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高中数学必修、选修100道解答题


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高中数学必做 100 题
必修 1
1.试选择适当的方法表示下列集合: (1)函数 的函数值的集合; (2) 与 的图象的交点集合.

2.已知集合



, 求





>、

.

3.设全集 (1)求 , ,

, ,

, ;

.

4.设集合 (1)求 , ;(2)若



. ,则 的真子集共

,求实数 a 的值;(3)若

有_____个, 集合 P 满足条件

,写出所有可能的集合 P.

5.已知函数

.

(1)求

的定义域与值域(用区间表示) (2)求证



上递减.

6.已知函数

,求





的值.

7.已知函数 (1)证明 在

. 上是减函数;(2)当 时,求 的最大值和最小值.

1

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8.已知函数 (1)求函数 (2)判断 (3)求使 的定义域;

其中



的奇偶性,并说明理由; 成立的 的集合.

9.已知函数

.

(1)判断

的奇偶性; (2)若

,求 a,b 的值.

10.对于函数 使得 为奇函数.

. (1)探索函数

的单调性;(2)是否存在实数 a

11.(1)已知函数 x -2

图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点. -1.5 1.02 -1 2.37 -0.5 1.56 0 -0.38 0.5 1.23 1 2.77 1.5 3.45 2 4.89 的

f (x) -3.51 (2)已知二次方程 取值范围.

的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求

12.某商场经销一批进货单价为 40 元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表: 销售单价/元 日均销售量/个 50 48 51 46 52 44 53 42 54 40 55 38 56 36

为了获取最大利润,售价定为多少时较为合理?

2

本文档由 LYF 整理,便于阅读和打印。 13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函数型变化,

满足关系式

,其中

是臭氧的初始量. (1)随时间的增加,臭氧的含量是

增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?

14.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为了以后 估计每个月的产量,以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量 与月份 数 的关系,模拟函数可选用二次函数 或指数型函数 (其中 (其中 为常数,且 )

为常数) , 已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,

请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.

15.如图, 为

是边长为 2 的正三角形,记 的解析式,并画出函数

位于直线 的图象.

左侧的图形的面积

. 试求函数

16.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血 液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效.求服药一 次治疗疾病有效的时间?

3

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必修 2
1.圆锥底面半径为 1 cm,高为 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.

2.如图(单位:cm),求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.

3.直角三角形三边长分别是





,绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想

象并说出三个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积.

4.已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、CD 上的点,



.

求证:(1)E、F、G、H 四点共面;(2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点.

4

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5.如图, ∥

∥ , 直线 与 分别交

, , 于点

和点

, 求证:

.

6.如图,在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中. 求证:(1)B1 D⊥平面 A1 C1 B; (2)B1 D 与平面 A1 C1 B 的交点设为 H,则点 H 是△A1

C1 B 的垂心.

7.(06 年北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥

中,







,且

,点



的中点. 平面 ;(3)求二面角 的大

(1) 求证: 小.

; (2)求证:

5

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8.已知





,求点 D 的坐标,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD.

9.求过点

,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

10.三角形的三个顶点是 A(4,0)、B(6,7)、C(0,3). (1)求 BC 边上的高所在直线的方程; (3)求 BC 边的垂直平分线的方程. (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程;

11.在 x 轴上求一点

,使以点



和点 P 为顶点的三角形的面积为 10.

12.过点

有一条直线 l,它夹在两条直线



之间的线

段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程.

13.

的三个顶点的坐标分别是



、;

,求它的外接圆的方程.

14.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 AB 的中点轨迹方程.

上运动,求线段

15.过点 16.求圆心在直线

的直线 l 被圆 上,并且经过圆

所截得的弦长为 与圆

,求直线 l 方程.

的交点的圆的方程.

必修 3
1.设计一个算法求 的值,并画出程序框图.

6

本文档由 LYF 整理,便于阅读和打印。 2.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下.

(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计元件寿命在 100~400 h 以内 的在总体中占的比例;(4)估计电子元件寿命在 400 h 以上的在总体中占的比例.

3.甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?

4.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料:

(1)回归直线方程;(2)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少?(参考:



5.在一次商贸交易会上,商家在柜台开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜 台参与抽奖. (1)若抽奖规则是从一个装有 6 个红球和 4 个白球的袋中无放回地取出 2 个球,当两个球 同色时则中奖,求中奖概率; (2)若甲计划在 9:00~9:40 之间赶到,乙计划在 9:20~ 10:00 之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.

6.(08 年韶关模拟)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均 为整数)分成六段 的信息,回答下列问题: , … 后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形

7

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(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (3)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 80 分以上(包括 80 分)的学生中选两人,求他们选在同一组的概率.

7.(08 年广东卷.文)某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表:

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y 245, z 245,求初三年级中女生比男生多的概率.

