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高二竞赛班第7讲 动力学II.教师版


第7讲
动力学 II 建立微分方程

本讲导学 上讲代表的是动力学里的最基本的套路,好好练习。 这讲处理的如何建立微分方程。竞赛中用微分方程处理的问题,一定都可以绕过微分方程解决。 然而不论是用什么方法,建立方程的过程必然是一样的。 1、 步找出多少个独立变量,通过常见的各种约束,表达系统的变量。 2、 方程的来源可以是牛顿第二定律/角动量定理,也可

以是 XX 守恒,本质上是相通的。 写方程的时候如果发现要算的变量在积分上下限的位置, 或者在积分变量的位置, 说明不应当 对整个过程写方程,而是应当对某一小段过程写方程(即把积分方程化成微分方程) 。 3、 消去无关的变量。例如要干掉 v 而算出 x , t 关系的时候,v 显然应当为
v, dv 等一起消掉。

dx ,或者通过加减将 dt

例题精讲
上讲复习-关联 【例1】 在光滑的固定的,倾斜角度为 θ 的水平面上,有一个半径为 r 的薄壁圆筒,外面饶了一圈绳 子,绳子一端接在天花板上。初始状态圆筒被挡板挡住,露出的绳子长度为 l ,然后突然撤掉 挡板 (1) 求刚撤掉挡板的时候,圆筒的加速度和角加速度。 (2) 求这个瞬间绳子上与圆筒接触的点的加速度与圆筒上与绳子接触的点的加速度。

上讲复习-曲率半径 【例2】 半径 R 的大圆内,取半径 r =

R ,小圆对应的滚轮线,求线上最大曲率半径 ρ max , 4

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1

解:内滚轮线又称内旋轮线内摆线设匀速纯滚动,小圆自转角速 角速度记为 ω? ,小圆圆心弦转角速度记为 ωθ ,旋转速度记为 v 则有,

ω? r =v =ωθ ( R ? r ) ? ω? =
内滚轮线 ρ max 在园中 P 处,有
= v p = v 2 2ωθ ( R ? r )

R?r ωθ r

?? ? a p 方向向上,大小为

a p= ω? 2 r ? ωθ 2 ( R ? r ) = ……=

??? ?? ? a p 即为 a心 ,得

R?r ( R ? 2r )ωθ 2 r

ρ max =ρ p =
将r =

vp2 a心

=

4r ( R ? r ) ( R ? 2r )

R 代入,即得 4

ρ max =

3 R 2

上讲复习-惯性力 【例3】 在竖直平面上,设置图示的水平 X 轴和数值向下的 y 轴,t=0 时刻位于 x=0,y=0 处的小水桶 从静止出发,以匀加速 a0 ,沿 X 轴运动。过程中桶底小孔向下漏水,单位时间漏水质量为 m0 常 量。略去漏水相对水桶的初速度,在任意 t0 > 0 时刻,试求: (1)漏水迹线方程; (2)漏水迹线中的质量线速度 λ 随 y 坐标的分布函数。

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2

t=0 0

a

1. x

g y

解(1) t0 之前,于 t 时刻从桶底漏出的谁,在 t0 时刻的 x,y 坐标分别为

1 2 1 2 1 2 a0t + a0t (t0 ?= t) a0t + a0tt0 ? at = ? a0t 2 + a0tt0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = a0t ? a0t0 + a0tt0 ? a0t = a0t ? a0 (t0 ? t ) 2 2 2 2 2 2 1 = y g (t0 ? t ) 2 2 = x
得漏水迹线方程为: = x 迹线如图 1 所示。

1 2 a0 a0t0 ? y g 2

?a0 + g 方向作匀加速直线 或者改去水桶参考系 O '? x ' y ' ,该系中每一滴漏水都沿题解图 2 所示 a =
运动,其运动轨迹即为漏水迹线。 t0 时刻漏水迹线如题解图中虚线所示,方程为:

x ' =-

a0 1 2 a0 1 2 , y ' = y ,得 = x a0t0 ? y y ' ,因 x '= x ? a0t0 2 g 2 g

(2)如前所述, t0 之前于 t 时刻才能够桶底漏出的水在 t0 时刻的 x、y 坐标分别为

1 2 1 1 x(t ) = a0t0 ? a0 (t0 ? t ) 2 , = y (t ) g (t0 ? t ) 2 2 2 2

t0 之前,于 t + at 时刻从桶底漏出水在 t0 时刻的 x,y 坐标分别为
x(t + dt ) , y (t + dt )

