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浙江省东阳中学2015届高三下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


东阳中学 2015 年下期高三数学(理科)期中试卷
命题 朱建华 审题 卢超纲 一、选择题: 1. 已 知 全 集 U ? R , 集 合 S ? x x 2 ? 2x ? 8 ? 0

?

? , CU T ? ?x x ? ?3或x ? 4?, 则

S ?T ?
A. x 2 ? x ? 4

B. x ? 4 ? x ? 4 C. x ? 3 ? x ? 2 2. 若 a ? b ? 0 ,下列不等式中不成立的是 A. a ? b
2 2

?

?

?

?

?

?

D. x ? 3 ? x ? 2

?

?

B.

1 1 ? a?b a

C. | a |?| b |

D.

1 1 ? a b

3. 已知 a, b 是非零向量,则“ | a ? b |?| a | ? | b | ”是“ a / / b ”成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4. .已知 ? ? ? ? A.2 B.必要不充分条件 D.既不充分条件又不必要条件

? ?

? ?

?

?

?

?

3? ,则 (1 ? tan? )(1 ? tan ? ) 等于 4 B. ? 2 C.1 D. ? 1

? x 2 , ( x ? 0) ? 5. 已知定点 A(4,0) ,曲线 C: y ? ? 1 ,P 是曲线 C 上的动点,当 ?POA 是等 ? x, ( x ? 0) ?2
腰三角形时,符合条件的点 P 个数是 A.1 B.2 C.3 A.1 B.2 C.3 解:C。数形结合求解。 D.4

6. 设函数 f ( x) ? n ? 1, x ?[n, n ? 1), n ? N ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? log2 x 的零点个数是 D.无数个

2 2 7. 若正数 x , y 满足 2 x ? xy ? 2 y ? x ? y ? 1,则 x ? y 的取值范围是

A. [ ?

2 , 2] 3

B. (0, 2]

C. ( , 2]

1 2

D. (1, 2]

8. 棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,点 M 在与正方体的各棱都相切的球面上运动, 点 N 在 ?ACB1 的外接圆上运动,则线段 MN 长度的最小值是

A.

3 ?1 2

B.

2 ?1 2

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 2

二、填空题
x ? ? 2 ? a, x ? 2 f ( x ) ? 9.设 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是_______. ? 2 ? ?x ? a , x ? 2

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,P 是双曲线上一点, a 2 b2

且 PF1 ? PF2 , | PF 1 | ? | PF 2 |? 4ab ,则双曲线的离心率是_______.

?x ? 1 ? 11. 已知点 M ( x, y ) 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,当 a, b ? 0 时,若 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
ax ? by的最大值为 12,则 a , b 所满足的关系式是_______________;
在此条件下

3 1 ? 的最小值是_________. a b

12. 右图是某几何体的三视图,若这三个正方形的边长均为 1, 则这个几何体的体积是________,表面积是________. 13. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? 4 ? ( ? )

1 2

n ?1

,则 3Sn ? an ? 12n 的值是

__________ ;若对任意正整数 n ,恒有 1 ? p (Sn ? 4n ) ? 3成立,则实数 p 的取值范围是 __________. 14. 已 知 O 是 ?ABC
? 内 一 点 , ?A O B , 2且0 ? 1 5? 0 ? , A O? C1

? ? ??? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? , ? 3 n O? B O, C 则 | OA ? OB ? OC |? ________ ; |O A ?| 2 , O |? B | O 1? ,C若 | m O|A

m ? 3n 的值是________.
15. 已知点 A(0,3), B(1,0), C (3, m) ,P 为线段 AB 上任意一点,过点 P 作直线 l , l 与以

C 为圆心、以

10 为半径的圆交于两点 M、N,若 M 恰为线段 PN 的中点,则实数 m 的取值 3

范围是__________.

三、解答题 16.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? m 在区间 [0,

?
4

] 上的最大值为 2 , (1)

求实数 m 的值; ( 2 ) 在 ?ABC 中 , 三 内 角 A, B, C, 所 对 的 三 边 分 别 为 a, b,c , 且

3 f ( B) ? 1,a ? c ? 2 ,求 b 的取值范围。 4

17. 设等差数列 {an } 的公差为 2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,其中 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和, (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 bn ? 2n , 数列 {

(an ? 1)bn } 的前 n 项和为 Tn , n(bn ? 1)(bn?1 ? 1)

求证:

4 2 ? Tn ? 15 3

18. 在三棱柱 ABC ? A 已知 AA1 ? 1B 1C1 中, 平面 ABC, AB ? AC, AC ? AB ? AA 1 , E、 F 分别为棱 BC、 AA1 的中点,G 为棱 CC1 上的一 点, 且 C1 F / / 平面 AEG, (1) 求证:EG ? AC 1 ; (2)求二面角 A1 ? AG ? E 的大小的余弦值。

19. 如图所示,曲线 C1 是以原点 O 为中心、 F1 , F2 为焦点的椭圆的一部分,曲线 C2 是以 O 为顶点、 F2 为焦点的抛物线的一部分,A 是曲线 C1 和 C2 的一个交点,且 ?AF2 F 1 为钝角。 若 | AF1 |?