8.(09 年广东卷.文)随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm), 获得身高数据的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的 同学被抽中的概率.

8

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必修 4
1.已知角 a 的终边经过 P(4,-3). (1)求 2sina-cosa 的值; (2)求角 a 的终边与单位圆的交点 P 的坐标.

2.已知

,计算:

(1)

; (2)

; (3)

; (4)

.

3.求函数

的定义域、周期和单调区间.

4.已知 tanα= (1)

,计算: ; (2) .

5.画函数 y=3sin(2x+

),x∈R 简图,并说明此函数图象怎样由

变换而来.

6.某正弦交流电的电压 (单位 V)随时间 t(单位:s)变化的函数关系是

. (1)求该正弦交流电电压 的周期、频率、振幅; (2)当 , 时,求瞬时电压 ;

(3)将此电压 加在激发电压、熄灭电压均为 84V 的霓虹灯的两端,求在半个周期内霓虹 灯管点亮的时间?(说明:加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管才发光. 取 )

7.平面上三个力 与 的夹角为





作用于一点且处于平衡状态, 的大小; (2) 与

, 夹角的大小.



,求:(1)

9

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8.已知





(1)求 与 的夹角 ; (2)若 ,且 ,试求 .

9.已知



,求

的值.

10.已知







,求

的值.

已知 的值.

, 0<β<

, cos(

-α)=

, sin(

+β)=

, 求 sin(α+β)

11.(1)(07 年江苏卷.11)已知



,求

的值;

(2)已知



,求

的值.

12.已知函数

.

(1) 求它的递减区间; (2)求它的最大值和最小值.

13.已知函数

.

(1)求 的集合.

的最小正周期; (2)当

时,求

的最小值以及取得最小值时 x

10

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14.已知函数 (1)求常数 a 的值; (2)求使

的最大值为 1. 成立的 x 的取值集合.

15.(09 年广东卷.理 16)已知向量 (1)求 和 的值;



互相垂直,其中



(2)若

,求

的值.

16.已知 (1)求 及 ; (2)求函数

,且

. 的最小值.

必修 5
1.在△ABC 中,已知 , ,B=45° ,求 A、C 及 c.

2.在△ABC 中,若

,判断△ABC 的形状.

3.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a2 +b2 =c2 +

ab.

(1)求 C; (2)若

,求 A.

4.如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 C,D,已知△ACD 为边长等于 a 的正三 角形.当目标出现于 B 时,测得∠CDB=45° ,∠BCD=75° ,试求炮击目标的距离 AB. (结

11

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5.如图, 一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内, 已知飞机的高度为海拔 10 千米, 速度为 180 千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为 为 ,求山顶的海拔高度. ,经过 2 分钟后又看到山顶的俯角

6.已知数列

的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后各项由

给出.

(1)写出这个数列的前 5 项;

(2)利用上面的数列 前 5 项.

,通过公式

构造一个新的数列

,试写出数列



7.已知数列

的前 项和为

,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列

吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

8.(09 年福建卷·文 17)等比数列 (1)求数列 的通项公式;

中,已知

.

12

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(2)若 .

分别为等差数列

的第 3 项和第 5 项,试求数列

的通项公式及前 项和

9. 如果一个等比数列前 5 项的和等于 10,前 10 项的和等于 50,那么它的前 15 项的和等于 多少?

10.已知数列 (1)求

的前 项和为

, 是等比数列.

.

(2)求证:数列

11.已知不等式 (1)求

的解集为 A,不等式 ;(2)若不等式 的解集是

的解集是 B. 求 的解集.

12.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯 15 元的价格销售,每天能卖出 30 盏;若售 价每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏. 为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入,应 怎样制定这批台灯的销售价格(不能低于 15 元)?

13.电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中,连续剧甲每次播放时间为 80 min,广告时 间为 1 min,收视观众为 60 万;连续剧乙每次播放时间为 40 min,广告时间为 1 min,收视 观众为 20 万. 已知此企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放 6 min 广告,而电 视台每周播放连续剧的时间不能超过 320 分钟. 问两套连续剧各播多少次, 才能获得最高的 收视率?

14. 已知

为正数.

(1)若

,求

的最小值;(2)若

,求

的最大值.

13

本文档由 LYF 整理,便于阅读和打印。 15.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m3 ,深为 3 m,如果池底每平方 米的造价为 150 元, 池壁每平方米的造价为 120 元, 怎样设计水池能使总造价最低?最低总 造价是多少元?

16. (05 年北京春招) 经过长期观测得到: 在交通繁忙的时段内, 某公路段汽车的车流量 (千 辆/小时)与汽车的平均速度 (千米/小时)之间的函数关系为:

. (1)在该时段内,当汽车的平均速度 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少? (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

选 修(上)
1.已知 求实数 的取值范围. , , 若 的必要不充分条件,

2.设函数 (1)求函数 f(x)的单调区间;

.