dt 时间内质量为 dm = m0 dt 的漏水,在 t0 时刻的 x 迹线中占据的 dx , dy 的长度 dl 为:

dx = a0 (t0 ? t 0dt , dy = ? g (t0 ? t )dt , dl =

dx 2 + dy 2 =

a 2 + g 2 (t0 ? t )dt

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3

其中 dy 为负,是因为 y (t ) > y (t + dt ) ,如题解图所示,迹线中 y (t ) 处质量线度为

λ= (t )

dm = dl

m0 a + g 2 (t0 ? t )
2

即 t0 ? t =

2y g

代入,即得 t0 时刻迹线中质量迹线中质量线密度 λ 随 y 坐标的分布式:

λ ( y) =

m0 a2 + g 2

2y g
t0 a0
2

0

1

2 a0t0

x

漏水迹线

1 gt 2

2
0

y

题解图1.

1 0

2 a0t0

2

t0

a0 0' x x'

漏水迹线

1 2 gt 2
0

y' y

题解图2.

1 o y(t+dt) y(t) x(t) t t+dt

2 a0t0 x(t+dt)

2

x

1 2 gt 2
0

题解图3
y

【例4】 如图两个质量为 m 的方块,边长分别为 l 和 l / 2 。方块上下面摩擦系数均为 ? 。初始时刻,上
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4

面的小方块速度为 v0 向右。要求最后小方块能停在大方块上,而不发生以下事情,求各参数应当 满足的关系。 A 上面的方块不翻动 B 下面的方块不滑动 C 上面的方块不掉下来 D 下面的方块不反翻

v0

如何建立微分方程 【例5】 原题出自更高更妙的物理 如图一卷水管立在地上。铺开之后每层水管厚度为 d ,水管卷的总半径为 R >> d 。开始的时候踢 一脚,让水管卷滚起来,初态速度为 v0 >> gR 。在水管滚开的过程中没有能量损耗,求整个卷摊 平需要多长时间。 【例6】 第 29 届模拟题第 6 套第二题 按照广义相对论的预言,加速运动的物体会引起引力场的变化,从而激发引力波,向外辐射能量。 引力波的探测一直以来是非常困难的。一种判定引力波存在的证据是观察大质量双星系统的运动周期 (或者中子星的脉冲) 。我们把模型作如下简化:两个质量为 m 的星体绕着其质心作圆周运动。初始时 刻两个星体之间距离为 l。 ,当星体的加速度为 a 时,其引力波辐射功率为 P = ka 2 ,其中 k 是一个很小 的常数。 (万有引力常数为 G ,双星之间的引力作用可以用牛顿的万有引力公式计算) (1) 双星体系的周期变化 0.01% 需要经过多长时间。 (2) 按照这个理论双星越来越近,最后几乎相撞。估算相撞需要的时间。 【例7】 一根轻绳跨过具有光滑水平轴的定滑轮(质量可忽略) ,两个质量为 m1 和 m2 的人各抓住绳的 一端开始时,两人与水平轴之间的高度差分别为 h1 和 h2 ,他们同时从绳上开始向上爬,并同时到 达该滑轮水平轴处,试求所需时间 t。 解法 1.假设两人相对底面都是匀加速向上爬

= T m = m1a1 , T ? m2 g = m2 a2 ,T:绳中张力 1g
h1 =

2(m1h1 ? m2 h2 ) 1 1 2 a1t , h2 = a2t 2 ? t = (m2 ? m1 ) g 2 2

解法 2:按题目,不设匀加速上爬,从各人初位置出发,分别建立数值向上的 y1 , y2 轴

d 2 y2 d 2 y1 d2 m2 ( 2 ) ? (m2 ? m= (m1 y1 ? m2 y2 ) T ? m1 g = m1 ( 2 ) , T ? m2 g = 1)g dt dt 2 dt

