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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第6讲函数的值域与最值


? 第六讲

函数的值域与最值

?

回归课本

?

2.函数y= 的值域是(-∞,+∞);y= y=x-3的值域为{Y|Y≠0}.

的值域为[0,+∞);

3.函数 y=2

x

?1?

x 的值域是(0,+∞);y=? ? 的值域是(0,+∞); ?2?

函数 y=log2x 的值域是(-∞, +∞); 函数 y= +∞).

的值域是(-∞,

1 4.函数 y=x+ ,当 x>0 时的值域为[2,+∞);当 x<0 时的 x 值域为(-∞,-2].
? ? ax+b a y= (ad-bc≠0)的值域是 ?y|y≠ ,y∈R ?. c cx+d ? ?

? ?

? ? ?

?

考点陪练 1.定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x+a)的 值域是( ) A.[2a,a+b] B.[0,b-a] C.[a,b] D.[-a,a+b] 解析:函数的图象在x轴上进行平移不改变函数的值域. 答案:C

2.(2010· 郑州)已知函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是 [0,1],则 a 的值等于( A.2 C.
? ? ? ? ?

) B. 2 D. 1 3

2 2

解析:当0<a<1时,f(x)在[0,1]上单调递减, 又值域为[0,1],∴f(1)=0,f(0)=1,此时无解. 当a>1时,f(x)在[0,1]上单调递增,又值域为[0,1]. ∴f(0)=0,f(1)=1,解得a=2. 答案:A

1 3.函数 f(x)= (x∈R)的值域是( 1+x 2 A.[0,1] C.(0,1]
2

)

B.[0,1) D.(0,1)

1 解析:∵1+x ≥1,∴0< ≤1. 1+x2
?

答案:C

?

? ? ?

?

4.若函数f(x)=(a2 -2a-3)x2 +(a-3)x+1的定义域和值域都 为R,则a的取值范围是( ) A.a=-1或3 B.a=-1 C.a>3或a<-1 D.-1<a<3 解析:若a2 -2a-3≠0,则函数为二次函数,不可能定义域和 值域都为R,当a2-2a-3=0时,得a=-1或3,但当a=3时, 函数为常数函数,也不可能定义域和值域都为R,故a=-1. 答案:B

5.若 x为实数,则函数 y=x2+3x-5 的值域是________.
解析:∵ x为实数,∴x≥0, ∵y=x
2

? 3?2 9 +3x-5=?x+ ? - -5 2? 4 ?

∴当 x=0 时,ymin=-5.
?

答案:[-5,+∞)

? ?

类型一 求函数值域的基本方法 解题准备:在解题中,关键是要熟悉求函数值域的几种基本方 法,遇到求值域问题,应首先考虑有哪几种基本方法,一般方 法是什么,特殊方法是什么,在多种方法中选出最优方法.求 函数值域没有通用方法和固定模式,要靠经验的积累,掌握规 律.函数的值域问题常常化为求函数的最值问题,要注意利用 基本不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应 用.求函数值域时,不但要重视对应法则的应用,而且要特别 注意定义域的制约作用.

【典例 1】

求下列函数的值域及最值:

(1)y=4- 3+2x-x 2 ; (2)y=2x+ 1-2x; (3)y=x+ 1-x 2; 1-x (4)y= ; 2x+5 3x (5)y= 2 ; x +4 2x (6)y= x ; 4 +1

x2+5 (7)y= 2 ; x +4 4sinx+1 (8)y= ; 2cosx-4 (9)y= x2+4+ x2+2x+10; (10)y=x 5-5x 4+5x3+2,x∈[-1,2].

[解析]

(1)(配方法):由 3+2x-x2≥0,得-1≤x≤3.因为 y=4

- -?x-1?2+4,所以当 x=1 时,ymin=4-2=2.当 x=-1 或 3 时, ymax=4.所以函数的值域为[2,4]. 1-t2 (2)(换元法): t= 1-2x(t≥0), x= 令 则 .因为 y=-t2+t+1 2
? 1? 5 ?t- ? 2+ ,所以当 =- 2? 4 ? ? 5? ?-∞, ? . 数的值域为 4? ?

