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湖南省衡阳县第三中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


衡阳县三中 2014-2015 年下学期高二期末考试数学试卷(理)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 A.1﹣2i 的共轭复数是( ) B.1+2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i

2.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x , f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数,那么 f ?( ) 等于 A. ?

π 6

1? 3 2

B. ?

1? 3 2

C.

1? 3 2

D.

1? 3 2

3.设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ | a |?| b | ”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最 大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 5.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统 计数据表: 收入 x (万 8.2 元) 支出 y (万 6.2 元) 7.5 8.0 8.5 9.8 8.6 10.0 11.3 11.9

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一户 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 )
]

C.12.0 万元

D.12.2 万元 )

6.二项式 ( x ? 1)n (n ? N? ) 的展开式中 x 2 的系数为 15,则 n ? ( A.4 B.5 C.6 D.7

7.从 0,2,4 中取一个数字,从 1,3,5 中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有 不同的三位数的个数是 A.36 B.48 C.52 D.54
[

x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 , 且双曲线的一个焦点在 a b
抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为

?

?

A.

x2 y 2 ? ?1 21 28

B.

x2 y 2 ? ?1 28 21

C.

x2 y 2 ? ?1 3 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3
1 ,b=2, 4

9.已知△ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 cos B=

sin C=2sin A,则△ABC 的面积为(
A.

). D. 15 数,下列数值排

15 6

B.

15 4

C.

15 2

10.函数 f ( x) 的图象如图所示, f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函 序正确的是 A. 0 ? f ?(2) ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) B. 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) C. 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ? f ?(3) 11.函数 y ?

cos x 的图象是( ln x



x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0

1?2 a b

12 .已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 2 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p,q ,且 p ≠ q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为( p?q
A. ?15, ??) B. (??,15? C. (12,30?

) D. (?12,15?

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
2 13. ? 0 ( x ? 1)dx ?

.

14. 平面上三点, 向量 | OA | =3, 设 P 是线段 AB 垂直平分线上一点, 则 OP ? (OA ? OB ) | OB | =2, 的值为__________. 15. 若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? b ? 0) ,始终平分圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则
2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

1 2 ? 的最小值为_______ a b

16.已知函数 f ( x) ? e ? a ln x 的定义域是 (0, ??) ,关于函数 f ( x ) 给出下列命题:
x

①对于任意 a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 存在最小值; ②对于任意 a ? (??, 0) ,函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的减函数; ③存在 a ? (??, 0) ,使得对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 0 成立; ④存在 a ? (0, ??) ,使得函数 f ( x ) 有两个零点. 其中正确命题的序号是 . 17. ??? C 的内角 ? , ? , C 所对的边分别为 a , b , c .向量 m ? a, 3b

?

? 与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行.

?

?

(I)求 ? ; (II)若 a ?

7 , b ? 2 求 ??? C 的面积.

18.(本题满分 12 分)如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形 ,侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点. (1)证明 PA // 平面 BDE ; (2)求二面角 B ? DE ? C 的余弦值

19.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会 的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动 员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

20.已知函数 f ( x) ? log3 x . (1)若 g (2 x ? 1) ? f ( x) ,求函数 g ( x) 的解析式,并写出 g ( x) 的定义域; (2)记 h( x) ? f ( x ? a) .

3 ①若 y ?| h( x) | 在 [1, ] 上的最小值为 1,求实数 a 的值; 2
②若 A( x ? a, y1 ) , B( x, y2 ) , C (3 ? a, y3 ) 为 y ? h( x) 图象上的三点,且满足 y1 , y2 , y 3 成等差 数列的实数 x 有且只有两个不同的值,求实数 a 的取值范围.

21.设 A 是圆 x ? y ? 4 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的
2 2

交点,点 M 在直线 l 上,且满足 DM ? 线C . (1)求曲线 C 的标准方程;

3 DA .当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲 2

(2)设曲线 C 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,经过 F2 的直线 m 与曲线 C 交于 P、Q 两点,若

| PQ | 2 ?| F1 P | 2 ? | F1Q | 2 ,求直线 m 的方程.
请考生从第 22、23、24 三题中任选 1 题作答,若多做,按所做的第一个题目计分 22.已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

?

?

23.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在 ? y ? t sin ? ,

以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C2 : ? ? 2sin ? , 曲 线

C3 : ? ? 2 3 cos ? .
(Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

24.如图, ?? 切 ? ? 于点 ? ,直线 ?D 交 ? ? 于 D , ? 两点, ?C ? D? ,垂足为 C . (I)证明: ?C?D ? ?D?? ; (II)若 ?D ? 3DC , ?C ?

