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2016年广西高考数学适应性试卷(文科)(解析版)


2016 年广西高考数学适应性试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x∈N|x>2},集合 B={x∈N|x<n,n∈N},若 A∩B 的元素的个数为 6, 则 n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.设 i 为虚数单位, (﹣3+4i)2=a+bi(a,b∈R) ,则|a+bi|等于( ) A.5 B.10 C.25 D.50 3.设奇函数 f(x)满足 3f(﹣2)=8+f(2) ,则 f(﹣2)的值为( ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 4.若 A. B. C.﹣4 D.4 ,则 tanθ 等于( )

5.已知双曲线 心率为( A. B. )



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=

x,则此双曲线的离

C.

D. 对称,则 φ 的最大值为( )

6.若函数 f(x)=2sin(4x+φ) (φ<0) 的图象关于直线 x= A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣

7.若 x,t 满足约束条件

,且目标函数 z=2x+y 的最大值为 10,则 a 等于(



A.﹣3 B.﹣10 C.4 D.10 8. 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 则记为 N≡n (mod m) , 例如 10≡4 (mod 6) . 下 面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理) ,执行该程序框图,则输出的 n 等于( )

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A.17 B.16 C.15 D.13 9.一底面是直角梯形的四棱柱的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则该四棱柱的体 积为( )

A.20 B.28 C.20 或 32 D.20 或 28 10. 某市对在职的 91 名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查, 结果如下表所示: 教龄在 10 年以上的教师 教龄在 10 年以下的教师 合计 附表: P(K2≥k0) 0.050 k0 3.841 给出相关公式及数据:K2= 支持新教材 12 22 34 0.010 6.635 支持旧教材 34 23 57 0.001 10.828 ,其中 n=a+b+c+d. 合计 46 45 91

(12×23﹣22×34)2=222784,34×57×46×45=4011660. 参照附表,下列结论中正确的是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关” B.在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关” C.在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关” D.我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关” 11.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 为 AB 的中点,CE=3,cos ∠ACE= ,且四边形 ABB1A1 为正方形,则球 O 的直径为( )

A.4 B. C.4 或 D.4 或 5 3 2 12.函数 f(x)=lg(ax ﹣x +5a)在(1,2)上递减,则实数 a 的取值范围是( A.[ , ] B. ( , ] C. (﹣∞, ] D.[ ,+∞)



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡中的横线上) 13.设函数 14. 设向量 ,则 f(f(﹣1) )= = m) (1, , = (2m, ﹣1) , 其中 m∈[﹣1, +∞) , 则 ,3sinC=8sinA,且△ABC 的面积为 6 . ? 的最小值为 ,则△ABC 的周长 .

15.在△ABC 中,B= 为 .

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16.设 m>0,点 A(4,m)为抛物线 y2=2px(p>0)上一点,F 为焦点,以 A 为圆心|AF| 为半径的圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6,则圆 C 的标准方程为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列 为等差数列,且 a1=8,a3=26.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 18.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表: X A B C 人数 Y A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生 n 人,成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示 数学成绩与地理成绩,例如:表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人,数学成绩为 B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人.已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 0.07. (1)设在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值; (2)已知 a≥8,b≥6,求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率. 19.如图,在四棱锥 A﹣EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF=2, 四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形,EF∥BC,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥CF; (2)求 O 到平面 ABC 的距离.

20.如图,椭圆

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,焦距为 2

,直线 x=

﹣a 与 y=b 交于点 D,且|BD|=3 点 P. (1)求椭圆的方程; (2)证明: 为定值.

,过点 B 作直线 l 交直线 x=﹣a 于点 M,交椭圆于另一

21.设 a∈R,函数 f(x)=ax2﹣lnx,g(x)=ex﹣ax. (1)当 a=7 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;
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(2)若 f(x)?g(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围. [选做题] 22.如图,从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB,C 为切点,OD⊥BC,垂足为 D. (1)求证:AC?CP=2AP?BD; (2)若 AP,AB,BC 依次成公差为 1 的等差数列,且 ,求 AC 的长.

[选做题]

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在直角坐标系中,以原点 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程为 ρ=2

cos(θ﹣

)﹣2sinθ.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)点 P、Q 分别为直线 l 与曲线 C 上的动点,求|PQ|的取值范围. [选做题] 24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|; (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+4n≥2 +3.

