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2015-2016学年浙江省湖州市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年浙江省湖州市高三(上)期末数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求的. 1.设集合 P={x|x>1},Q={x|x>0},则下列结论正确的是( A.P?Q B.Q?P C.P=Q ) D.P∪Q=R )

2.已知函数 f(

x)=|x﹣1|,则下列函数与 f(x)相等的函数是(

A.g(x)=

B.g(x)=

C.g(x)=

D.g(x)=x﹣1 )

3.设平面向量 , , 均为非零向量,则“ = ”是“( ﹣ ) =0”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.[﹣2﹣2 ,﹣

4.若实数 x,y 满足:x2+y2﹣2x﹣2y=0,则 x+y 的取值范围是( A.[﹣4,0] 2+2 ] B.[2﹣2 ,2+2 ] C.[0,4]

5.设等比数列{an}的前 n 项积为 Pn,若 P12=32P7,则 a10 的值是( A.16 6.已知函数 数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象( A.向左平移 C.向左平移 个单位长度 个单位长度 ) B.8 C .4

) D.2

的最小正周期为 π,为了得到函

B.向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

7.设双曲线



=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 ) D.

的直

线交双曲线的右支交于点 P,若|PF2|=|F1F2|,则双曲线的离心率是( A. ﹣1 B. C. +1

8.如图,正方形 ABCD 与正方形 BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是 形 BDEF 所在平面内的一条动直线,则直线 BD 与 PQ 所成角的取值范围是(

,PQ 是正方 )

A.[



]

B.[



]

C .[



]

D.[



]

二、填空题:本大题共 7 个小题,多空题,每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

9.双曲线 的距离是

﹣y2=1 的实轴长是 . ,则 + = .

,离心率的值是

,焦点到渐近线

10.若 2x=3y=

11.已知函数 f(x)=sin2x+2cos2x(x∈R),则 f( 大值是 .

)=

,函数 f(x)的最

12.已知函数 f(x)= 的单调减区间是 .

,则 f(f(3))=

,f(x)

13.已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则其体积是



14.设△ ABC 的重心为 G,且|GB|+|GC|=4,若|BC|=2,则|GA|的取值范围是



15.设向量 , 的夹角为 小值是 2,则 =

,若对任意的 m,n∈R,| ﹣m |的最小值为 1,| ﹣n |的最 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin2

+cos2A= .

(I)求 A 的值; (Ⅱ)若 a= ,求 bc 的最大值.

17.在三棱锥 A﹣BCD 中,点 A 在 BD 上的射影为 O,∠BAD=∠BCD=90°,AB=BC=2, AD=DC=2 ,AC= .

(Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)若 E 是 AC 的中点,求直线 BE 和平面 BCD 所成角的正切值.

18.设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设数列{bn}满足:b1=1,bn=

+2an=4Sn(n∈N*).

(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

19.已知函数 x2=4y 的焦点是 F,直线 l 与抛物线交于 A,B 两点. (Ⅰ)若直线 l 过焦点 F 且斜率为 1,求线段 AB 的长; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴不垂直,且|FA|+|FB|=3.证明:线段 AB 的中垂线恒过定点,并求出 该定点的坐标. 20.已知函数 f(x)=|ax2+x﹣4a|,其中 x∈[﹣2,2],a∈[﹣1,1]. (I)当 α=1 时,求函数 y=f(x)的值域; (Ⅱ)记 f(x)的最大值为 M(a),求 M(a)的取值范围.

2015-2016 学年浙江省湖州市高三 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求的. 1.设集合 P={x|x>1},Q={x|x>0},则下列结论正确的是( A.P?Q B.Q?P C.P=Q ) D.P∪Q=R

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;集合思想;综合法;集合. 【分析】利用子集的定义,即可得出结论. 【解答】解:∵集合 P={x|x>1},Q={x|x>0}, ∴根据子集的定义,可得 P?Q. 故选:A. 【点评】本题主要考查集合间的包含关系,属于基础题.

2.已知函数 f(x)=|x﹣1|,则下列函数与 f(x)相等的函数是(



A.g(x)=

B.g(x)=

C.g(x)= 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】计算题;函数的性质及应用.

D.g(x)=x﹣1

【分析】判断函数是否相等要看两个方面,对应关系与定义域. 【解答】解:函数 f(x)=|x﹣1|的定义域为 R, 选项 A:g(x)= 的定义域为{x|x≠﹣1},

选项 B:g(x)=

=|x﹣1|,且定义域也为 R,故相等;

选项 C:g(x)=

与 f(x)的对应关系不同;

选项 D:g(x)=x﹣1 的对应关系与其不同. 故选:B. 【点评】本题考查了函数相等的判断,只需对定义域与对应关系两者都判断即可.