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5

引入 = Z m1 y1 ? m2 y2 ,得 = (m2 ? m1 ) g 且

dZ dt

Z |t = o = 0

? ∫ d Z=
0

Z

0


0

t

0

(m2 ? m1 ) gdt ? Z = (m2 ? m1 ) gt
2

0

? ∫ dZ =
0

Z

∫ (m

t

? m1 ) gtdt ? = Z

1 (m2 ? m1 ) gt 2 2

两人同时爬到滑轮水平轴处,有

1 m1h1 ? m2 h2 == Z (m2 ? m1 ) gt 2 2
得t =

2(m1h1 ? m2 h2 ) (m2 ? m1 ) g

【例8】 27 届复赛题第 3 题 三、 (25 分)在人造卫星绕星球运行的过程中,为了保持其对称转轴稳定在规定指向,一种最简单的办 法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转,但有时为了改变卫星的指向,又要求减慢或者 消除卫星的旋转,减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法,其原理如图所示。 一半径为 R,质量为 M 的薄壁圆筒, ,其横截面如图所示,图中 O 是圆筒的对称轴,两条足够长 的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的 Q、 Q′ (位于圆筒直径两端) 处, 另一端各拴有一个质量为

m 的小球,正常情况下,绳绕在圆筒外表面上,两小球用插销分别锁定在圆 2

筒表面上的 P 0 、P 0 ′处,与卫星形成一体,绕卫星的对称轴旋转,卫星自转的角速度为ω 0 。若要使卫 星减慢或者停止旋转(消旋) ,可瞬间撤去插销释放小球,让小球从圆筒表面甩开,在甩开的整个过程 中,从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时,立即使绳与卫 星脱离,解除小球与卫星的联系,于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在 Q、Q′处。 1、 求当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度 l; 2、 求绳的总长度 L; 3、 求卫星从ω 0 到停转所经历的时间 t。

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6

参考解答: 解法一 1. 设在时刻 t ,小球和圆筒的运动状态如图 1 所示,小球位于 P 点,绳与圆筒的切点为 T , P 到

T 的距离即绳的拉直部分的长度为 l ,圆筒的角速度为 ω ,小球的速度为 v .小球的速度可以分解成沿
着绳子方向的速度 v1 和垂直于绳子方向的速度 v 2 两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有 T

v
v1
P

v2

O

图1

1 1 1 1 2 2 2 2 M ( Rω0 ) + m ( Rω0 = M ( Rω ) + m ( v12 + v2 ) ) 2 2 2 2
MR 2ω0 + mR 2ω0 = MR 2ω + mRv1 + ml v2
因为绳子不可伸长, v1 与切点 T 的速度相等,即

(1) (2)

v1 = Rω
解(1)、(2)、(3)式得

(3)

ω=

(M + m )R 2 ? ml 2 ω (M + m )R 2 + ml 2 0

(4)

2(M + m )R 2 l v2 = ω (M + m )R 2 + ml 2 0
由(4)式可得

(5)

l=R

M + m ω0 ? ω m ω0 + ω

(6)

这便是在卫星角速度减至 ω 时绳的拉直部分的长度 l . 2.由(6)式,当 ω = 0 得

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7

T′

?θ 2 ?θ1 T
O

l + ?l

l

v2 ( t )

图2

L=R

M +m m

(7)

这便是绳的总长度 L. 3.如图 2 所示,从时刻 t 到 t + ?t ,切点 T 跟随圆筒转过一角度 ?θ1 = ω?t ,由于绳子的拉直部分 的长度增加了 ?l ,切点相对圆筒又转过一角度 ?θ 2 = ,到达 T ′ 处,所以在 ?t 时间内,切点转过的 角度

?l R

?l ?θ = ?θ1 + ?θ 2 = ω?t + R
方向的速度 v2 引起的,故有

(8)

切点从 T 变到 T ′ 也使切线方向改变了一个同样的角度 ?θ ,而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子

v ?t ?θ =2 l
由(1)、(2)、(3)式可得

(9)

v 2 l ( ω0 + ω ) =
由(8)、 (9) 、 (10)三式得

(10)

?= l Rω0 ?t
(11)式表示 l 随 t 均匀增加,故 l 由 0 增加到 L 所需的时间为

(11)

ts =

1 L = ω0 R ω0

M +m m

(12)

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8

Q
R
m 2

T l r
m 2

P0′
O

P0 Q′

ω
解法二

图1

1.撤去插销后两个小球的运动情况相同,故可取一个小球作为对象进行研究,先研究任何时刻小 球的速度. 在 t 时刻,相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图 1 所示, 绳子的拉直部分与圆筒面的切点为

T ,小球到切点 T 的距离即绳的拉直部分的长度为 l ,小球到转轴 O 的距离为 r ,圆筒的角速度为 ω .
由于圆筒的转动和小球相对圆筒的运动,绳将展开,切点位置和绳的拉直部分的长度都要改变.