1 3 5 t= 即 x= 时,ymax= ,无最小值.所以函 2 8 4

π (3)(三角换元法)函数的定义域是{x|-1≤x≤1},设 x=sint,- 2
? π π? π 2 ?t+ ? .因为- ≤t≤ ,则 y=x+ 1-x 化为 y=sint+cost,y= 2sin 2 4? 2 ? ? π π π 3π 2 π? ≤t≤ , 所 以 - ≤t + ≤ , 所 以 - ≤sin ?t+ ? ≤1, 所 以 - 2 4 4 4 2 4? ?

1≤y≤ 2.所以函数的值域为[-1, 2],最大值为 2,最小值为-1. 1-x 1-5y (4)解法一:(反函数法)由 y= 解出 x,得 x= ,因为 2y 2x+5 2y+1
? ? 1 +1≠0,所以函数的值域为?y|y≠- ,且y∈R?,函数无最值. 2 ? ?

7 7 1 2 2 解法二:(分离常数法)因为 y=- + , ≠0,所以 y≠ 2 2x+5 2x+5
? ? 1 1? ? 1 ?-∞,- ?∪ ?- ,+∞?,函数无最值. - ,所以函数的值域为 2 2? ? 2 ? ?

3x (5)(判别式法): y= 2 由 得 yx2-3x+4y=0, y=0 时, 当 x=0, x +4 3 3 当 y≠0,由 Δ≥0 得- ≤y≤ ,因为函数定义域为 R,所以函数 y 4 4
? 3 3? 3x 3 3 ?- , ?,ymax= ,ymin=- . = 2 的值域为 4 4 x +4 ? 4 4?

2x (6)(不等式法)由 y= x = 4 +1 1 0<y≤ . 2

1 1 2x+ x 2

≤ 2

1

1 = 又 y>0.所 以 1 2 2x·x 2

? 1? 1 所以函数的值域为?0, ?,ymax= ,无最小值. 2? 2 ?

1 (7)(单调性法)y= x +4+ 2 ,令 t= x2+4≥2,故不能使 x +4
2

1 1 5 用不等式法,但是 y=t+ 在 t≥1 时为增函数.所以 y≥2+ = .所 2 2 t
?5 ? 5 ? ,+∞?.y min= ,无最大值. 以函数的值域为 2 ?2 ?

(8)解法一:(数形结合法)
? 1? 4?sinx+ ? 4? ? ? 1? sinx- ?- ? ? 4?

y= =2· . cosx-2 2?cosx-2? 可看作单位圆外一点
? 1? ?2,- ?与圆 P 4? ?

x2+y2=1 上的点所确定的

直线的斜率的 2 倍,如下图,由图知 2kPQ≤y≤2kPT.设过 P 点的直线 1 方程为 y+ =k(x-2), 4

1 即 kx-y-2k- =0,令 2 =1, 4 1+k 3 5 解得 k1=- ,k2= , 4 12 3 5 所以- ≤y≤ , 2 6
? 3 5? 5 3 即 ymax= ,ymin=- ,值域为?- , ?. 6 2 ? 2 6?

? 1? ?2k+ ? 4? ?

4sinx+1 解法二:(利用三角函数的有界性)因为 y= ,x∈R,所 2cosx-4 4y+1 ? y? ?tanφ=- ? . 以 2ycosx-4sinx=4y+1?sin(x+φ)= 2? 16+4y 2?
? 因为|sin(x+φ)|≤1,所以? ? ?

4y+1 ? ? ≤1,平方、整理得 12y2+8y 16+4y 2 ? ?

? 3 5? 3 5 5 3 -15≤0,所以- ≤y≤ .故 ymax= ,ymin=- ,值域为?- , ?. 2 6 6 2 ? 2 6?

(9)(几何法)y= x2+4+ x2+2x+10可化为: y= ?x-0?2+?0-2?2+ [x-?-1?]2+?0-3?2.