2 ,求 ? ? 的直径.

参考答案 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 C 7 B 8 D 9 B 10 B 11 B 12 A

13.0 , 14.

5 , 15. 6 , 16.①④ 2

17.【答案】 (I)

? 3 3 ; (II) . 3 2

试题解析: (I)因为 m //n ,所以 a sin B 由正弦定理,得 sinAsinB-

? ?

3b cos A = 0 ,

3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 , 由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3
2 2 2

(II)解法一:由余弦定理,得 a = b + c - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2, ? ?
2

?
3
2

得 7 = 4 + c - 2c ,即 c - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ,所以 c = 3 . 故 ? ABC 的面积为

1 3 3 . bcsinA = 2 2

18.解法一:(1)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O 点,连结 EO . ∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, ∴ OE // PA , ∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE ,∴ PA // 平面 BDE . 解法二:(1)以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 设 PD ? DC ? 2 ,则 A(2, 0, 0), P(0, 0, 2), E (0,11), B(2, 2, 0) . ??? ? ???? ???? ?? ? ∴ PA ? (2, 0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2, 0) ,设 n1 ? ( x, y, z ) 是平面 BDE 的一个法向量, 则由
?? ? ???? ?? ? ? ?n1 ? DE ? 0 ? y ? z ? 0 得? ,取y ? ?1, 得n1 ? (1, ?1,1). ? ??? ? ? ?? ? ?n1 ? DB ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0

??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ∵ PA ? n1 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ PA ? n1 , 又PA ? 平面BDE ,∴ PA // 平面BDE. ?? ? ?? ? ??? ? (2) 由(1)知 n1 ? (1, ?1,1) 是平面 BDE 的一个法向量, 又 n2 ? DA ? (2, 0, 0) 是平面 DEC 的一个法向 ?? ? ?? ? 量.设二面角 B ? DE ? C 的平面角为 ? ,由题意可知 ? ?? n1 , n2 ? .
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 2 3 ? ?? ? ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? . ? 3 | n1 | ? | n2 | 3?2

19.【答案】(I)

6 ; 35

(II) 随机变量 X 的分布列为

X
P

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

E?X ? ?
【解析】

5 2

试题分析:(I)由古典概型计算公式直接计算即可; (II)先写出随机变量 X 的所有可能值,求出 其相应的概率,即可求概率分布列及期望. 试题解析:(I)由已知,有

P( A) ?
所以事件 A 发生的概率为

2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 ? 4 C8 35

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2,3, 4
k 4?k C5 C3 P?X ? k? ? (k ? 1,2,3,4) C84

所以随机变量 X 的分布列为

X
P
数学期望 E ? X ? ? 1 ?

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

所以随机 变量 X 的

1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 14 7 7 14 2
t ?1 2

20.解: (1)令 t ? 2 x ? 1 , x ? 0 ,则 t ? 1 且 x ? ∵ g (2 x ? 1) ? f ( x) ∴ g (t ) ? log3 (
( x ? a)

t ?1 x ?1 ) ∴ g ( x) ? log3 ( ) ,定义域为 (1, ??) ; 2 2

(2) h( x) ? log3 ( x ? a)

? log3 ( x ? a) ①在 y ?| log3 ( x ? a) |? ? ?? log3 ( x ? a)

( x ? a ? 1) ∴函数在 (a, a ? 1) 上单调减,在 (a ? 1, ??) (a ? x ? a ? 1)

上单调增; (Ⅰ) 当 a ?1?

3 1 3 3 7 即 ? a ? 1 时, 当 x ? 时,ymin ? ? log3 ( ? a) ? 1 , ∴ a ? ? 1(舍) ? a ?1, 2 2 2 2 6 3 1 ,即 0 ? a ? 时,当 x ? a ? 1 时, ymin ? 0 (舍) 2 2
∴ a ? ?2

(Ⅱ)当 1 ? a ? 1 ?

(Ⅲ)当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时,当 x ? 1 时, ymin ? log3 (1 ? a) ? 1 ∴综上: a ? ?2 ; (a ?

7 不舍扣 2 分) 6

②∵ y1 , y2 , y 3 成等差数列 ∴ 2 y2 ? y1 ? y3 ,即 2log 3 ( x ? a) ? log 3 x ? log 3 3 化简得: x2 ? (2a ? 3) x ? a2 ? 0 (*)

∵满足条件的实数 x 有且只有两个不同的值 ∴(*)在 (a, ??) 上有两个不等实根,设 H ( x) ? x2 ? (2a ? 3) x ? a 2
? ? ? (2a ? 3) 2 ? 4a 2 ? 0 ? 2a ? 3 3 ? ?a ∴? ,解得: ? ? a ? 0 . 2 4 ? 2 2 H ( a ) ? a ? (2 a ? 3) a ? a ? 0 ? ?

