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算法与程序框图练习案


算法初步、推理 与证明、复数
§12.1 算法与程序框图 自主学习 基础知识
要点梳理
1.算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问 题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是 明确

和 有效 的,而且能够在有限步之内完成.

2.程序框图又称 流程图 ,是一种用 规定的图形 、
指向线 及 文字说明

来准确、直观地表示算法 的图形. 通常程序框图由 程序框和 流程线 组成,一个或 几个程序框的组合表示算法中的一个步骤; 流程 线 带方向箭头,按照算法进行的顺序将 程序框 连结起来. 3.三种基本逻辑结构

(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤 组
成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构.

其结构形式为

(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否
成立而选择执行不同的流向的结构形式. 其结构形式为

(3)循环结构是指 从某处开始,按照一定条件反复
执行处理某一步骤的情况 .反复执行的处理步骤称 为 循环体 .循环结构又分为 当型(WHILE型) 和 . 直到型(UNTIL型) 其结构形式为

4.算法的五个特征:概括性、逻辑性、有穷性、 不惟一性、普遍性.

基础自测
1.下列关于算法的说法正确的有( C ) ①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧

义或模糊;
④算法执行后产生确定的结果. A.1个 解析 都正确. B.2个 C.3个 D.4个 只有①不正确,算法不是唯一的,其他

2.关于程序框图的图形符号的理解,正确的有( B )
①任何一个程序框图都必须有起止框;②输入 框只能在开始框之后,输出框只能放在结束框 之前;③判断框是唯一具有超过一个退出点的 图形符号;④对于一个程序来说,判断框内的

条件是唯一的
A.1个 解析 B.2个 C.3个 D.4个 任何一个程序都有开始和结束,因而必

须有起止框;输入和输出可以放在算法中任何 需要输入、输出的位置;判断框内的条件不是 唯一的,如a>b,亦可写为a≤b.故只有①③对.

3.下列说法不正确的是( C )

A.三种基本逻辑结构包含顺序结构、条件结
构、循环结构 B.一个程序框图一定包含顺序结构 C.一个程序框图一定包含循环结构 D.一个程序框图不一定包含条件结构

解析

并不是每个程序框图都有循环结构.

4.如图所示的是一个算法的流程图,

已知a1=3,输出的结果为7,则a2
的值是( C ) A.9 C.11 解析 B.10 D.12 已知图形是一个顺序结构的

框图,表示的算法的功能是求两数a1、a2的算术
a1 ? a2 平均数,已知a1=3,输出结果为7,有 ? 7, 2

解得a2=11.

5.阅读右图程序框图(框图中的赋值符
号“=”也可以写成“←”或“:=”), 若输出的S的值等于16,那么在程序框 图中的判断框内应填写的条件是( A ) A.i>5? B.i>6?

C.i>7?
解析 ∴i(i+1)=30,∴i=5.

D.i>8?

即1+1+2+?+i=16,

又i=i+1=6,∴应填i>5?.

题型分类 深度剖析
题型一 算法的设计
【例1】 已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 求点P(x0,y0)到直线l的距离d,写出其算法 并画出程序框图. 思维启迪 利用点到直线的距离公式可写出算法, 而程序框图利用顺序结构比较简单. 解 算法如下: 第一步,输入x0,y0及直线方程的系数A,B,C. 第二步,计算Z1=Ax0+By0+C. 第三步,计算Z2=A2+B2. 第四步,计算 d ? | Z1 | .
第五步,输出d.
Z2

程序框图:

探究提高 给出一个问题,设计算法应注意:

(1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学
方法; (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况; (3)将解决问题的过程划分为若干个步骤; (4)用简练的语言将各个步骤表示出来.

知能迁移1


写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的

直线与坐标轴围成面积的一个算法. 算法:(1)取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3;
y ? y1 x ? x1 ? ; y2 ? y1 x2 ? x1

(2)计算

(3)在(2)中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交 点(0,m); (4)在(2)中令y=0得到x的值n,得直线与x轴交

点(n,0);
(5)计算 S ? 1 | m || n |; 2

(6)输出运算结果.

题型二

算法的顺序结构

【例2】 f(x)=x2-2x-3.求f(3)、f(-5)、f(5),并计 算f(3)+f(-5)+f(5)的值.设计出解决该问题的一
个算法,并画出程序框图.



算法如下:

第一步,令x=3. 第二步,把x=3代入y1=x2-2x-3. 第三步,令x=-5. 第五步,令x=5. 第四步,把x=-5代入y2=x2-2x-3. 第六步,把x=5代入y3=x2-2x-3. 第八步,输出y1,y2,y3,y的值.

第七步,把y1,y2,y3的值代入y=y1+y2+y3.

该算法对应的程序框图如图所示:

探究提高 顺序结构的算法写好后,按顺序依次

画出流程图.在变量赋值时,以后赋的为准,前边 赋过值的变量,有新的数值时,原来的值无效.

