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喝饮料品数学(建模论文)


喝饮料 品数学
指导老师: 湖南省 株洲市 北京师范大学株洲附属学校 C0812 班晏阳天 指导老师:董宏亮 摘要: 摘要:喝饮料,品数学。在日常生活中我们经常遇到用空瓶换汽水问题, 喝完了 凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝,从中引发了我对问题的深入思考。如果 用 3 个空瓶换一瓶新的汽水,当原有瓶数 X 为偶数时, 当原有瓶数为 X 时, 总共能 喝到多少瓶汽水呢?如

果 现有 X 瓶汽水,每 Y 个空瓶可以换一瓶新的汽水。总 共又能喝到多少瓶汽水呢?这个问题的探讨与解决, 对于我们在日常生活中如何 使开支与效益达到最优化等问题,具有一定的指导意义。 关键词: 关键词: 饮料 瓶数 空瓶 兑换 优化

一.问题的发现 问题的发现
日常生活中,我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽 水还能用空瓶换汽水继续喝,那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果 没有经历过,那么这道小学时的奥林匹克数学题你应该见到过: 现有 10 瓶汽水,每三个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝 到多少瓶汽水呢? 我曾经问过不少人这道题,他们给的结果通常都是 14 瓶(先喝 10 瓶,用 9 空瓶换来 3 整瓶,喝 3 瓶,还有 3+1=4 个空瓶。然后用 3 个空瓶再换一整瓶,喝掉。最后剩下 2 个空瓶。共 10+3+1=14 瓶) 当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候, 有些聪明人 就给出了正确答案:借来一个装满饮料瓶,喝完后,连同那剩下的两 个空瓶一起还给人家。所以共喝了 15 瓶。 这就是这道题的正确答案。 最近我突然想到了这个问题, 它能不能被深入地推广一下呢?于 是我就开始了对这个论文题目的思考与研究。

二. 建立数学模型
我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据: 原有饮料瓶数 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 实际能喝到的瓶数 1 3 4 6 7 9 10 12 13 15

注意观察:看下方整理过的列表 意观察: 发现什么了吗? 原有饮料瓶数 X 2 4 实际能喝到的瓶数 3 6

6 8 10

9 12 15

1 3 5 7 9

1 4 7 10 13

根据不完全归纳的情况,我得出这样一个重要的规律: 当原有偶数瓶饮料时,实际能喝到原来 1.5 倍瓶数的饮料。 当原有奇数瓶时,则实际喝到原来 1.5 倍瓶数取整数的饮料。 但这只是不完全归纳,如何从正面直接推导呢?

三. 数学模型的分析与问题的解决
又经过我细致的观察,发现:只要是每有两个空瓶,都可以运用 文章开头那种“借瓶子”的方法再喝一瓶饮料。这个发现太重要了。 我可以这样处理那些剩余的空瓶:分为两个两个一组,每一组等于一

瓶“没有空瓶”的汽水(只可以喝,但不能得到空瓶)。这样就可以 正面对待问题了。 当原有瓶数 X 为偶数时:先喝掉 X 瓶,然后把空瓶分为 2 个组, 每组 0.5X 个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉 X + 0.5X = 1.5 X 瓶。 当原有瓶数 X 为奇数时:先喝掉 X 瓶,然后把空瓶分为 2 个组, 每组 0.5(X-1)个,还剩一个空瓶,浪费掉。共喝 X +0.5(X—1)= 1.5X-0.5 瓶。其实取整之后结果是和上述整理过的表格一一对应的。 这正验证了上文中不完全归纳得出的结论。通过这种思想,我们 能不能进一步再推广呢?如果是 4 个、5 个或更多空瓶换一瓶饮料, 又会怎么样呢?

四. 数学模型的进一步推广
现有 X 瓶汽水,每 Y 个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝 到多少瓶汽水呢? 由上文的推导过程来看,如果是 Y 个空瓶可以换一瓶饮料,那么 每拥有(Y—1)个空瓶,就可以用借瓶子法得到一瓶饮料。所以当喝 完 X 瓶饮料得到 X 个空瓶之后,又能喝到 [ X/(Y—1)] 瓶饮料。 总共就是 [ X + X /(Y—1)] 瓶饮料(若除不尽时则向下取整数). 整理该式子,就得到了最后的结论:可以喝到 [ XY /(Y—1)] 瓶 饮料(若除不尽则向下取整数)。

论文总结: 五. 论文总结:
问题:现有 X 瓶饮料,每 Y 个空瓶可以换一瓶新的饮料。问总 共能喝到多少瓶饮料呢? 答:总共可以喝到 [ XY /(Y—1)] 瓶饮料(若除不尽则向下取整数) 这篇文章的题目是我在坐长途汽车时偶然想到的。 在百般无聊的 时候,我给我父亲出了此论文开始时那样的一道问题,却引发了我们 长时间的讨论。这种题目的类型不止用于换饮料当中。啤酒、酱油、 醋……生活中的这类问题也并不少见。而细致地进行处理,周密地进 行思考,就可以从容地应对那些看似复杂的问题。这个问题的探讨与 解决, 对于我们在日常生活中如何处理使开支与效益达到最优化具有 一定的指导意义。

参考文献: [1]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京:高等教育出版社.2005 [2]庞军:对边际分析和最优化原理地探讨[J].商业时代,2005 [3]赵胜民:经济数学.科学出版社,2005 [4]陈宝林:最优化理论与算法[M].北京:清华大学出版社,2005

致谢: 在论文完成之际,我要特别感谢我的指导老师,他在论文的写作过程中给我 提出了许多宝贵的建议,给予了许多无私的支持和帮助,感谢所有关心、支持、 帮助过我的良师益友,在此一并致以诚挚的谢意。 最后,向在百忙中抽出时间对 本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢!

北京师范大学株洲附属学校初中部 C0812 班 晏阳天 2010-4-28


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