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湖南省岳阳市岳阳县一中2015届高三上学期第二次(10月)月考数学试卷(理科)


湖南省岳阳市岳阳县一中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.设集合 P={1,2,3,4,5,6},Q={x∈R|2≤x≤6},那么下列结论正确的是( A.P∩Q=P B.P∩Q?Q

C.P∪Q=Q D.P∩Q?P )

考点:交集及其运算;并集及其运算. 专题:计算题. 分析:本题考查的集合的运算,我们可以根据已知条件,将四个答案逐一代入运算,进行判断 后不难得到答案. 解答: 解:P∩Q={2,3,4,5,6}, ∴P∩Q?P≠P 故 A、B 错误, 故 D 正确. 故选 D 点评: 集合运算时要注意, 性质描述法表示的集合, 元素取值的范围, 本题易忽略 Q 集合中 x∈R, 而错认为 x∈Z,得到 Q═{2,3,4,5,6},而得到错误的结论.

2.设 p:x∈R,q:2<x<3,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:由 q? p,反之不成立.即可判断出. 解答: 解:由 q? p,反之不成立. ∴p 是 q 成立的必要不充分条件.

故选:B. 点评:本题查克拉充要条件的判定,属于基础题.

3.命题“对任意 x∈R,都有 x >x ”的否定是( A.存在 x0∈R,使得 x0 >x0 C.存在 x0∈R,使得 x0 ≤x0
3 3 2

3

2

)
3 2

B.不存在 x0∈R,使得 x0 >x0 D.对任意 x∈R,都有 x ≤x
3 2

2

考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:利用全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,写出结果即可. 解答: 解:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题, ∴命题“对任意 x∈R,都有 x >x ”的否定是:存在 x0∈R,使得 x0 ≤x0 . 故选:C. 点评:本题考查命题的否定,注意否定形式以及量词的变化,基本知识的考查.
3 2 3 2

4.已知扇形的面积为 A.

,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是( B. C. D.

)

考点:扇形面积公式. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:半径为 r 的扇形圆心角的弧度数为 α ,则它的面积为 S= α r ,由此结合题中数据,建 立关于圆心角的弧度数 α 的方程,解之即得该扇形的圆心角的弧度数. 解答: 解:设扇形圆心角的弧度数为 α , 则扇形面积为 S= α r = α = 解之,得 α = 故选:C. 点评:本题在已知扇形的面积和半径的情况下,求该扇形圆心角的弧度数.着重考查了弧度制 的定义和扇形面积公式等知识,属于基础题.
2 2



5.已知 A. B.

,则 sinx=( C.

) D.

考点:诱导公式的作用. 分析:由 sin α +cos α =1 及诱导公式可解之. 解答: 解:∵ 又 x∈(π ,2π ) ,∴ 故选 B. 点评:本题考查诱导公式及同角正余弦关系. ,∴ ,即 ; ;
2 2

6.函数 y=

的定义域为(

) C.{x|x≤0,或 x≥ }

A.{x|x≤﹣ ,或 x≥1} B.{x|x<﹣ ,或 x>1} D.{x|x<0,或 x> }

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:由对数函数的性质及二次根式的性质得 2x ﹣x≥1,解出即可. 解答: 解:∵
2 2

≥0,

∴2x ﹣x≥1,解得:x≤﹣ 或 x≥1, 故选:A. 点评:本题考查了对数函数的性质及二次根式的性质,求函数的定义域,是一道基础题.

7.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= A.2 B.1 C.0 D.﹣1

,则 f=(

)

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据解析式先求出当 x>0 时,函数 f(x)的周期为 5,再用周期性和解析式得 f=f(﹣ 1) ,代入解析式求解. 解答: 解:由题意得,f(x)= 当 x>0 时,有 f(x)=f(x﹣5) ,则 f(x+5)=f(x) , 所以当 x>0 时,函数 f(x)的周期为 5, 则 f=f(402×5+4)=f(4)=f(4﹣5)=f(﹣1)= 故选:B. 点评:本题考查分段函数的函数的值,以及利用函数的周期求出函数值,属于基础题. =1, ,

8. 若函数 f (x) =Asin2ω x (A>0, ω >0) 在 x=1 处取得最大值, 则f (x+1) 的奇偶性为( A.偶函数 B.奇函数 D.非奇非偶函数

)

C.既是奇函数又是偶函数

考点:函数奇偶性的判断;正弦函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数 f(x)=Asin2ω x(A>0,ω >0)在 x=1 处取得最大值,求得 ω 的值,然后 再判断 f(x+1)的奇偶性. 解答: 解:因为函数 f(x)=Asin2ω x(A>0,ω >0)在 x=1 处取得最大值, 所以 2ω = 所以 ω = +2kπ , , +2kπ ) (x+1)=Acos( +2kπ )x, +2kπ ) (﹣x)=Acos( +2kπ )x,

所以 f(x+1)=Asin( 所以 f(﹣x+1)=Asin(

+2kπ ) (﹣x+1)=Acos(

所以 f(x+1)是偶函数. 故选 A. 点评:本题主要考查函数的奇偶性、正弦函数的最值,属于基础题.