3.设平面向量 , , 均为非零向量,则“ = ”是“( ﹣ ) =0”的(



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;平面向量及应用;简易逻辑. 【分析】平面向量 , , 均为非零向量,则“ = ”?“( ﹣ ) =0”;反之不成立,即可 判断出关系. 【解答】解:∵平面向量 , , 均为非零向量,则“ = ”?“( ﹣ ) =0”;

反之不成立,由“( ﹣ ) =0”?( ﹣ )⊥ ,或 = . 因此“ = ”是“( ﹣ ) =0”的充分不必要条件.

故选:A. 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

4.若实数 x,y 满足:x2+y2﹣2x﹣2y=0,则 x+y 的取值范围是( A.[﹣4,0] 2+2 ] B.[2﹣2 ,2+2 ] C.[0,4]

) D.[﹣2﹣2 ,﹣

【考点】圆的一般方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】利用基本不等式得出 x2+y2≥ 值范围. 【解答】解:∵x2+y2≥2xy,∴2(x2+y2)≥x2+y2+2xy, ∴2(x2+y2)≥(x+y)2, ∴x2+y2≥ , ,结合 x2+y2﹣2x﹣2y=0,即可求 x+y 的取

∵x2+y2﹣2x﹣2y=0, ∴ ﹣2x﹣2y≤0,

∴﹣4≤x+y≤0. 故选:A. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题.

5.设等比数列{an}的前 n 项积为 Pn,若 P12=32P7,则 a10 的值是( A.16 B.8 C .4

) D.2

【考点】等比数列的通项公式. 【专题】转化思想;定义法;等差数列与等比数列. 【分析】根据题意,利用等比数列的通项公式,得出 a8a9…a12=(a10)5=32,即可求出 a10 的值.

【解答】解:∵等比数列{an}的前 n 项积为 Pn,且 P12=32P7, ∴a1a2a3…a12=32a1a2a3…a7, 即 a8a9…a12=32, 即(a10)5=32, 解得 a10=2. 故选:D. 【点评】本题考查了等比数列的性质与前 n 项积的应用问题,是基础题目.

6.已知函数 数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象( A.向左平移 C.向左平移 个单位长度 个单位长度 )

的最小正周期为 π,为了得到函

B.向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由周期函数的周期计算公式: ,算得 ω=2.接下来将 f(x)的表达式转化

成与 g(x)同名的三角函数,再观察左右平移的长度即可. 【解答】解:由题知 ω=2, 所以

, 故选择 A. 【点评】本题考点定位:本小题考查诱导公式,函数图象的变换,基础题.

7.设双曲线



=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 ) D.

的直

线交双曲线的右支交于点 P,若|PF2|=|F1F2|,则双曲线的离心率是( A. ﹣1 B. C. +1

【考点】双曲线的简单性质.

【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出双曲线的左焦点,由双曲线的定义求得|PF1|,再由余弦定理和离心率公式计算 即可得到所求. 【解答】解:设双曲线 由于|PF2|=|F1F2|=2c, 由∠PF1F2= , ﹣ =1(a>b>0)的焦点为 F1(﹣c,0),

由双曲线的定义可得,|PF1|=2a+2c, 由余弦定理可得,|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1||F1F2|cos 即有 4c2=(2a+2c)2+4c2﹣2(2a+2c)2c 化简可得 a=( 可得 e= = 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查离心率的求法,运用定义是解本题的关 键. ﹣1)c, = . , ,

8.如图,正方形 ABCD 与正方形 BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是 形 BDEF 所在平面内的一条动直线,则直线 BD 与 PQ 所成角的取值范围是(

,PQ 是正方 )

A.[



]

B.[



]

C .[



]

D.[



]

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化思想;向量法;空间角.

【分析】以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空 间直角坐标系,利用向量法能求出直线 BD 与 PQ 所成角的取值范围. 【解答】解:以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建 立空间直角坐标系, 设 BC=1,则 B(0,0,0),D(1,1,0),C(1,0,0), E(1, ),F(0, , ),

当 D 点在正方形 BCEF 的投影刚好落在 CE 上,记为 G 点,其坐标为 G(1, , ),

此时 BG 与 BD 所成角刚好 30 度, 即直线 BD 与 PQ 所成角的最小值为 取 P( ,0,0),Q(0, ∵ =(1,1,0), ,

)时,直线 BD 于 PQ 所成角取最大值,

=(﹣ , , ),

∴cos<

>=

=0,

∴直线 BD 于 PQ 所成角最大值为

. , ].

