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山西省榆社中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


榆社中学高一年级第二学期期中考试 高一数学试题
注意事项: 1.答题前,考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、考号填写在答题 卡上。 2.请把所有答案做在答题卡上,交卷时只交答题卡,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 100 分,考试时间 120 分钟。 一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,在每个小题给出的四个选项中, 只

有一项是符合题目要求的) 1.已知 a ? (2,1), b ? (m, ?1) , a / / b ,则 m ? (

?

?

?

?



1 C.2 D.-2 2 2 2.已知 sin ? ? ,则 cos(? ? 2? ) 等于( ) 3 1 1 5 5 A. B. ? C. D. ? 9 9 9 9
A. B. ? 3. 将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 A. y ? cos 2 x

1 2

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象函数解析式是 ( ) 4 ? B. y ? 2cos2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ? ) D. y ? 2sin 2 x 4
( ) B. 2k? ?

4.函数 y ? 2cos x ? 1 的定义域是 A. 2k? ?

? ? ?

?
3

, 2 k? ?

?? (k ? Z ) 3? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

? ? ?

?
6

, 2 k? ?

?? (k ? Z ) 6? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

C. 2k? ?

? ? ?

?
3

, 2 k? ?

D. 2k? ?

? ? ?

2? 3

, 2k? ?

5.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为 ( ) A. y ? 2 sin( 2 x ? B. y ? 2 sin( 2 x ? C. y ? 2 sin(

?

2? ) 3 3 )

x ? ? ) 2 3

D. y ? 2 sin( 2 x ?

?

3

)

1

6.已知 sinx+cosx= A.4 3

1 且 x?(0,?),则 tanx 值 5 3 4
2

( ) D.
4 3

B.-

C.-

4 3 或3 4

7.设 tan ? 、 t an ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ? ? ? ? 则 ? ? ? 的值为( ) A. ?

? ? ?? ? ? ?? , ?, ? ? ? ? , ? , ? 2 2? ? 2 2?

2? 3

B.

? 3

C.

?
3

或?

2? 3

D. ?

?
3



2? 3

8.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,向量 a ? i ? 2 j ,向量 b ? i ? ? j 且向量 a 与向量 b 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是( ) 1 A.(-∞,-2)∪(-2, ) 2 2 2 C.(-2, )∪( ,+∞) 3 3 1 B.( ,+∞) 2 1 D.(-∞, ) 2

9.已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 | 2a ? b | 的最大值、最小值分别是( ) A. 4 2 ,0 B. 4,4 2 C. 16,0 D. 4,0

?

?

? ?

10.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0, ω >0)的部分图象如图所示,下列结论: ①最小正周期为 π ; ②将 f(x)的图象向左平移 偶函数; ③f(0)=1;

? 个单位,所得到的函数是 6

12? 14? )<f( ); 11 13 5? ⑤f(x)=-f( -x). 3
④f( 其中正确的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①④⑤ D.②③⑤

二.填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,把答案填在答题卡的相应位置上) 11.

? ? ? ? a b ? ( ? 2 , 1 ) 设平面向量 a ? (3,5) , ,则 ? 2b =

12.设 ? 的终边过点 P?? 4, 3? ,那么 3 sin ? ? cos ? ? 13. ?、? 均为锐角, sin ? ?

5 4 , cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) ? 13 5
2

14.已知向量 a ? (3, 2), b ? (?2,1) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影为
2 2 15.已知 0<?<?, ? sin ? ? 2cos ? ,则 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? 的值为

?

?

?

?

16.函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2sin x ?1, x ? ? ? 17. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

? ? 2? ? 的值域为 , ? 6 3 ? ?



?
6

若 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? ).

?
2

则? ? ) 是偶函数,



18.设向量 a ? (? ? 2, ?2 ? 3 cos2? ) ,向量 a ? (m, 数.若向量 a ? 2b ,则

?
m

m ? sin ? cos ? ) ,其中 ? , m, ? 为实 2

的取值范围为

.

三.解答题(本大题共 5 小题,共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把 解答写在答题卡的相应位置上) 19. (本小题满分 8 分) 已知 cos ? ?

1 13 ? , cos( ? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? ,求 ? . 7 14 2
? ? ? ? ? ?
0

20. (本小题满分 8 分)已知向量 a 、 b 满足 : a ? 1, b ? 4, 且 a 、 b 的夹角为 60 .

(1)求 ? 2 a ? b ? ? ? a ? b ? ;

? ?

?

?

? ?? ? ? ? ?

?

? ?

(2)若 ? a ? b ? ? ? ? a ? 2 b ? ,求 ? 的值. 21. (本小题满分 10 分) 已知向量 a = (2 sin x, cos x) , b ? ( 3 cos x,2 cos x) 定义函数 f(x)= a · b -1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递减区间. 22. (本小题满分 10 分) 已知非零向量 a, b 满足 a ? 1 ,且 ( a ? b) ? ( a ? b) ? (1)求 b ; (2)当 a ? b ? ?