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2016 年广西高考数学适应性试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x∈N|x>2},集合 B={x∈N|x<n,n∈N},若 A∩B 的元素的个数为 6, 则 n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A∩B 中的元素,从而判断出 n 的值即可. 【解答】解:集合 A={x∈N|x>2}, 集合 B={x∈N|x<n,n∈N}, 若 A∩B 的元素的个数为 6, 即 A∩B={3,4,5,6,7,8}, 则 n 等于 9, 故选:D. 2.设 i 为虚数单位, (﹣3+4i)2=a+bi(a,b∈R) ,则|a+bi|等于( A.5 B.10 C.25 D.50 【考点】复数求模. 【分析】分别求出 a,b 的值,从而求出|a+bi|即可. 【解答】解:∵(﹣3+4i)2=a+bi(a,b∈R) , ∴a+bi=﹣7+24i, =25, 则|a+bi|= 故选:C. 3.设奇函数 f(x)满足 3f(﹣2)=8+f(2) ,则 f(﹣2)的值为( A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 ) )

【考点】函数的值. 【分析】求出 f(2)=﹣f(﹣2) ,代入 3f(﹣2)=8+f(2) ,得到 3f(﹣2)=8﹣f(﹣2) , 解出即可. 【解答】解:∵f(x)是奇函数, ∴f(2)=﹣f(﹣2) , ∵3f(﹣2)=8+f(2) , ∴3f(﹣2)=8﹣f(﹣2) , ∴4f(﹣2)=8, ∴f(﹣2)=2, 故选:D.

4.若

,则 tanθ 等于(



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A.

B.

C.﹣4 D.4

【考点】三角函数的化简求值;两角和与差的正弦函数. 【分析】利用两角和与差的正弦函数化简已知条件,然后求解即可. 【解答】解: ∴tanθ= . 故选:B. ,可得:sinθ+cosθ=5sinθ,∴cosθ=4sinθ,

5.已知双曲线 心率为( A. B. )



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=

x,则此双曲线的离

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程,由题意可得 b= 公式计算即可得到所求值. 【解答】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x, a,由 a,b,c 的关系和离心率

由题意可得 = 即为 b= c= 可得 e= = 故选:A. a, =



a, .

6.若函数 f(x)=2sin(4x+φ) (φ<0) 的图象关于直线 x= A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣

对称,则 φ 的最大值为(



【考点】正弦函数的图象. 【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性,求得 φ 的最大值. 【解答】解:∵函数 f(x)=2sin(4x+φ) (φ<0)的图象关于直线 x= ∴4? +φ=kπ+ ,即 φ=kπ+ ,k∈Z,故 φ 的最大值为﹣ , 对称,

故选:B.
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7.若 x,t 满足约束条件

,且目标函数 z=2x+y 的最大值为 10,则 a 等于(



A.﹣3 B.﹣10 C.4

D.10

【考点】简单线性规划. a) 【分析】 画出满足条件的平面区域, 显然直线过 A (3, 时, 直线取得最大值, 得到 10=6+a, 解出即可.

【解答】解:画出满足约束条件

的平面区域,如图示:



显然直线过 A(3,a)时,直线取得最大值, 且目标函数 z=2x+y 的最大值为 10,则 10=6+a, 解得:a=4, 故选:C. 8. 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 则记为 N≡n (mod m) , 例如 10≡4 (mod 6) . 下 面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理) ,执行该程序框图,则输出的 n 等于( )

A.17

B.16

C.15

D.13
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【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足 条件: ①被 3 除余 2, ②被 5 除余 2, 即被 15 除余 2,最小两位数, 故输出的 n 为 17, 故选:A 9.一底面是直角梯形的四棱柱的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则该四棱柱的体 积为( )

A.20

B.28

C.20 或 32 D.20 或 28

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】根据正(主)视图,侧(左)视图,可得梯形的上底为 1 或 3,下底为 4,高为 2, 棱柱的高为 4,代入棱柱的体积公式计算. 【解答】解:由图可知,梯形的上底为 1 或 3,下底为 4,高为 2,棱柱的高为 4, 所以体积为 故选:D. 10. 某市对在职的 91 名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查, 结果如下表所示: 支持新教材 支持旧教材 合计 12 34 46 教龄在 10 年以上的教师 22 23 45 教龄在 10 年以下的教师 34 57 91 合计 附表: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 给出相关公式及数据:K2= ,其中 n=a+b+c+d. =20 或 =28.