∴直线 BD 与 PQ 所成角的取值范围是[ 故选:B.

【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法,则中档题,解题时要认真审题,注意 向量法的合理运用.

二、填空题:本大题共 7 个小题,多空题,每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

9. 双曲线

﹣y2=1 的实轴长是

4 , 离心率的值是

, 焦点到渐近线的距离是 1



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出双曲线的 a,b,c,可得实轴长 2a,离心率,运用点到直线的距离公式可得焦 点到渐近线的距离. 【解答】解:双曲线 ﹣y2=1 的 a=2,b=1,c= , = ,

可得实轴长 2a=4,e= = 渐近线方程为 y=± x, 可得焦点(

,0)到渐近线的距离为 d= ,1.

=1.

故答案为:4,

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是实轴长和离心率,及渐近线方程,考查点到 直线的距离公式的运用,属于基础题.

10.若 2x=3y=

,则 + = 2 .

【考点】对数的运算性质. 【专题】方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】把 2x=3y= ,化为对数式 ,y= .代入计算即可得出.

【解答】解:∵2x=3y= ∴ ,y= .



则 + = 故答案为:2.

=

=2.

【点评】本题考查了指数式化为对数式及其运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

11.已知函数 f(x)=sin2x+2cos2x(x∈R),则 f( 值是 1+ .

)=

,函数 f(x)的最大

【考点】三角函数的最值;函数的值. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】代值计算可得 f( ),化简函数可得得 f(x)=1+ sin(2x+ ),可得最值.

【解答】解:∵f(x)=sin2x+2cos2x(x∈R), ∴f( )=sin +2cos2 = +2× = ;

由三角函数公式化简可得 f(x)=sin2x+2cos2x =sin2x+1+cos2x=1+ sin(2x+ ), .

∴函数 f(x)的最大值为 1+ 故答案为: ;1+ .

【点评】本题考查三角函数的最值,属基础题.

12.已知函数 f(x)= 区间是 (1,2) . 【考点】函数单调性的性质;函数的值.

,则 f(f(3))= 1 ,f(x)的单调减

【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据二次函数的单调性便可判断 f(x)在(﹣∞,1]上单调递增,而 x>1 时,去 绝对值号得到 ,从而可看出 f(x)的单调减区间.

【解答】解:f(3)=|3﹣2|=1; ∴f(f(3))=f(1)=﹣(1﹣2)2+2=1;

x≤1 时,f(x)=﹣(x﹣2)2+2 单调递增; x>1 时, ∴f(x)在(1,2)上单调递减; 即 f(x)的单调减区间是(1,2). 故答案为:1,(1,2). 【点评】考查对于分段函数,已知函数求值的方法,二次函数的单调性,分段函数单调区间 的求法,以及含绝对值函数的处理方法,一次函数的单调性. ;

13.已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则其体积是



【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】几何体为直三棱柱切去一个小三棱锥. 【解答】解:几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的.三棱柱底面为左视图中三角形,棱 柱的高为 2, 切去的三棱锥的底面与三棱柱的底面相同,高为 1, 所以几何体的体积 V= 故答案为 . 【点评】本题考查了空间几何体的三视图,结构特征和体积计算,属于基础题. ﹣ = .

14. 设△ ABC 的重心为 G, 且|GB|+|GC|=4, 若|BC|=2, 则|GA|的取值范围是



【考点】椭圆的简单性质.

【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由|BC|=2,可设 B(﹣1,0),C(1,0),即 c=1.|GB|+|GC|=4=2a>2=|BC|,可 得:点 G 在椭圆: =1 上,可得|GO|∈ .再利用|GA|=2|GO|,即可得出.

【解答】解:∵|BC|=2,∴可设 B(﹣1,0),C(1,0),即 c=1. ∵|GB|+|GC|=4=2a>2=|BC|, ∴b2=a2﹣c2=3. ∴点 G 在椭圆: ∴|GO|∈[b,a],即|GO|∈ ∵|GA|=2|GO|, ∴|GA|∈ 故答案为: , , =1 上, .

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的重心的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

15.设向量 , 的夹角为 小值是 2,则 = 4 .

