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【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.2.1 Word版含解析


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选修 1-1

第三章

3.2

3.2.1

一、选择题 1.设 y=e3,则 y′等于 导学号 92600589 ( A.3e2 C.0 [答案] C [解析] ∵y=e3 是一个常数,∴y′=0. 2 . (2016· 广 西 南 宁 高 二 检 测 ) 若 函 数 f(x) = x2 , 则 f(x) 在 x = 1 处 的 导 数 为 导学号 92600590 ( A.2x C.3 [答案] B [解析] f′(x)=2x,∴f(x)在 x=1 处的导数为 f′(1)=2. 3.已知函数 f(x)=x3 的切线的斜率等于 3,则切线有 导学号 92600591 ( A.1 条 C.3 条 [答案] B [解析] ∵f ′(x)=3x2=3,解得 x=± 1.切点有两个,即可得切线有两条. 1 3 13 1 3 4.给出下列结论:①若 y= 3,则 y′=- 4;②若 y= x,则 y′= x;③若 y= 2, x x 3 x 则 y′=-2x3;④若 f(x)=3x,则 f ′(1)=3,其中正确的个数是 导学号 92600592 ( A.1 C.3 [答案] B [解析] ②y′= 1 ;③y′=-2x 3,所以只有①④是正确的.


)

B.e2 D.以上都不是

) B .2 D.4

)

B .2 条 D.不确定

)

B .2 D.4

3 3 x2

5.下列结论正确的是 导学号 92600593 (
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)

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A.若 y=sin x,则 y′=cos x B.若 y=cos x,则 y′=sin x 1 1 C.若 y= ,则 y′= 2 x x 1 D.若 y= x,则 y′= x 2 [答案] A 1 [解析] ∵B 项中,y′=-sin x;C 项中,y′=- 2; x 1 D 项中,y′= ,∴选 A. 2 x 6.f(x)= 5 A. 2 5 C. 3 [答案] D 5 5 8 [解析] ∵f(x)=x- ,∴f ′(x)=- x- , 3 3 3 5 8 5 ∴f ′(-1)=- (-1)- =- . 3 3 3 二、填空题 7.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于________. 导学号 92600595 [答案] 3 [解析] y′=nxn 1,∴y′|x=2=n· 2n 1=12,∴n=3.
- -

1 3
2

,则 f ′(-1)= 导学号 92600594 ( 5 B.- 2 5 D.- 3

)

x x

8.函数 y=sin π,则 y′=________. 导学号 92600596 [答案] 0 [解析] y=sin π=0,∴y′=0. 4 9.在曲线 y= 2上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135° ,则 P 点坐标 x 为________. 导学号 92600597 [答案] (2,1) [解析] 设 P(x0,y0),

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4? -2 -3 ∵y′=? =-1, ?x2?′=(4x )′=-8x ,tan 135° ∴-8x0 3=-1.∴x0=2,y0=1.


三、解答题 π 10.(2016· 浙江宁波高二月考)求曲线 y=cos x 在 x= 处的切线方程. 导学号 92600598 6 [解析] ∵y=cos x,∴y′=-sin x. π ∴曲线 y=cos x 在 x= 处的切线的斜率 6 π 1 k=-sin =- . 6 2 π π 3 又当 x= 时,y=cos = , 6 6 2 π 故曲线在 x= 处的切线方程为 6 y- 3 1 π =- (x- ), 2 2 6

1 3 π 即 y=- x+ + . 2 2 12

一、选择题 1 1.曲线 y= x3 在 x=1 处切线的倾斜角为 导学号 92600599 ( 3 A.1 π C. 4 [答案] C 1 π [解析] ∵y= x3,∴y′|x=1=1,∴切线的倾斜角 α 满足 tan α=1,∵0≤α<π,∴α= . 3 4 2.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为 导学号 92600600 ( 1 A. 2 1 C. e [答案] C 1 ? 1 1 [解析] y′= =k,∴x= ,切点坐标为? ?k,1?, x k 1 B.- 2 1 D.- e ) π B.- 4 5π D. 4 )

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1 1 1 又切点在曲线 y=ln x 上,∴ln =1,∴ =e,k= . k k e 1 3.正弦曲线 y=sin x 上切线的斜率等于 的点为 导学号 92600601 ( 2 π 3 A.( , ) 3 2 π 3 π 3 B.(- ,- )或( , ) 3 2 3 2 π 3 C.(2kπ+ , ) 3 2 π 3 π 3 D.(2kπ+ , )或(2kπ- ,- ) 3 2 3 2 [答案] D 1 1 [解析] 设斜率等于 的切线与曲线的切点为 P(x0,y0),∵y′|x=x0=cos x0= , 2 2 π π 3 3 ∴x0=2kπ+ 或 2kπ- ,∴y0= 或- . 3 3 2 2 4.函数 y= ex 在点 (2, e2) 处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 导学号 92600602 ( ) 9 A. e2 4 C.e2 [答案] D [解析] ∵y′|x=2=e2, ∴切线方程为 y-e2=e2(x-2). 当 x=0 时,y=-e2,当 y=0 时,x=1. 1 e2 故切线与坐标轴围成三角形面积为 ×|-e2|×1= ,故选 D. 2 2 二、填空题 1 5. (2015· 陕西理)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直, x 则 P 的坐标为________. 导学号 92600603 [答案] (1,1) 1 1 [解析] 由于(ex)′=ex,( )′=- 2,故曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线斜率 k=e0=1, x x B.2e2 e2 D. 2 )

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1 1 1 1 设 P(x0, ),曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线斜率- 2,若两直线垂直则有 1×(- 2)=-1, x0 x x0 x0 解得 x0=1,故 P(1,1). 6 . 若 曲 线 y = x2 的 一 条 切 线 平 行 于 直 线 y = 4x - 3 , 则 这 条 切 线 的 方 程 为 ________. 导学号 92600604 [答案] 4x-y-4=0 [解析] y′=2x,设切点为(x0,y0),则由题意可知,y′|x=x0=4,即 2x0=4,所以 x0 =2, 代入曲线方程得 y0=4, 故该切线过点(2,4)且斜率为 4, 所以这条切线方程为 y-4=4(x -2),即 4x-y-4=0. 三、解答题 7.已知曲线 C:y=x3. 导学号 92600605 (1)求曲线 C 上点(1,1)处的切线方程; (2)在(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点? [解析] (1)∵y′=3x2,∴切线斜率 k=3, ∴切线方程 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0.
?3x-y-2=0 ? (2)由? 消去 y 得,3x-x3-2=0, 3 ?y=x ?

∴(x-1)2(x+2)=0, ∴x1=1,x2=-2. ∴其他公共点为(-2,-8). 3π 8.已知函数 y=asin x+b 的图象过点 A(0,0)、B( ,-1),试求函数在原点处的切线方 2 程. 导学号 92600606 3π [解析] ∵y=asin x+b 的图象过点 A(0,0)、B( ,-1), 2 0=asin 0+b ? ? ? ?a=1 ∴? ,解得? . 3π ?b=0 ? ?-1=asin 2 +b ? ∴y=sin x. 又∵y′=cos x,∴y′|x=0=1.
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∴切线方程为 y=x.

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