9.函数 f(x)= sin( A.1 B.2

x)﹣log2x 的零点个数为( C.3

) D.4

考点:函数的零点. 专题:函数的性质及应用. 分析:函数 f(x)= sin( x)﹣log2x 的零点个数,即函数 y═ sin( )与函数 y=log2x

的交点的个数,数形结合求得结果. 解答: 解:函数 f(x)= sin( 即函数 y= sin( )的图象 x)﹣log2x 的零点个数,

与函数 y=log2x 的图象交点的个数. 如图所示: 由于函数 y= sin( )的图象与

函数 y=log2x 的图象的交点的个数为 3, 故选:C.

点评: 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系, 体现了化归与转化、 数形结合的数学思想, 属于基础题.

10.已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=

(m>0,m≠

) ,l1 与函数 y=|log2x|的图象从

左至右相交于点 A、B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C、D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, 的最小值为( A.16 B.8 C.4 D.2 )

考点:对数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD,依题意可求得为 xA,xB,xC, xD 的值,a=|xA﹣xC|,b=|xB﹣xD|,下面利用基本不等式可求最小值 解答: 解:设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD, 则﹣log2xA=m,log2xB=m;﹣log2xC=
﹣m m

,log2xD=



∴xA=2 ,xB=2 ,xC= ∴a=|xA﹣xC|,b=|xB﹣xD|,

,xD=





=

=

又 m>0,∴m+

=m+1+

﹣1≥2

﹣1=4﹣1=3,

当且仅当 m=1 时取“=”号, ∴ ≥2 =8, 故选:B. 点评: 本题考查对数函数图象与性质的综合应用, 理解投影的概念并能把问题转化为基本不等 式求最值是解决问题的关键,属中档题.
3

二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.函数 y=3sin(2x+ )的最小正周期为 π .

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质.

分析:将题中的函数表达式与函数 y=Asin(ω x+φ )进行对照,可得 ω =2,由此结合三角函 数的周期公式加以计算,即可得到函数的最小正周期. 解答: 解:∵函数表达式为 y=3sin(2x+ ∴ω =2,可得最小正周期 T=| 故答案为:π 点评:本题给出三角函数表达式,求函数的最小正周期,着重考查了函数 y=Asin(ω x+φ ) 的周期公式的知识,属于基础题. |=| |=π ) ,

12.计算

dx 的结果是 π .

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据定积分的几何意义,∫0 四分之一,问题得以解决. 解答: 解:∫0 之一, ∴∫0
2 2 2

dx 表示以原点为圆心,以 2 为半径的圆的面积的

dx 表示的几何意义是以原点为圆心,以 2 为半径的圆的面积的四分

dx=



故答案为:π 点评:本题主要考查了定积分的几何意义,属于基础题.

13.已知 sinacosα = 且 α ∈(0,

) ,则 cosα ﹣sinα =



考点:二倍角的正弦. 专题:三角函数的求值. 分析:由 α ∈(0, sinα = ) ,可得 cosα >sinα .可得 cosα ﹣ = ,即可得出.

解答: 解:∵α ∈(0, ∴cosα ﹣sinα = 故答案为: .

) ,∴cosα >sinα . = = .

点评:本题考查了三角函数的单调性、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力,属于基础 题.

14.已知函数 f(x)=﹣x +2mx+1,若? x0∈R,使得? x1∈都有 f(x1)<f(x0) ,则实数 m 的 取值范围是(﹣∞,1)∪(2,+∞) .

2

考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: 函数 f (x) =﹣x +2mx+1 开口向下、 对称轴方程为 x=m 的抛物线, 由? x0∈R, 使得? x1∈ 都有 f(x1)<f(x0) ,知 m<1 或 m>2. 解答: 解:函数 f(x)=﹣x +2mx+1 开口向下、对称轴方程为 x=m 的抛物线, ∵? x0∈R,使得? x1∈都有 f(x1)<f(x0) , 结合抛物线的形状: 如图示:
2 2

∴m<1 或 m>2, 故答案为: (﹣∞,1)∪(2,+∞) . 点评:本题考查二次函数的性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行 等价转化.

15.如图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间(0,1)中的实数 m 对应 数轴上的点 M,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A,B 恰好重合(点 M 从点 A 按逆时 针方向运动至点 B) ,如图 2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为(0,1) ,如图 3.图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N(n,0) ,则 m 的象就是 n,记作 f (m)=n.下列说法中正确命题的序号是②③⑤. (填出所有正确命题的序号)

①f( )=1; ②f(x)在定义域上单调递增; ③方程 f(x)=0 的解是 x= ; ④f(x)是奇函数; ⑤f(x)的图象关于点( ,0)对称.