21.试题解析: (1)因为直线 l 的倾斜角为

π , F2 ( c,0) ,所以,直线 l 的方程为 y ? x ? c , 4

由已知得

c 2 3 ? ,所以 c ? 1 .又 e ? ,所以 a ? 3 , b ? 2 , 2 3 2
x2 y 2 ? ?1 . 3 2

椭圆 C 的方程

(2) )当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由 P ? x1 , y1 ? 在椭圆上,则 知 ON ? PQ = 2 6 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? kx ? m ,代入

x12 y12 6 6 ,则 x1 ? ? ? 1 ,而 S ? x1 y1 ? , y1 ? 1 3 2 2 2

???? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1 可得 3 2

2 2 2 即 (2 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 6 ? 0 , 由题意 ? ? 0 , 即 3k 2 ? 2 ? m 2 . 2 x 2 ? 3(kx ? m) 2 ? 6 ,

x1 ? x2 ? ?

6km 3m 2 ? 6 , x x ? 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

.

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2
d? m 1? k 2
2

2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 2 ? 3k 2

, S ?POQ
2

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 6 ? ? d ? PQ ? m ? , 2 2 2 2 ? 3k 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

化为 4m (3k ? 2 ? m ) ? (3k ? 2) , (3k ? 2) ? 2? 2m (3k ? 2) ? (2m ) ? 0 , 即 (3k ? 2 ? 2m ) ? 0 .
2 2 2

则 3k 2 ? 2 ? 2m 2 ,满足 ? ? 0 , 由前知 x1 ? x2 ? ?

3k 2 2 3k , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ? ? 2m ? , m m m

???? 2 9k 2 4 1 ON ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2(3 ? 2 ) . m m m

??? ?2 24(3k 2 ? 2 ? m 2 ) 2(2m 2 ? 1) 1 PQ ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ) 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
???? 2 ??? ?2 1 1 1 1 ON PQ ? 4(3 ? 2 )(2 ? 2 ) ≤ 25 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时等号成 m m m m
立, 故 ON PQ ≤ 5 . 综上可知 ON PQ 的最大值为 5 . 22.【答案】 (I) a ? ?3 , b ? 1 ; (II) 4 . 【解析】 试题分析: (I)先由 x ? a ? b 可得 ?b ? a ? x ? b ? a ,再利用关于 x 的不等式 x ? a ? b 的 解集为 x 2 ? x ? 4 可得 a ,b 的值; (II)先将 ?3t ? 12 ? t 变形为 3 ? 4 ? t ? t ,再 利用柯西不等式可得 ?3t ? 12 ? t 的最大值. 试题解析: (I)由 | x + a |< b ,得 - b - a < x < b - a 则?

???? ??? ?

???? ??? ?

?

?

??b ? a ? 2, 解得 a = - 3 , b = 1 ? b ? a ? 4,

(II) ?3t +12+ t ? 3 4 ? t ? t ?

? ? ?

? 3?

2

? 12 ? ? ? ? ? ? ?

?

4?t

? ?? t ? ? ? ?
2 2

= 2 4 - t +t = 4
当且仅当

4- t t ,即 t = 1 时等号成立, = 1 3



(

- 3t +12+ t

)

max

=4.

23.【答案】 (Ⅰ) (0, 0) 和 (

3 3 (Ⅱ) 4 . , ); 2 2

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? .因此 A 得到极坐标为

(2sin ? , ? )



B











(2 3 cos? ,? )







AB ? 2 sin? ? 2 3 cos ? ? 4 s in(? ?
24.【答案】 (I)证明见解析; (II) 3 .

?
3

当? ? ),

5? 时, AB 取得最大值, 最大值为 4 . 6

又 ?C ? D? ,所以 ?C?D ? ??D? ? 90? ,从而 ?C?D ? ???D . 又 ?? 切圆 ? 于点 ? ,得 ?D?? ? ???D ,所以 ?C?D ? ?D?? . (II)由(I)知 ?D 平分 ?C?? ,则 所以 AC =

BA AD = = 3 ,又 BC = 2 ,从而 AB = 3 2 , BC CD

AB 2 - BC 2 = 4 ,所以 AD=3 .
2

由切割线定理得 AB =AD ×AE ,即 AE =

AB 2 ?6, AD

故 D? ? ?? ? ?D ? 3 ,即圆 ? 的直径为 3 .



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