(12×23﹣22×34)2=222784,34×57×46×45=4011660. 参照附表,下列结论中正确的是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关” B.在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关” C.在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关”
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D.我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关” 【考点】独立性检验的应用. 【分析】根据列联表中的数据,计算观测值 K2,对照数表即可得出结论. 【解答】解:根据列联表中的数据,计算观测值 K2= = ≈5.0536>3.841,

对照数表得出结论: 在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“教龄的长短与支持新教材有关”. 故选:B. 11.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 为 AB 的中点,CE=3,cos ∠ACE= A.4 B. ,且四边形 ABB1A1 为正方形,则球 O 的直径为( C.4 或 D.4 或 5 , 由余弦定理可得 x2=9+3x2+9﹣2×3× )

【考点】球的体积和表面积. BC= 【分析】 设 AB=2x, 则 AE=x, × ,求出 x,即可求出球 O 的直径. ,

【解答】解:设 AB=2x,则 AE=x,BC= ∴AC= , ×

由余弦定理可得 x2=9+3x2+9﹣2×3× ∴x=1 或 , ∴AB=2,BC=2 ,球 O 的直径为 或 AB=2 ,BC= ,球 O 的直径为 故选:C.



=4, = .

12.函数 f(x)=lg(ax3﹣x2+5a)在(1,2)上递减,则实数 a 的取值范围是( A.[ , ] B. ( , ] C. (﹣∞, ] D.[ ,+∞)



【考点】函数单调性的性质. 【分析】令 y=ax3﹣x2+5a,由条件利用复合函数的单调性可得在(1,2)上,y>0 且 y 单 调递减,故 y′=3ax2﹣2x<0,再利用二次函数的性质求得 a 的范围. 【解答】解:令 y=ax3﹣x2+5a,则 f(x)=lgy,∴在(1,2)上,y>0 且 y 单调递减,

故 y′=3ax2﹣2x=x(3ax﹣2)<0,∴

①,或

②.

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解①可得 综上可得, 故选:A.

≤a≤ ,解②求得 a 无解. ≤a≤ ,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡中的横线上) 13.设函数 ,则 f(f(﹣1) )=0.

【考点】函数的值. 【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可. 【解答】解:由分段函数得 f(﹣1)= ,则 f( )=2× ﹣1=1﹣1=0, 故 故答案为:0 .

14.设向量

=(1,m) ,

=(2m,﹣1) ,其中 m∈[﹣1,+∞) ,则

?

的最小值为 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】求出 的坐标,代入向量的数量积公式得出 的性质得出 的最小值. =(2m+1,m﹣1) 【解答】解: . ∴ =2m+1+m(m﹣1)=m2+m+1=(m+ )2+ .

关于 m 的函数,根据二次函数

∵m∈[﹣1,+∞) , ∴当 m=﹣ 时, 故答案为: . 取得最小值 .

15.在△ABC 中,B=

,3sinC=8sinA,且△ABC 的面积为 6

,则△ABC 的周长为 18.

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】由已知及正弦定理可得 3c=8a,又由 B= ,利用三角形面积公式可求 ac=24,联

立可解得:a,c 的值,利用余弦定理可求 b 的值,即可得解三角形周长. 【解答】解:∵3sinC=8sinA,由正弦定理可得 3c=8a,① 又∵B= ,△ABC 的面积为 6 = acsinB= ac,解得:ac=24,②

∴由①②联立,可解得:a=3,c=8, ∴由余弦定理可得:b= =
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=7,

∴△ABC 的周长为:a+b+c=3+7+8=18. 故答案为:18. 16.设 m>0,点 A(4,m)为抛物线 y2=2px(p>0)上一点,F 为焦点,以 A 为圆心|AF| 为半径的圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6,则圆 C 的标准方程为(x﹣4)2+(y﹣4)2=25. 【考点】圆的标准方程;圆的一般方程. 【分析】由题意可得点 A(4,m)到 y 轴的距离为 4,又已知圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6, 可求出|AF|的值,进一步得到 p 的值,把点 A(4,m)代入抛物线的方程,求得 m 的值, 可得圆心和半径,从而得到所求的圆的标准方程. 【解答】解:由题意可得点 A(4,m)到 y 轴的距离为 4,又已知圆 C 被 y 轴截得的弦长 为 6, 得|AF|= ,则 ,∴p=2. .