考点:进行简单的合情推理. 专题:阅读型;函数的性质及应用;推理和证明. 分析:由题中对映射运算描述,对五个命题逐一判断其真伪, ①m= 此时 M 恰好处在左半圆弧的中点上,求出直线 AM 的方程后易得 N 的横坐标,即可判断; ②可由图 3,由 M 的运动规律观察出函数值的变化,得出单调性,即可判断; ③可由②的单调性,结合图 3 即可判断; ④可由奇偶函数的定义域关于原点对称来确定正误; ④可由图 3 中圆关于 y 轴的对称判断出正误. 解答: 解:对于①,因为当 m= ,此时 M 恰好处在左半圆弧的中点上,此时直线 AM 的方程 为 y=x+1,即 f( )=﹣1,故①错;

对于②,当 x 从 0→1 变化时,点 N 从左边向右边移动,其对应的坐标值渐渐增大,故 f(x) 在定义域上单调递增,故②正确. 对于③,由②f(x)在定义域上单调递增,则 M 运动到 AB 的中点,即有直线 AM 为 x=0,即有 f( )=0, 故③正确; 对于④,由于函数 f(x)的定义域为(0,1) ,不关于原点对称,则函数 f(x)是非奇非偶 函数,故④错. 对于⑤,由图 3 可以看出,当 M 点的位置离中间位置相等时,N 点关于 y 轴对称,即此时函数 值互为相反数,故可知 f(x)的图象关于点( ,0)对称,故⑤正确. 故答案为:②③⑤. 点评:本题考查映射的概念,解答本题关键是理解题设中所给的对应关系,正确认识三个图象 的意义,由此对五个命题的正误作出判断,本题题型新颖,寓数于形,是一个考查理解能力的 题,对题设中所给的关系进行探究,方可得出正确答案,本题易因为理解不了题意而导致无法 下手,题目较抽象.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知集合 A={y|y=x ﹣ x+1,x∈},B={x|x+m ≥1}.命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,且命 题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.
2 2

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:规律型. 分析:先求出命题 p,q 的等价条件,利用 p 是 q 的充分,确定实数 a 的取值范围. 解答: 解:y=x ﹣ x+1=(x﹣ ) B={x|x+m ≥1}={x|x≥1﹣m }, 若命题 p 是命题 q 的充分条件, 则 A? B, 即 ,
2 2 2

,当 x∈时,

,即 A=,

∴m 解得 m 或m

, . 或m .

∴实数 m 的取值范围是 m

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用, 利用二次函数的性质求出集合 A 是解决本题 的关键.

17.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (x∈R,ω >0,0<φ < (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将函数 f(x)的图象向右平移

)的部分图象如图所示.

个单位,得到函数 g(x) ,求 g(x)的单调递增区间.

考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由图象知函数的周期,进而可得 ω ,再由点 上,可得 φ 和 A,可得解析式; (Ⅱ)由图象变换易得 g(x)=2sin(2x﹣ 解答: 解: (Ⅰ)由图象知函数的周期 ∴ ∴ ∵0<φ < ∴ ,∴ ,解得 ,又∵点 ,即 < +φ < , , 在函数图象上, , ) ,由 , 可得. 和(0,1)在函数图象

又点(0,1)在函数图象上,

∴ ∴

,解得 A=2. ; , ,可得

(Ⅱ)由题知 令 ∴g(x)的递增区间为: 点评:本题考查三角函数的图象与解析式,涉及三角函数图象的变换,属基础题.

18.已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值;并判定函数 f(x)单调性(不必证明) . (2)若对于任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

考点:函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知 f(0)=0 求出 b,再由奇函数的定义求出 b; (2)利用奇函数的性质转化为一元二次不等式,借助与一元二次函数的关系进行判断. 解答: 解:∵定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数,







化简,得

解得,

∴a 的值是 2,b 的值是 1. ∴f(x)是 R 上的减函数; (3)由 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0,得 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k) , ∵f(x)是奇函数,∴f(t ﹣2t)<f(k﹣2t ) , 由(2)知,f(x)是减函数,∴原问题转化为 t ﹣2t>k﹣2t , 即 3t ﹣2t﹣k>0 对任意 t∈R 恒成立, ∴△=4+12k<0,解得 k<﹣ , 所以实数 k 的取值范围是:k<﹣ , 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题,定义是解决单调性问题的基本方 法,而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

19.现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足 y= ,且 ∈

(Ⅰ)求 y=f(x)的解析式和投入 x 的取值范围; (Ⅱ)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:应用题;导数的综合应用. 分析: (1)将 x=10 时,y=9.2 代入解析式中即可求得 a 的值,再由 t 得出 x 的取值范围;

(2)求出 f(x)的导数,对 t 的取值范围进行讨论,求出单调区间,从而求出函数的最值. 解答: 解: (Ⅰ)因当 x=10 时,y=9.2,即 所以 又因为 ,且 , ,解得 . ,解得 .