7 5 , | AF2 |? , (1)求曲线 C1 和 C2 的所在的椭圆和抛物线的方程; (2)过 F2 作 2 2

一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1 和 C2 依次交于 B、 C、D、E(从上到下)四点,若 G 为 CD 的中点、H 为 BE

的中点,问

| BE | | GF2 | 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由。 ? | CD | | HF2 |

2 20. 已 知 f (log , ( 1 ) 当 a ? 0 时 , 求 f ( x) 的 值 域 ; (2)设 ? ax ? 2x? 1 ?a 2 x )
?x ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,总有 | h( x1 ) ? h( x2 ) |? h( x) ? 2 f (x )

a ?1 成立, 2

求 a 的取值范围。

东阳中学 2015 年下期高三数学(理科)期中试卷答案
一、1. A. 由题意知, S ? x x ? ?4或x ? 2 , T ? x ? 3 ? x ? 4 2. D。 3. C。 4. A。

?

?

?

?

1 2 5. D。当点 P 在 y ? x ( x ? 0) 上时,有三个点;当点 P 在 y ? x ( x ? 0) 上时,有一个点 2
符合条件,故共有 4 个点。 6. C。数形结合求解。
2 7. D 。 设 x ? y ? u , 则 2(x ? y ) ? 5xy ? x ? y ? 1 , 则 2u ? u ? 1 ? 5 xy ?
2

5 2 u ,即 4

3u 2 ? 4u ? 4? 0,解得 ?

2 ? u ? 2 。又注意到 xy ? 0 ,得 2u 2 ? u ? 1 ? 0 ,解得 u ? 1 或 3

1 u ? ? ,故得 1 ? x ? y ? 2 。 2
8. D。易求得球的半径为 2 ,球心到平面 ACB1 的距离为

3 , ?ACB1 的外接圆半径为 3

2 2 ,所以球心到此外接圆上点的距离为 3 ,故线段 MN 长度的最小值为 3 ? 2 。 3
二、9. a ? ?1 或 a ? 2 10.

5

25 。点 M 构成的区域是顶点为 (1,0),(1, 2),(3, 4) 的三角形,由图可 12 3 1 知当点 M 在 (3, 4) 时 ax ? by 取最大值,所以 3a ? 4b ? 12 ;因为 ( ? )(3a ? 4b) ? 25 ,且 a b 3 1 25 12 6 , b ? 时, ? 的最小值是 当 a ? 2b ,即 a ? a b 12 5 5 2 12. ; 3 ? 3 .原几何体为一个正方体截去两个三棱锥。 3 13. ?2 ; 2 ? p ? 3 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 14. | OA ? OB ? OC |? 8 ? 2 3 ;由条件 mOA ? nOB ? OC ,得 ??? ?2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? ? ? ? m ? ?3 ?4m ? 3n ? ?3 ?mOA ? nOB ? OA ? OC ? OA ,解得 ? , ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ???? ??? ? ,即 ? n ? ? 3 3 ? ? 3 m ? n ? 0 ? ? ? ? ?mOA ? OB ? nOB ? OC ? OB 所以 m ? 3n ? ?12
11. 3a ? 4b ? 12 ; 15. 2 ? m ? 6 。只要考虑极端情形:当点 P 在 A 点时,设直线 AC 与圆相交于 M、N 两 点 , 只 要 | MN |?| AM | 时 , 适 当 绕 点 P 转 动 总 有 一 个 位 置 满 足 | MN |?| AM | , 故

| MN |? | AM ,即 | 3r ?| AC | , 10 ? 32 ? (3 ? m) 2 ,解得 2 ? m ? 4 ;当点 P 在 B 点时,
同样可得 3r ?| BC | ,即 10 ? 22 ? m2 ,解得 ? 6 ? m ? 6 。综上可知 m 的取值范围是

2?m? 6 。
三、16.解: (1) f ( x) ?

2 sin(2 x ? ) ? m ? 1 , m ? ?1 4 ? a?c 3 1 ? sin B ? ? ( 2 ) B ? ,由正 弦定理得 b ? 2? ? 3 sin A ? sin C sin A ? sin( ? A) sin( A ? ) 3 6 ? [1, 2)
17.解: (1)设数列 {an } 首项为 a1 ,由题意得 S1S4 ? S22 ,即 a1 (4a1 ? 12) ? (2a1 ? 2)2 ,解得

?