∵点 A(4,m)为抛物线 y2=2px(p>0)上一点,∴ ∴圆 C 的标准方程为(x﹣4)2+(y﹣4)2=25. 故答案为: (x﹣4)2+(y﹣4)2=25.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列 为等差数列,且 a1=8,a3=26.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和. 【分析】 (1)利用已知条件求出数列的公差,然后求出通项公式. (2)直接把数列变为两个数列,一个是等差数列一个是等比数列,分别求和即可. 【解答】解: (1)设数列 ∴ ∴ ∴ … ,… , 的公差为 d,∵ ,

(2)



18.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表: X 人数 Y A B

A

B

C

14 a

40 36
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10 b

C

28

8

34

若抽取学生 n 人,成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示 数学成绩与地理成绩,例如:表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人,数学成绩为 B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人.已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 0.07. (1)设在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值; (2)已知 a≥8,b≥6,求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)由频率= ,能求出 a,b 的值.

(2)由 14+a+28>10+b+34,得 a>b+2.由此利用列举法能求出所求概率. 【解答】解: (1)由频率= ∴ ,故 a=18, ,得到 ,

而 14+a+28+40+36+8+10+b+34=200, ∴b=12.… (2)∵a+b=30 且 a≥8,b≥6, ∴由 14+a+28>10+b+34,得 a>b+2. (a,b)的所有结果为(8,22) , (9,21) , (10,20) , (11,19) ,…(24,6)共 17 组, a b 2 8 其中 > + 的共 组, 故所求概率为: .…

19.如图,在四棱锥 A﹣EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF=2, 四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形,EF∥BC,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥CF; (2)求 O 到平面 ABC 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)证明 AO⊥EF,推出 AO⊥平面 EFCB,即可证明 AO⊥CF. (2)取 BC 的中点 G,连接 OG.推出 OG⊥BC,OA⊥BC,得到 BC⊥平面 AOG,过 O 作 OH⊥AG,垂足为 H,说明 OH⊥平面 ABC,O 到平面 ABC 的距离为 OH,求解即可. 【解答】 (1)证明:因为△AEF 等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AO⊥EF… 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,AO? 平面 AEF,平面 AEF∩平面 EFCB=EF, 所以 AO⊥平面 EFCB,… 又 CF? 平面 EFCB,所以 AO⊥CF… (2)解:取 BC 的中点 G,连接 OG. 由题设知,OG⊥BC… 由(1)知 AO⊥平面 EFCB,
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又 BC? 平面 EFCB,所以 OA⊥BC,因为 OG∩OA=O,所以 BC⊥平面 AOG… 过 O 作 OH⊥AG,垂足为 H,则 BC⊥OH,因为 AG∩BC=G,所以 OH⊥平面 ABC. … 因为 ,所以 , . (另外用等体积法亦可)…

即 O 到平面 ABC 的距离为

20.如图,椭圆

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,焦距为 2

,直线 x=

﹣a 与 y=b 交于点 D,且|BD|=3 点 P. (1)求椭圆的方程; (2)证明: 为定值.

,过点 B 作直线 l 交直线 x=﹣a 于点 M,交椭圆于另一

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.

【分析】 (1)利用已知条件列出

,求解可得椭圆的方程.

(2)设 M(﹣2,y0) ,P(x1,y1) ,推出 =(x1,y1) , =(﹣2,y0) .直线 BM 的方 程,代入椭圆方程,由韦达定理得 x1,y1,然后求解 为定值. 【解答】解: (1)由题可得

,∴



∴椭圆的方程为



(2)A(﹣2,0) ,B(2,0) ,设 M(﹣2,y0) ,P(x1,y1) , 则 =(x1,y1) , =(﹣2,y0) . 直线 BM 的方程为: ,即 ,…

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代入椭圆方程 x2+2y2=4,得

,…

由韦达定理得

,…



,∴

,…

∴ 即

=﹣2x1+y0y1=﹣ 为定值.….

+

=

=4.

21.设 a∈R,函数 f(x)=ax2﹣lnx,g(x)=ex﹣ax. (1)当 a=7 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 f(x)?g(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求得 f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,运用点斜式方程可得切线的方 程; (2)由 f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,a>( )max,设 h(x)= (x>0) ,

求出 a 的范围,结合 f(x)?g(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,得到 a< 恒成立.设 H(x)= ,求出 a 的范围,取交集即可.

对 x∈(0,+∞)

【解答】解: (1)函数 f(x)=7x2﹣lnx 的导数为 f′(x)=14x﹣ , 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 14﹣1=13, 1 7 切点为( , ) ,可得切线的方程为 y﹣7=13(x﹣1) , 即为 13x﹣y﹣6=0; (2)若 f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 即 ax2﹣lnx>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,则 a>( 设 h(x)= (x>0) , )max,

则 h′(x)=



当 0<x<e 当 x>e

时,h'(x)>0,函数 h(x)递增; 时,h'(x)<0,函数 h(x)递减.