即投入 x 的取值范围是

(Ⅱ) 对f (x) 求导, 得 又因为 x>6,所以从广义上讲有,



当 6<x<50 时,f'(x)>0,即 f(x)递增,当 x>50 时,f'(x)<0,即 f(x)递减. 所以当 x=50 时为极大值点,也是最大值点,于是 ①当 ②当 ,即 时,即 时,投入 50 万元改造时取得最大增加值; 时,投入 万元改造时取得最大增加值.

点评:本题考查了,运用导数求函数的单调区间,最值,分类讨论数学思想,是一道导数的应 用题.属于中档题.

20.已知函数 y=f(x) , 若存在 x0∈R,使 f (x0)=x0, 则称 x0 是函数 y=f (x) 的一个不动点.设 二次函数 f(x)=ax +(b+1)x+(b﹣1) . (Ⅰ)对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 y=f(x)的图象上 A,B 两点的横坐标是 f(x)的不动点,且 A, B 两点关于直线 y=kx+ 对称,求 b 的最小值.
2

考点:二次函数的性质. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)转化为 ax +bx+b﹣1=0 有两个不等实根,转化为 b ﹣4a(b﹣1)>0 恒成立,再 利用二次函数大于 0 恒成立须满足的条件来求解即可. (Ⅱ)利用两点关于直线对称的两个结论,一是中点在已知直线上,二是两点连线和已知直线 垂直.找到 a,b 之间的关系式,整理后在利用基本不等式求解可得. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)恒有两个相异的不动点, ∴f(x)﹣x=ax +bx+(b﹣1)=0 恒有两个不等的实根, ∴△=b ﹣4a(b﹣1)=b ﹣4ab+4a>0 对 b∈R 恒成立, ∴(4a) ﹣16a<0,得 a 的取值范围为(0,1) .?4 分 (Ⅱ)由 ax +bx+(b﹣1)=0 得 由题知 k=﹣1, ,?6 分 ,?10 分
2 2 2 2 2 2 2



设 A,B 中点为 E,则 E 的横坐标为 ∴ ,



,当且仅当

,即

时等号成立,

∴b 的最小值为

.?12 分.

点评: 本题是在新定义下对函数知识的综合考查, 是一道好题. 关于两点关于直线对称的问题, 有两个结论同时存在,一是中点在已知直线上,二是两点连线和已知直线垂直.

21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若对一切实数 x∈R,都有 f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. (Ⅲ)求证: ,n∈N .
*

x

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导数判断函数的单调性,主要对 a 进行讨论; (Ⅱ)有 f(x)≥0 恒成立,转化为求函数 f(x)的最小值问题解决,利用导数求函数的最 小值即可; (Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论得 e ≥x+1,令
x

,则有

即有

,即
x

(当且仅当 i=0 时取等号) ,即可得证.

解答: 解: (Ⅰ)由 f′(x)=e ﹣a, ①当 a≤0 时,显然 f′(x)=e ﹣a≥0; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=lna,显然当 x>lna 时,f′(x)>0; 所以当 a≤0 时,f(x)在 R 上单调递增; 当 a>0 时,f(x)在(lna,+∞)上递增;
x

(Ⅱ)由(Ⅰ)问知,当 a≤0 时,f(x)递增,且 去.

,不合题意,舍

当 a>0 时,由(Ⅰ)知,当 x<lna 时,f′(x)<0,当 x>lna 时,f′(x)>0 所以当 x=lna 时,f(x)有极小值也是最小值,即 f(x)min=f(lna)=a﹣alna﹣1, 依题意 a﹣alna﹣1≥0,?① ①式可化为 而由超越不等式知: 所以比较上下两式可以发现 下面给出其证明: 令 g(a)=a﹣alna﹣1,a>0,则 g′(a)=﹣lna, 于是 g′(a)=0 时,a=1, 同理知当 a=1 时,g(a)有极大值也是最大值, 所以 g(a)≤g(1)=0?② 比较①②式可得,g(a)=0,即 a=1 为所求. , 时取到等号) , ,即 a﹣alna﹣1=0(a=1 时取到等号) ,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知对? x∈R,有 e ≥x+1, 于是令 ,则有

x

即有 所以有

,即

(当且仅当 i=0 时取等号)



,即证.

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题, 考查学生恒成立问题的等价转化思想 及不等式的证明,注意构造法的合理应用,属于难题.


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