a1 ? 1 ,故有 an ? 2n ? 1

(an ? 1)bn 2n ? 2n 1 1 ? ? 2( n ? n?1 ) ,所以 n n ?1 n(bn ? 1)(bn?1 ? 1) n(2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2( 1 ? 2 ) ? 2( 2 ? 3 ) ? ? ? 2( n ? n ?1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 2 ? 2( 1 ? n ?1 ) ? 2 ?1 2 ?1 3 4 4 2 ? Tn ? 显然有 Tn ? T1 ? c1 ? 。综上可得 15 15 3
( 2 )由上可知 cn ? 18. 解 : ( 1 ) 因 为 C1 F / / 平 面 AEG , 所 以

C1F / / AG,所以 G 是 CC1 的中点。
取 AC 中点 H,连 GH,易得 AC ? GH, 1

AC ? EH , 所 以 AC ? 平 面 EGH , 从 而 有 1 1 AC ? EG。 1

(2)过 H 作直线 AG 的垂线交 AG 于 K 点,连 EK,易证 ? HKE 是二面角 A1 ? AG ? E 的 平 面 角 的 补 角 。 不 妨 设 AB ? 2 , 在 Rt? HK E中 , 易 求 得 HE ? 1, HK ?

1 ,所以 5

tan?HKE?

6 6 ,故二面角 A1 ? AG ? E 的大小的余弦值是 ? 6 6 另解: (1)因为 C1 F / / 平面 AEG ,所以 C1 F / / AG,所以 G 是 CC1 的中点。

5,即 cos ?HKE ?

0 1) A , ??? ? ???? ??? ? ???? ? EG。 EG ? (?1,1,1), AC ? (0,2, ?2) 。因为 EG ? AC ? 0 ,所以 AC 1 1 1 ?? (2) 可求得平面 AEG 的法向量为 m ? ((1, ?1, 2) ; 平面 ? 6 。 A1 AG 的法向量为 n ? (0,1,0) ,所以可求得 cos ? ? ? 6

以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴 AB ? 2 , 则 B( 2 , 0 C ,

,AC 为 y 轴建立空间坐标系,不妨设 以 , E0 ( 1 0 , , ( ,0 所 , 2 ) , G 1 (, 0 ,) 0

, (2 0) ,

2

x2 y 2 ? ? 1 ,由椭圆的定义得 a ? 3 。 a 2 b2 7 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( ) 2 ? 3 ? 2 设 A( x, y), F1 (?c,0), F2 (c,0) ,则 ? ,相减得 xc ? 。由抛物线的定 2 ?( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( 5 )2 ? ? 2 3 3 5 义 得 | AF2 |? x ? c ? , 从 而 可 得 c ? 1, x ? 或 x ? 1, c ? ( 舍 ) ,则所求椭圆方程为 2 2 2 x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线方程为 y 2 ? 4x 9 8 ( 2 ) 设 B( x x ,3 y ), D 4( x , ,y 直 ) 线 y ? k ( x ? 1) , 代 入 椭 圆 1, y 1 ) , E (x 2 ,y 2 ) ,C ( 3 4
19. 解: (1)设椭圆的方程为

x2 y 2 ?16k ?64k 2 ? ? 1 ,得 (8 ? 9k 2 ) y 2 ? 16ky ? 64k 2 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? , y y ? 1 2 9 8 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2 4 同理可代入抛物线 y 2 ? 4 x ,得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 , y3 ? y4 ? , y3 y4 ? ?4 k 1 | y ? y4 | | BE | | GF2 | | y1 ? y2 | 2 3 所以 ? ? ? ? ? ? 3 为定值。 | CD | | HF2 | | y3 ? y4 | 1 | y ? y | 1 2 2 20.解: (1) f ( x) ? a(2x )2 ? 2 ? 2x ? 1 ? a ,当 a ? 0 时,值域为 (??,1 ? a) 。 a ?1 (2)只要 h( x) max ? h( x) min ? 即可。 2 1 1? a x ? 2 ? g (u ) 设 2 ? u (u ? [ , 2] ,则 h( x) ? au ? 2 u 4 1 1? a 1 当 0 ? a ? 1 时,若 ? ,即 ? a ? 1 时, g (u ) 在区间 [ , 2] 上单调递增,所以 5 2 a 2 4 4 1 a ?1 g (2) ? g ( ) ? ,解得 a ? ,所以 a ? 5 5 2 2 1 4 1 1? a 1 1? a 若 ? ] 上 单调 递减,在 区间 ? 2 , 即 ? a ? 时, g (u ) 在 区间 [ , 5 5 2 a 2 a ? 1? a a ?1 )? ? g (2) ? g ( 1? a 5? 7 4 a 2 ? ,所以 [ , 2] 上递增,所以 ? ?a? 8 5 a ?g( 1 ) ? g( 1? a ) ? a ?1 ? a 2 ? 2
1 1 1? a ? 2 , 即 0 ? a ? 时 , g (u ) 在 区 间 [ , 2] 上 单 调 递 减 , 所 以 5 2 a 2 1 a ?1 5? 7 4 g ( ) ? g (2) ? ?a? . ,解得 a ? ,舍去。 综上可知 7 2 2 8 5



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