第 14 页(共 18 页)

所以当 x>0 时,h(x)max=h(e ∴a> .

)=



∵h(x)无最小值, ∴f(x)<0 对 x∈(0,+∞)恒成立不可能. ∵f(x)?g(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立, ∴g(x)=ex﹣ax>0,即 a< 设 H(x)= , 对 x∈(0,+∞)恒成立.

∴H′(x)=



当 0<x<1 时,H'(x)<0,函数 H(x)递减; 当 x>1 时,H'(x)>0,函数 H(x)递增, 所以当 x>0 时,H(x)min=H(1)=e, ∴a<e. 综上可得, <a<e.

[选做题] 22.如图,从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB,C 为切点,OD⊥BC,垂足为 D. (1)求证:AC?CP=2AP?BD; (2)若 AP,AB,BC 依次成公差为 1 的等差数列,且 ,求 AC 的长.

【考点】相似三角形的判定. 【分析】 (1)证明△CAP~△BCP,然后推出 AC?CP=2AP?BD; (2)设 AP=x(x>0) ,则 AB=x+1,BC=x+2,由切割定理可得 PA?PB=PC2,求出 x,利用 (1)即可求解 AC 的长. 【解答】 (1)证明:∵PC 为圆 O 的切线,∴∠PCA=∠CBP, 又∠CPA=∠CPB,故△CAP~△BCP, ∴ ,即 AP?BC=AC?CP.

又 BC=2BD,∴AC?CP=2AP?BD… (2)解:设 AP=x(x>0) ,则 AB=x+1,BC=x+2, 由切割定理可得 PA?PB=PC2,∴x(2x+1)=21,∵x>0,∴x=3,∴BC=5, 由(1)知,AP?BC=AC?CP,∴ ,∴ …

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[选做题]

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在直角坐标系中,以原点 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程为 ρ=2

cos(θ﹣

)﹣2sinθ.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)点 P、Q 分别为直线 l 与曲线 C 上的动点,求|PQ|的取值范围. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)化简曲线方程 C,可得 ρ=2cosθ,即 ρ2=2ρcosθ,结合 ρsinθ=y,ρcosθ=x,即 可得曲线 C 的直角坐标方程; (2) 将直线 l 的参数方程化为普通方程, 结合圆心到直线的距离, 结合图形, 即可得出|PQ| 的最小值,即可得出|PQ|的取值范围. 【解答】解: (1)∵曲线 C 的方程为 ρ=2 =2cosθ+2sinθ﹣2sinθ=2cosθ, ∴ρ2=2ρcosθ, 又∵ρsinθ=y,ρcosθ=x, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x, 即 C 的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1, cos(θ﹣ )﹣2sinθ

(2)∵直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

消去 t 可得,l 的普通方程为 y= ∴圆 C 的圆心到 l 的距离为 d=

(x+2) ,即 x﹣ = ,

+2=0,

∴|PQ|的最小值为 d﹣1= ﹣1, ∴|PQ|的取值范围为[ ﹣1,+∞) . [选做题] 24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|; (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+4n≥2 +3.

【考点】分段函数的应用;基本不等式. 【分析】 (1)利用绝对值的应用表示成分段函数形式,解不等式即可. 2 ( )根据不等式的解集求出 a=1,利用 1 的代换结合基本不等式进行证明即可. 【解答】解: (1)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|, 即|x﹣2|+|x﹣1|≥7, 当 x≥2 时,不等式等价为 x﹣2+x﹣1≥7,即 2x≥10,即 x≥5,此时 x≥5;
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当 1<x<2 时,不等式等价为 2﹣x+x﹣1≥7,即 1≥7,此时不等式不成立,此时无解, 当 x≤1 时,不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7,则 2x≤﹣4,得 x≤﹣2,此时 x≤﹣2, 综上不等式的解为 x≥5 或 x≤﹣2,即不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞) . (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], 由|x﹣a|≤1 得﹣1+a≤x≤1+a. 即 即 + 得 a=1, =a=1, (m>0,n>0) , )=1+2+ + ≥3+2 =2 +3.

则 m+4n=(m+4n) ( + 当且仅当 故 m+4n≥2 =

,即 m2=8n2 时取等号, +3 成立.

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2016 年 9 月 7 日

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