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高一数学第四章(第4课时)弧度制(2)


高中数学教案

第四章 三角函数(第 4 课时)

No. 4
课 题:4.2

弧度制(二)

教学目的: 1.巩固弧度制的理解,熟练掌握角度弧度的换算;掌握用弧度制表示的弧 长公式、扇形面积公式. 2.培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3. 通过弧度制的学习, 理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法, 二者是辩证统一的,而不是孤立、割裂的关系. 教学重点:运用弧度制解决具体的问题. 教学难点:运用弧度制解决具体的问题. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1.定义: 长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 它的单位是 rad 读
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作弧度,这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 如下图,依次是 1rad , 2rad , 3rad ,α rad
2r
3r
3rad

l
? rad

r
1rad

r r

2rad

r

r

r

探究: ⑴平角、周角的弧度数, (平角=? rad、周角=2? rad) ⑵正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0
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⑶角?的弧度数的绝对值

? ?

l r

( l 为弧长, r 为半径)

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⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位、进制不同,就像度量 长度一样有不同的方法,千米、米、厘米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变, 改变的是不同的观察、处理方法,因此结果就有所不同 ⑸用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同
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2. 角度制与弧度制的换算:
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第四章 三角函数(第 4 课时)

∵ 360?=2? rad

∴180?=? rad

∴ 1?=

?
180

rad ? 0 . 01745 rad
?

? 180 ? 1 rad ? ? ? ? 57 . 30 ? ? ?

?

? 57 18 '

?

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在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住: 角度 弧度 角度 弧度 0° 0 210° 7π /6 30° π /6 225° 5π /4 45° π /4 240° 4π /3 60° π /3 270° 3π /2 90° π /2 300° 5π /3

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120° 2π /3 315° 7π /4

135° 3π /4 330° 11π /6

150° 5π /6 360° 2π

180° π

4.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在 角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
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正角 零角 负角 任意角的集合

正实数 零 负实数 实数集 R
n?r 180

5.初中学过的弧长公式、扇形面积公式: l ? 二、讲解新课: 1.弧长公式: l ? r ? ? 由公式: ? ?
l r 1 2 ?

;S扇 ?

n?R 360

2

l ? r??

比公式 l ?

n?r 180

简单

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 2. 扇形面积公式 圆的半径
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S ?

lR

其中 l 是扇形弧长,R 是
R

证:如图:圆心角为 1rad 的扇形面积为:

1 2?

?R

2

o

S

l

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第四章 三角函数(第 4 课时)

弧长为 l 的扇形圆心角为 ∴S ?
l R ? 1 2? ? ?R
2

l R

rad

?

1 2

lR
n?R 360
2

比较这与扇形面积公式 S 扇 ?

要简单

三、讲解范例: 例 1.求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1m)图中长度单位为:m ? ? 解: ∵ 60 ?
3

∴ l ? ? ?R ?

?
3

? 45 ? 3 . 14 ? 15 ? 47 ( m )

例 2.已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角 是 1 弧度,求该扇形的面积 解:设扇形的半径为 r,弧长为 l ,则有
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?2r ? l ? 6 ?r ? 2 ? ? ? ?l ?1 ?l ? 2 ?r ?

A o
2

B

∴ 扇形的面积 S ? 例 3 计算 sin
?
4

1 2

rl ? 2 ( cm )

?
4

和 tan 1 . 5
?
4
? ? ?

解:∵

? 45

?

∴ sin

? sin 45

?

?

2 2

1.5rad ? 57 . 30 ? 1 . 5 ? 85 . 95
?

? 85 57 '

∴ tan 1 . 5 ? tan 85 57 ' ? 14 . 12 例 4 将下列各角化成 0 到 2 ? 的角加上 2 k ? ( k ? Z ) 的形式 ⑴ 解:
19 3 ? 315
?

19 3

?


?
3 ? 6?
?

? 315

?

? ?

? 45 ? 360

?

?

?
4

? 2?

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第四章 三角函数(第 4 课时)

例 5 直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长 ⑴ 解: r ? 10 cm ⑴ l ? ? ? r ? ⑵ 165
?

4? 3

⑵ 165

?

4? 3 11 ?
12

? 10 ?
rad

40 ? 3

( cm )
11 ? 12 ? 10 ? 55 ? 6 ( cm )

?

?
180

? 165 ( rad ) ?

∴l ?

例 6 已知扇形周长为 10cm,面积为 6cm2,求扇形中心角的弧度数. 解:设扇形中心角的弧度数为 α (0<α <2π ),弧长为 l,半径为 r, 由题意: ? 1
?r ? 2 ?l ? 6

? l ? 2 r ? 10 ? l?r ? 6 ? 2 ?

? r

2

? 5r ? 6 ? 0

∴ ?

或?

?r ? 3 ?l ? 4

∴ ? ?

l r

=3 或

4 3

四、课堂练习: 1.圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 2.时钟经过一小时,时针转过了( ) ? ? ? ? A. rad B.- rad C. rad D.- rad
6
1 2 C. 1 2 R
2

6
1 2

12

12

3.一个半径为 R 的扇形, 它的周长是 4R, 则这个扇形所含弓形的面积是(
A ( 2 ? sin 1 cos 1) R
2

)

B.

sin 1 cos 1 R

2

D.(1 ? sin 1 cos 1) R

2

4.圆的半径变为原来的 的

1 2

,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来

倍. 5.若α =-216°,l=7π ,则r= 弧长为 l,半径为 r). 6. 在 半 径 为 为 . 参考答案:1.B 2.B 3.D 4.2 5.
35 6 30

(其中扇形的圆心角为α ,
2 3

?

的圆中,圆心角为周角的

的角所对圆弧的长

6.40

五、小结:用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式. 六、课后作业:

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第四章 三角函数(第 4 课时)

1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶2,则两个扇形周长的比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ 2 D.1∶8

2.在半径为 1 的单位圆中,一条弦 AB 的长度为 3 ,则弦 AB 所对圆心角 α 是( ) B.α < 3 C.α =
2? 3

A.α = 3

D.α =120

3.下列命题中正确的命题是( ) A.若两扇形面积的比是 1∶4,则两扇形弧长的比是 1∶2 B.若扇形的弧长一定,则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定,则弧长存在最小值 D.任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系 4.时钟从 6 时 50 分走到 10 时 40 分,这时分针旋转了 弧度. 2 5.已知扇形 AOB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,则弦 AB 的长等 于 cm. 6.已知扇形 AOB 的圆心角为 120°,半径为 6,则扇形所含弓形的面积 为 . 7.2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,求此圆心角所夹扇形的面积. 8.扇形的面积一定,问它的中心角α 取何值时,扇形的周长 L 最小? 9.在时钟上,自零时刻到分针与时针第一次重合,分针所转过角的弧度数 是多少? 参考答案:1.C 2.C 3.D 4.- 6.12π -9 3 七、板书设计(略) 八、课后记: 一个扇形 OAB 的面积是 1 平方厘米,它的周长是 4 厘 米,求∠AOB 和弦 AB 的长. 分析:欲求∠AOB,需要知 AB 的长和半径 OA 的长,用 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,结合已知条件,能 比较容易地求得,之后在△ AOB 中求弦 AB 的长.作 OM⊥AB 交 AB 于 M,则
AM ? BM ? 1 2 AB ,在 Rt△AMO 中求 AM.
?
3

5.2sin1 9.-
24 ? 11

7.

1 sin
2

8.2
1

答案:∠AOB=2 rad,AB=2sin1 cm.?

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