表示直角坐标平面内 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(0,2)、 B(-1,3) 的距离之和,如图所示,则 y≥|A′B|= ?-1-0?2+[3-?-2?]2 = 26,所以 ymin= 26,无最大值.所以 y∈[ 26,+∞). (10)(导数法)因为 y′=5x4-20x3+15x 2,令 y′=0 得 5x4-20x 3 +15x2=0?x2(x 2-4x+3)=0.x 1=0,x2=3,x3=1,由于 3?[-1,2], 故比较 f(0),f(1),f(-1),f(2)可知 f(x)的最大值为 3,最小值为-9. 值域为[-9,3].

? ?

?

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类型二 复合函数值域的求法 解题准备:求复合函数的值域或最值时,要考虑内函数的定义 域和值域变化,同时也要考虑适合外函数解析式结构类型的求 值域与最值的常用方法,两者结合才能准确地解决复合函数的 值域与最值. 【典例2】 已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a>1). (1)求函数f(x)的值域; (2)若x∈[-2,1]时,函数f(x)的最小值为-7,求a的值并求函数 f(x)的最大值.

[解析]

(1)f(x)=2-(1+ax)2,

∵ax>0,∴f(x)<2-1=1, ∴函数 f(x)的值域 (-∞,1). (2)∵a>1, ∴当 x∈[-2,1]时,a 2≤ax≤a, ∴2-(a+1)2≤f(x)≤2-(a 2+1)2, ∴2-(a+1)2=-7,解得 a=2. 7 此时,f(x)的最大值为 2-(2 +1) = . 16
-2 - -

2

?

[点评] 在求值域时,应注意函数的类型,特别是转化到二次函 数时,应注意对称轴及t=g(x)中t的取值范围.

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类型三 函数值域中的综合问题 解题准备:1.最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如 果存在实数M满足: (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函数的最大值. 2.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 数M满足: (1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函数的最小值.

? ? ?

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?

说明:①对于单调函数,最大(小)值出现在定义域的边界处. ②对于非单调函数,通常借助图象求解更方便. ③一般地,因为恒成立的问题可以用求最值的办法来解决,而 利用单调性是求最值的常用方法.有以下关系: f(x)≥a恒成立?fmin(x)≥a; f(x)≤a恒成立?fmax(x)≤a. 函数的单调性是研究函数的值域与最值问题的重要方法.

【典例 3】

x2+2x+a 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值. 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范 围. (3)若对任意的 a∈[-1,1],f(x)>4 恒成立,试求 x 的范围.

[解析]

1 x +2x+ 2 1 (1)f(x)= =x+ +2, x 2x
2

∵ f(x) - f(1) x≥1),

? ? ? 1 1 ? = ?x+ +2? - ?1+ +2? 2x 2 ? ? ? ?

?x-1??2x-1? = ≥0( ∵ 2x

7 所以 f(x)≥f(1)知当 x=1 时,f(x)最小=f(1)= ,∴函数 f(x)的最小 2 7 值为 . 2

(2)若对任意 x ∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立, x2+2x+a 即 >0 x ∴x2+2x+a>0 对于一切 x∈[1,+∞)恒成立; 又 x2+2x+a=(x+1)2+a-1≥3+a, 由 3+a>0 得 a>-3.

(3)∵a∈[-1,1]时 f(x)>4 恒成立, x2+2x+a 即 >4(x≥1)恒成立. x ∴x2-2x+a>0 对 a∈[-1,1]恒成立 把 g(a)=a+(x2-2x)看成 a 的一次函数. 则使 g(a)>0,对 a∈[-1,1]恒成立的条件是
?g?1?>0, ? ? ?g?-1?>0, ? ?x2-2x+1>0 ? 即? 2 ?x -2x-1>0 ?

解得 x<1- 2或 x> 2+1 又 x≥1,∴x> 2+1.
故所求 x 的范围是( 2+1,+∞).

? ?

快速解题 技法 函数f(x)=x2+ax+5,且f(x)=f(-4-x)对于任意的x∈R 都成立,当x∈[m,0]时,f(x)max =5,f(x)min =1,求实数m的取 值范围.
快解:由 f(x)=x2+ax+5 且 f(x)=f(-4-x),易知对称轴为 x=

a - =-2,得 a=4. 2 ∴f(x)=x2+4x+5=(x+2)2+1, 如图所示为-4≤m≤-2.


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