?? ?

?

? ?

?

?

? ?

3 . 4

1 时,求向量 a 与 a ? 2b 的夹角 ? 的值. 4

23.(本小题满分 10 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

? ) 部分图象如图所示. 2

3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值.

? 2

4

榆社中学高一年级第二学期期中考试 高一数学试题答案 一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1-5. DBBDA 6-10. ACADC

二.填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,把答案填在答题卡的相应位置上) 11. (7,3) 12.1 13.

56 65

优高 1414. ?

4 5 5

15.

11 5

16. ? ? , ? ? 2 2?

? 1 3?

17.

? 3

18. [-6,1]

三.解答题(本大题共 5 小题,共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把 解答写在答题卡的相应位置上) π π 19. (本题满分 8 分)解 由 0<β <α < ,得 0<α -β < . 2 2 13 1 又∵cos(α -β )= ,cos α = 14 7 ∴sin(α -β )= 1-cos (α -β )= sin α = 1-cos α = 由 β =α -(α -β ),得 cos β =cos[α -(α -β )]=cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 1 13 4 3 3 3 1 π = × + × = ,∴β = . 7 14 7 14 2 3 20. (本题满分 8 分) 【答案】 (1)-12; (2) ? ? 12 【解析】
? 试题分析: (1)由题意得 a ? b ? a ? b cos 60 ? 1? 4 ?
2 2

?13?2 3 3. 1-? ? = ?14? 14

?1?2 4 3 1-? ? = 7 ?7?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)∵ ? a ? b ? ? ? ? a ? 2b ? ,∴ ? a ? b ? ? ? ? a ? 2b ? ? 0 ,
∴ 2a ? b ? a ? b ? 2a ? a ? b ? b ? 2 ? 2 ? 16 ? ?12 ∴ ? a ? ? ? ? 2 ? a ? b ? 2b ? 0 ,∴ ? ? 2 ? ? ? 2? ? 32 ? 0 , ∴ ? ? 12 21. (本题满分 10 分)

?

? ?

??

? ?

?2

? ? ?2

1 ?2, 2

?2

? ?

?2

5

解 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1 = 3sin 2x+cos 2x π? ? =2sin?2x+ ?. 6? ? 2π (1)T= =π . 2 π π 3π (2)令 +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ , 2 6 2 π 2π 则 +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z), 6 3 2π ?π ? 即函数 f(x)的单调递减区间为? +kπ , +kπ ?(k∈Z). 3 ?6 ? 22. (本小题满分 10 分)解 :(1)因为 ( a ? b) ? ( a ? b) ?
2 2 3 3 ,即 a ? b ? , 4 4

2

所以

b ? a ?

2

2

3 1 1 ? ,? b ? 4 4 2
2

(2)因为 a ? 2b

? (a ? 2b) 2 ? a ? 4a ? b ? 2b ? 1 ? 1 ? 1 ? 1,? a ? 2b ? 1
2

2

2

又因为 a ? (a ? 2b) ? a ? 2a ? b ? 1 ? 所以 cos? ?

1 1 ? 2 2

a ? (a ? 2b)

1 ? , 2 a a ? 2b

0 0 0 又 0 ? ? ? 180 所以 ? ? 60 23、 (本小题满分 10 分)

【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ) ;(Ⅱ)最大值为 1 ;最小值为 ?

? 6

1 . 2

(Ⅰ) 由图可得 A ? 1 , ?

T 2

2? ? ? ? ? ? , 根据周期公式可得 ? ? 2 , 当 x ? 时,f ( x) ? 1 , 3 6 2 6

可得 sin(2 ?

? ? ? ? ? ) ? 1 ,因为 | ? |? , 所以 ? ? ,即可求出 f ( x) 的解析式.(Ⅱ)对 6 2 6

函数 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ?

?

? ) ? cos 2 x ,化简可得 g ( x) ? sin(2 x ? ) ,因为 6 6

0? x?

? ? ? 5? ? ? ? ,所以 ? ? 2 x ? ? ,当 2 x ? ? ,即 x ? 时,即可求出 g ( x) 的最大 2 6 6 6 6 2 3

6

值;当 2 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 0 时,即可求出 g ( x) 的最小值. 6 6 T 2? ? ? ? ? ? ,所以 T ? ? 2 3 6 2

试题解析:解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 所以 ? ? 2 当x?

? ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? , 所以 ? ? 2 6 ? 6

因为 | ? |?

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? )

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x

? ? 3 1 ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 6 6 2 2 ? ? sin(2 x ? ) 6
因为 0 ? x ?

? ? ? 5? ,所以 ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6

当 2x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1 ; 6 2 3 ? ? 1 ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? . . 6 6 2

当 2x ?

7


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