T′

l′ l

?φ T

P′

φ
O

P P0

图2 首先考察小球相对于圆筒的运动.在 t 时刻, OT 与固定在圆筒上的半径 OP0 的夹角为 φ ,如图 2 所示.由于小球相对圆筒的运动,经过时间 ?t ,切点从圆筒上的 T 点移到 T ′ 点, OT ′ 与 OP0 的夹角变 绳的拉直部分的长度由 l 变为 l ′ , 小球由 P 运动到 P′ ,PP′ 便是小球相对圆筒的位移.当 ?t 为 φ + ?φ , 很小时 l ≈ l ′ ,故

????

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9

? ? v vω
T

? vω1
l P r

? vφ

? vω 2

? ? vφ + vω 2

R O

φ

P0

图3

???? PP′ = l ′?φ ≈ l ?φ
于是小球相对圆筒的速度大小为

?φ = vφ l = lωφ ?t
方向垂直于 TP . ωφ 是切点相对圆筒转动的角速度.

(1)

再考察圆筒相对质心参考系的转动,即与圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系的运动 . 当圆筒的角速度为 ω 时,位于转动参考系中的 P 点(小球所在处)相对质心系的速度

vω = rω

(2)

方向垂直于 OP .可以把 vω 分解成沿着 TP 方向的分量 vω1 和垂直 TP 方向的分量 vω 2 ,如图 3 所示, 即

vω1 = Rω vω 2 = lω
?

(3) (4)

小球相对质心系的速度 v 是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的 P 点相对质心系速度的合成,由图 ? 3 可得 v 的大小

v =


2 vω 1 + ( vω 2 + vφ )

2

(5)

l = Rφ
故有

(6)

v = R ω 2 + (ω + ωφ ) φ 2
2

(7)

因为系统不受外力作用,故系统的动能和角动量守恒,故有

1 1 1 1 2 2 2 M ( Rω0 ) + mR 2ω0 = M ( Rω ) + mv 2 2 2 2 2

(8)
讲述高端的, 真正的物理学

10

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MR 2ω0 + mR 2ω0 = MR 2ω + mRvω1 + ml ( vω 2 + vφ )
由(7)、(8)两式有

(9)

ω02 = ω2 +
由(1)、(3)、(4)、(6)、(9)各式得

2 m ω + ωφ ) φ 2 ( M +m

(10)

ω0 = ω+ φ 2 (ω + ωφ )
由(10)、(11)两式得

m M +m

(11)

ω0 + ω = ω + ωφ
故有

ωφ = ω0

(12)

上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度,是一个恒量,将(12)式代 入(11)式得

φ=
由(6)、(13)两式得

M + m ? ω0 ? ω ? ? ? m ? ω0 + ω ? M + m ? ω0 ? ω ? ? ? m ? ω0 + ω ?

(13)

l=R

(14)

这便是在卫星角速度减至 ω 时绳的拉直部分的长度 l . 2.由(14)式,当 ω = 0 得绳总长度, 即

L=R

M +m m

(15)

3.因 ωφ 是一个恒量, φ 随时间的 t 的变化规律为

φ = ω0 t
当 ω = 0 时,由(13)式可得卫星停旋时的 φ

(16)

φs =

M +m m

(17)

设卫星停转所用的时间为 t s ,由(16) 、 (17)式得

ts =
评分标准: 本题 25 分.

φs 1 = ω0 ω0

M +m m

(18)

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11

解法一 第 1 问 12 分. (1) 、 (2)式各 3 分, (3)式 2 分, (6)式 4 分. 第 2 问 3 分. (7)式 3 分. 第 3 问 10 分. (8) 、 (9)式各 3 分, (10)式 2 分, (11) 、 (12)式各 1 分. 解法二 第 1 问 18 分. (1)式 3 分, (2)式 2 分, (7)式 2 分, (8)式 3 分, (9)式 3 分, (12)式 2 分, (14)式 3 分, 第 2 问 3 分. (15)式 3 分. 第 3 问 4 分. (16)式 2 分, (17)式 1 分, (18)式 1 分.