,若对任意的 m,n∈R,| ﹣m |的最小值为 1,| ﹣n |的最

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】数形结合;转化思想;平面向量及应用. 【分析】不妨设 =(R,0), = (r>0).对任意的 m,n∈R,| ﹣m | 时,| ﹣m |=1,当

的最小值为 1,| ﹣n |的最小值是 2,可得:当 ⊥ 时,| ﹣n |=2,联立解出即可得出. 【解答】解:如图所示,不妨设 = =(R,0), = =

(r>0).

=



=



∵对任意的 m,n∈R,| ﹣m |的最小值为 1,| ﹣n |的最小值是 2,

∴当 ⊥ 当 可得: r=2Rn,

时,| ﹣m |=1, 时,| ﹣n |=2, =2mr,R2﹣ mRr+m2r2=1.

nRr+n2R2=4.

联立解得:R=2,r=4, ∴ = . =4 .

故答案为:4

【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin2

+cos2A= .

(I)求 A 的值; (Ⅱ)若 a= ,求 bc 的最大值.

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】(I)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 8cos2A+2cosA﹣3=0,从而 解得 cosA= ,由 A 为锐角,即可求得 A 的值. (Ⅱ)利用余弦定理及基本不等式即可得:3=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc,当且仅当 b=c 时等号 成立,从而得解.

【解答】解:(I)∵sin2 ?

+cos2A= .

+cos2A= ,

?8cos2A+2cosA﹣3=0, ∴解得:cosA= 或﹣ (A 为锐角,舍去). ∴A= . ,a= ,

(Ⅱ)∵A=

∴由余弦定理可得:3=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc,当且仅当 b=c 时等号成立, ∴bc 的最大值为:3. 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,余弦定理及基本不等式的应用,考查了 计算能力和转化思想,属于中档题.

17.在三棱锥 A﹣BCD 中,点 A 在 BD 上的射影为 O,∠BAD=∠BCD=90°,AB=BC=2, AD=DC=2 ,AC= .

(Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)若 E 是 AC 的中点,求直线 BE 和平面 BCD 所成角的正切值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【专题】转化思想;分析法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(Ⅰ)连接 OC,由题意可得 AO⊥BD,由勾股定理的逆定理可得 AO⊥CO,运用 线面垂直的判定定理,即可得证; (Ⅱ)取 CO 的中点 H,连接 EH,运用中位线定理和线面垂直的性质定理,可得 EH⊥平面 BCD,即有∠EBH 为直线 BE 和平面 BCD 所成角.运用正切函数的定义,计算即可得到所 求值. 【解答】解:(Ⅰ)证明:连接 OC,由点 A 在 BD 上的射影为 O,可得

AO⊥BD, 由∠BAD=∠BCD=90°,AB=BC=2,AD=DC=2 BD= =4,AO= = = , ,可得

同理可得 CO=

,由 AO2+CO2=AC2,可得 AO⊥CO,

又 BD,CO?平面 BCD,且 BD,CO 为相交二直线, 可得 AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)取 CO 的中点 H,连接 EH, 由中位线定理可得 EH∥AO,EH= AO, 由 AO⊥平面 BCD,可得 EH⊥平面 BCD, 即有∠EBH 为直线 BE 和平面 BCD 所成角. 又 EH= ,BE= = = ,

BH= 可得 tan∠EBH=

= = .

=



即有直线 BE 和平面 BCD 所成角的正切值为



【点评】本题考查线面垂直的证明,注意运用线面垂直的判定定理,考查线面所成角的正切 值, 注意运用中位线定理和线面所成角的定义, 考查运算能力和逻辑推理能力, 属于中档题.

18.设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设数列{bn}满足:b1=1,bn=

+2an=4Sn(n∈N*).

(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】转化思想;作差法;等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)令 n=1,求得首项为 2;再由 n>1 时,将 n 换为 n﹣1,相减可得 an﹣an﹣1=2, 再由等差数列的通项公式,计算即可得到所求; (Ⅱ)求得 bn= 理即可得到所求和. 【解答】解:(Ⅰ)当 n=1 时,a12+2a1=4S1=4a1, 解得 a1=2, 当 n>1 时,an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1, 又a +2an=4Sn(n∈N*). ﹣an﹣12+2an﹣2an﹣1=4Sn﹣4Sn﹣1=4an, = ( ﹣ ),运用数列的求和方法:裂项相消求和,化简整

两式相减可得,a

即有(an﹣an﹣1)(an+an﹣1)=2(an+an﹣1), 可得 an﹣an﹣1=2, 则 an=a1+2(n﹣1)=2n: (Ⅱ)b1=1,bn= = = ( ﹣ ﹣ ), + ﹣ )

前 n 项和 Tn=1+ ( ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ =1+ ( + ﹣﹣ = ﹣ ﹣ ) .