(2)求函数 f(x)的极大值和极小值.

3.点

与定点

的距离和它到直线

的距离的比是常数

, 求 M 的轨迹.

4.双曲线的离心率等于

,且与椭圆

有公共焦点,求此双曲线的方程.

5.倾斜角为 AB 的长.

的直线 l 经过抛物线

的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段

14

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6.当





变化时,方程

表示的曲线的形状怎样变换?

7.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 52 米,拱顶距离水面 6.5 米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系 xoy,试求拱桥所在抛物线的方程; (2)若一竹排上有一 4 米宽 6 米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?

8.已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (

,0)和 F2 (2

,0),长轴长为 6,设直线 y=x+2

交椭圆 C 于 A、B 两点. 求:(1)线段 AB 的中点坐标; (2)弦 AB 的长.

9.在抛物线 离.

上求一点 P,使得点 P 到直线

的距离最短, 并求最短距

10.点 M 是椭圆 的面积.

上的一点,F1 、F2 是左右焦点,∠F1 MF2 =60? ,求△F1 MF2

11.(06 年江苏卷)已知三点 P(5,2)、 (1)求以 、

(-6,0)、

(6,0). 、 关于直线 y=x

为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;(2)设点 P、 、 、 ,求以 、 为焦点且过点

的对称点分别为

的双曲线的标准方程。

15

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12.已知函数 (1)求函数 (2)求曲线

( 为自然对数的底). 的单调递增区间; 在点 处的切线方程.

13.(06 年福建卷)已知函数 . (1)求函数

的图象在点

处的切线方程为

的解析式;(2)求函数

的单调区间.

14.已知 a 为实数, (2)若 (3)若 在 ,求 和 在

,(1)求导数 上的最大值和最小值;



上都是增函数,求 a 的取值范围.

15.(05 年全国卷 III.文)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在 四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接而成(如图),问该容器的高 为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

16.(06 年江西卷)已知函数 (1)求 a、b 的值与函数 (2)若对 的单调区间.





时都取得极值,

时,不等式

恒成立,求 c 的取值范围.

16

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选 修(下)
考点:①会画散点图②能利用公式求线性回归方程 1、某种产品的广告费用支出 (万元)与销售额 (万元)之间有如下的对应数据:

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为 9 万元时,销售收入 的值.

参考公式:回归直线的方程

,其中

.

考点:①会根据数据绘制

列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性(独立性检验)

2、甲乙两个班级均为 40 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进行统计,甲 班及格人数为 36 人,乙班及格人数为 24 人. (1)根据以上数据建立一个 的列联表;

(2)试判断是否成绩与班级是否有关?

参考公式:



考点:合情推理及证明

3、已知

,分别求





,然后归纳猜想

一般性结论,并证明你的结论.

4、(1)若三角形的内切圆半径为 r,三边的长分别为 a,b,c,则三角形的面积

,根据类比思想,若四面体的内切球半径为 R,四个面的面积分别为 ,则此四面体的体积 V=________.

17

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(2)(03 年全国卷)在平面几何里有勾股定理:“设

的两边

互相垂直,则

.” 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底 面面积之间的关系, 可以得出的正确结论是: “设三棱锥 两两垂直,则__________.” 的三侧面

考点:综合法、分析法、反证法的步骤和格式 5、试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法,证明下列结论: 已知 ,则

.

考点:证明方法的合理利用 6、已知 项. , , 的等差中项, 是 的等比中

求证:(1)

; (2)

.

考点:①复数的运算②复数的共轭

7、(1)已知





,求 z.

(2)已知

,求 z 及

.

考点:复数的几何意义(对应复平面上的点)

8、已知 z 是复数,z+2i、 求实数 a 的取值范围.

均为实数,且复数

在复平面上对应的点在第一象限,

18

本文档由 LYF 整理,便于阅读和打印。 考点:利用空间向量解决立体几何问题(涉及空间直角坐标系的建立、空间点坐标的表示、 空间向量数量积的运算、平面向量定理、空间向量垂直的判定) 9、如图,PD 垂直正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 是 PB 的中点,







(1)建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标; (2)在平面 PAD 内求一点 F,使 EF⊥平面 PCB.

考点:数学归纳法(步骤) 11、数列 (1)计算 满足 ,并由此猜想 .( 为前 n 项和)

;(2)用数学归纳法证明(1)中的结论.

考点:绝对值不等式(涉及分段函数的图像) 12、(07 年宁夏、海南.理)设函数 (1)解不等式 (2)求函数 ; 的最小值. .

考点:①求概率②求随机变量的分布列和期望 10、(07 年北京高考·理 18)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 (以下简称活动).该校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率. (3) 从合唱团中任选两名学生, 用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值, 求随机变量

19

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的分布列及数学期望



20


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