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12

物理世界

想象中的夸克星
我们正常看到的天体是原子构成的,如果压强再大一些,原子的结构被压垮,星体由中 子构成。如果压强更大一些,一般理论就认为形成黑洞了。有没有可能中子被压垮,由夸克 形成星体呢?夸克星(英语:Quark star)这一概念就由此而来。目前这 样的理论都还处于假说状态。 以夸克为基础的星体在理论模型上至少有三种, “奇异夸克星” 、 “孤 子星”及“玻色星” 。 “奇异夸克星”是科普文章通称的“夸克星” ,成分以奇异物质为 主,专业学者文章多以“奇异星”来区分其差异,强调出其为奇异物质 所组成的夸克星,由于“奇异星”有时会跟“奇异原子”发生混淆,而 “孤子星”及“玻色星”本身都有专有名词,故一般称“夸克星”系指 “奇异夸克星” ,而专业研究者之间因为有共通语言,因此学术论文中 则大多以“奇异星”来避免泛指所有类型的夸克星。 “孤子星” (Soliton Star) 以诺贝尔奖得主李政道所推出的 “非拓朴性孤子” (Non-topological soliton, NTS)为理论基础(拓朴性孤子的模型目前有 Skyrmion) ,主要是以纯粹“费米子”具 有孤子波性质的“孤子”来组成夸克星,被认为是“暗物质”的最佳候选者。由于宇宙间有 73%以上的物质属于暗物质或暗能量, “孤子星”为“暗物质”的最佳候选者, “孤子星模型” 则在天体物理学当中形成一大门派,在宇宙学上是非常重要的一个分支,解释了宇宙间观测 到的质量遗失问题。 雷蒙·鲁菲尼(Remo Ruffini)的理论研究导致“玻色星”概念出现“玻色星”则为以纯 粹“玻色子”来组成夸克星,由于普通的星体一般是以费米子为主的重子所组成,星爆不能 供应足够的玻色子, “玻色星”被认为不能由星爆产生,而是由大爆炸时期所遗留下来的暗物 质,或是存在于“银核”当中作为“巨质量玻色星” 。因为希格氏玻色子的加入, “巨质量玻 色星”应该是最常见的形式, “银核”在这一理论当中被认为是“玻色星”而非“黑洞”所组 成的,此即为“银核是由暗物质所组成”的说法来源,此一说法比“银核是由黑洞所组成” 更加合理,矛盾较少,同时作为“银核”的“玻色星”无法任意被制造出来,也是观测当中 没有见过“黑洞”吸聚物质因而产生婴儿银河的合理解释。 “玻色星”的性质相当奇怪,活动 模式也非常多样化,许多人关注的黑洞、孤子星、夸克星及重力真空星的活动与玻色星相较 之下可说堪称无聊至极,由此可见玻色星具有很高的研究价值。 Pawel Mazur 的“重力真空星” 重力真空星模型的共同作者 Emil Mottola 有些观点认为,作为黑洞替代方案最佳选择之 一的黑星: “重力真空星” (Gravastar) ,其真空极化外壳组成成分因为是透过玻色爱因斯坦凝 聚态所产生的,也应该是夸克所组成的,所以“重力真空星”应该也是属于夸克星的一种类 型,但是“重力真空星”并未推导出其内部实际组成物质,此外“重力真空星”虽无奇点, 但是却有一个类似“事件地平面”的“拟事界” ,星体活动近似于黑洞,使得外部观测者没有 任何手段来区分“重力真空星”与“黑洞”的差别,要透过观测来证明其组成物质为夸克, 存在巨大的技术难度,难以提供确切证据说明理论的正确性,因此要说服大部分天体物理学 家做此归类,恐怕还需要更多的理论推导。 “孤子星”及“玻色星”经常被归类为“暗物质星” , “重力真空星”则倾向于被归类于 “暗能量星” ,由于人类离真正意义的宇宙航行能力相距甚远,无法实际近距离观测“暗物质 星” ,短期内的未来, “孤子星” 、 “玻色星”及“黑星”无法验证推论是否正确。
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