【点评】 本题考查数列的通项的求法, 注意运用等差数列的通项公式, 考查数列的求和方法: 裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

19.已知函数 x2=4y 的焦点是 F,直线 l 与抛物线交于 A,B 两点. (Ⅰ)若直线 l 过焦点 F 且斜率为 1,求线段 AB 的长; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴不垂直,且|FA|+|FB|=3.证明:线段 AB 的中垂线恒过定点,并求出 该定点的坐标. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(Ⅰ)由题意写出直线方程的斜截式,联立直线方程和抛物线方程,化为关于 y 的一元二次方程,利用根与系数的关系结合焦半径公式求得答案; (Ⅱ)设直线 l 的方程 y=kx+b,联立直线方程和抛物线方程,由|FA|+|FB|=3 得到 k 与 b 的 关系,利用根与系数的关系求得 A,B 的中点坐标,由线段 AB 的中点为定点可得答案.

【解答】(Ⅰ)解:由 x2=4y,得抛物线焦点 F(0,1), 则直线 l 的方程为 y=x+1, 联立 ,得 y2﹣6y+1=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=6, ∴|AB|=y1+y2+2=8; (Ⅱ)证明:由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+b, 联立 ,得 y2﹣(4k2+2b)y+b2=0.

则 ∴|FA|+|FB|= 则 ∴ ,

, ,

, ), ).

∴A,B 的中点坐标为( 则 AB 的中垂线恒过定点(

【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查了抛物线的焦半径公式,考查直线与抛物线位置 关系的应用,是中档题.

20.已知函数 f(x)=|ax2+x﹣4a|,其中 x∈[﹣2,2],a∈[﹣1,1]. (I)当 α=1 时,求函数 y=f(x)的值域; (Ⅱ)记 f(x)的最大值为 M(a),求 M(a)的取值范围.

【考点】二次函数的性质;绝对值不等式的解法. 【专题】分类讨论;分析法;函数的性质及应用. 【分析】(I)求出当 α=1 时,f(x)=|x2+x﹣4|,x∈[﹣2,2],解方程可得两根,再由 f(x) 的单调性,可得值域; (Ⅱ)设 f(x)=0 的两根为 x1,x2,(x1<x2),对 a 讨论,当﹣1≤a≤﹣ 时,当﹣ <a≤0 时,当 0<a≤ 时,当 <a≤1 时,运用单调性可得最大值,再由基本不等式和单调性,即可 得到所求范围. 【解答】解:(I)当 α=1 时,f(x)=|x2+x﹣4|,x∈[﹣2,2], 由 x2+x﹣4=0,解得 x= , )递减,

由 f(x)在[﹣2,﹣ ]递增,在(﹣ , 在( ,2]递增,可得

f(x)的最小值为 0,由 f(﹣ )= 最大值为 . ];

,f(2)=4,

则 f(x)的值域为[0,

(Ⅱ)设 f(x)=0 的两根为 x1,x2,(x1<x2), 当﹣1≤a≤﹣ 时,f(x)在(﹣2,x1)递减,(x1,﹣ )递增,(﹣ ,2)递减,

可得 f(x)在 x=﹣

处取得最大值,且为﹣



当﹣ <a≤0 时,f(x)在(﹣2,x1)递减,(x1,2)递增, 可得 f(x)在 x=±2 处取得最大值 2; 当 0<a≤ 时,f(x)在(﹣2,x2)递减,(x2,2)递增,可得 f(x)在 x=±2 处取得最大 值 2; 当 <a≤1 时,f(x)在(﹣2,﹣ )递增,(﹣ ,x2)递减,(x2,2)递增,

可得 f(x)在 x=﹣

处取得最大值,且为



即有 M(a)=



当﹣1≤a≤﹣ 时,M(a)=(﹣4a)+

在[﹣1,﹣ ]递减,可得 M(a)∈[2,

];

当 <a≤1 时,M(a)=4a+

递增,可得 M(a)∈[2, ].

].

综上可得,M(a)的取值范围是[2,

【点评】 本题考查含绝对值函数的值域的求法, 注意运用函数的单调性和对称轴与区间的关 系,考查函数的最值的求法,注意运用分类讨论的思想方法,以及函数的单调性及对称轴和 区间的关系,属于难题.


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