a b h

∵ ?ACB ? 90? , CD ? AB ,

1 1 AB ? h , AB 2 ? a 2 ? b2 , 2 2 ab ? c ? h , ∴
∴ ab ?

a b ? c ?h , ∴
2 2 2 2

1 2 AP DE ? ,即 ? 3 BC AQ BC

∴ a b ? (a ? b )h ,
2 2 2 2 2

∴ BC=6,故 S ?ABC =9 19.证明:连AF, ∵ FH垂直平分AD, ∴ FA=FD, ∠ FAD=∠ FDA, ∵ AD平分∠ BAC,∴ ∠ CAD=∠ BAD, ∴ ∠ FAD-∠ CAD=∠ FDA-∠ BAD, ∵ ∠ B=∠ FDA-∠ BAD, ∴ ∠ FAC=∠ B,又∠ AFC 公共,

a 2b 2 (a 2 ? b 2 )h 2 ∴ 2 2 2 ? , a b h a 2b 2 h 2


1 a2 ? b2 ? , h2 a 2b 2
1 1 1 ? 2 ? 2. 2 h a b



22.证明:在四边形 AFEG 中,∵ ?FAG ? ?AFE ? ?AGE ? 90 , ∴四边形 AFEG 为矩形,∴ AF ? EG , (1)易证

AF CF ∴ △ AFC∽ △ BFA,∴ = , BF AF

EG CG ? ,而 AF ? EG , AD CD

AF CG ? ; AD CD (2) △ ABC 为直角三角形, AD ? BC , ∴ ?FAD ? ?C , 即 △ AFD ∽△CGD , ∴ ?ADF ? ?CDG ,
∴ 又 ?CDG ? ?ADG ? 90 , ∴ ?ADF ? ?ADG ? 90 ,即 ?FDG ? 90 , ∴ FD ? DG ; (3)当 AB ? AC 时, △FDG 为等腰直角三角形, 理由如下:

AB ? AC , ?BAC ? 90 ,
∴ AD ? DC 又因为 △ AFD ∽△CGD ∴

FD AD ? ? 1 , FD ? DG GD DC

又 ?FDG ? 90 ∴ △FDG , △FDG 为等腰直角三角形.


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