知能迁移2

如图所示的框图是解决某个

问题而绘制的程序框图,仔细分析各 图框内的内容及图框之间的关系,回 答下面的问题: (1)框中x=a的含义是什么?

(2)框中y=-x2+mx的含义是什么?
(3)该程序框图解决的是怎样的一个问题? (4)若输入的x值为0和4时,输出的值相等,则 ①当输入的x值为3时,输出的值为多大? ②要想使输出的值最大,输入的x值应为多少? ③按照这个程序框图,当输入的x的值都大于 2时,x值大的输出的y值反而小,为什么?



(1)图框中x=a表示把a值赋给变量x.

(2)图框中y=-x2+mx的含义是:在执行该图框的前 提下,即当x=a时计算-x2+mx的值,并把这个值赋 给y. (3)该程序框图解决的是求二次函数f(x)=-x2+mx

的函数值的问题.
(4)当输入的x值为0和4时,输出的y值相等, 即f (0)=f (4). ∵f(0)=0,f(4)=-16+4m, ∴-16+4m=0,∴m=4. ∴f(x)=-x2+4x.

①∵f(3)=-32+3×4=3,
∴当输入的x值为3时,输出的y值为3. ②∵f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4, 当x=2时,f(x)max=4, ∴要想使输出的值最大,输入的x值应为2.

③∵f(x)=-(x-2)2+4,
∴函数f(x)在[2,+∞)上是减函数. ∴在[2,+∞)上,x的值越大,对应的函数值y反 而越小, 从而当输入的x值大于2时,x值大的输出的y值反而 小.

题型三

算法的条件结构
( x ? 0), ( x ? 0), ( x ? 0),

?? 2 x ? y ? 已知函数 ?0 【例3】 ?2 x ?

写出求该函数的函数值的算法及程序框图.
思维启迪 分析算法→写出算法→选择条件结构 →画出程序框图.



算法如下:

第一步:输入x;
第二步:如果x>0,则y=-2x;如果x=0,则y=0; 如果x<0,则y=2x;

第三步:输出函数值y.

相应的程序框图如图所示.

探究提高 利用条件结构解决算法问题时,要引入

判断框,要根据题目的要求引入一个或多个判断框. 而判断框内的条件不同,对应的下一图框中的内容 和操作也相应地进行变化,故要逐个分析判断框内

的条件.

知能迁移3
_____的值.

下图的程序框图,输出的结果是函数
( )

?1, A.y ? ? ?? 1, ?1, C. y ? ? ?? 1,

x?0 x?0 x?0 x?0

?? 1, ? B . y ? ?0, ?1, ? ?1, ? D . y ? ?0, ?? 1, ?

x?0 x?0 x?0 x?0 x?0 x?0

答案 D

题型四

算法的循环结构

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 【例4】 (12分)设计算法求 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

的值,并画出程序框图.

思维启迪 (1)这是一个累加求和问题,共99项相加; (2)设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结 构实现这一算法. 解 算法如下: 第一步:令S=0,i=1; 2分 第二步:若i≤99成立,则执行第三步; 否则,输出S,结束算法; 4分 1 第三步: S?S? ;
第四步:i=i+1,返回第二步. 程序框图:
i (i ? 1)

6分

方法一 当型循环程序框图:

7分

10分

12分

方法二 直到型循环程序框图

7分

10分

12分

探究提高 利用循环结构表示算法,第一要确定是

利用当型循环结构,还是直到型循环结构;第二 要选择准确的表示累计的变量;第三要注意在哪 一步开始循环.

知能迁移4

设计一个算法计算1×3×5×?×99,

并画出程序框图.



算法如下:

第一步:令S=1,i=1; 第二步:若i≤99成立,则执行第三步; 否则输出S,结束算法; 第三步:S=S×i; 第四步:i=i+2,返回第二步. 程序框图:

方法一 当型循环程序框图

方法二 直到型循环程序框图

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征:
概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性. 2.编程的一般步骤(1)算法分析:根据提供的问题, 利用数学及相关学科的知识,设计出解决问题 的 算法.(2)画程序框图:依据算法分析,画出

程序框图.(3)写出程序:根据程序框图中的算
法步骤,逐步写出相应的程序语句. 3.算法的思想与数学知识的融合会是新高考命题

的方向,要注意此方面知识的积累.

失误与防范
1.注意起止框与处理框、判断框与循环框的区别.
2.注意条件结构与循环结构的联系.

3.要弄清楚三种基本逻辑结构的构成方式及功能,
以免使用时造成混乱或错误.

定时检测
一、选择题 1.(2009·天津)阅读右面的程序 框图,则输出的S= A.14 ( B.20 C )

C.30
解析

D.55
第一次循环:S=12;第二次循

环:S=12+22;第三次循环:S=12+22+32; 第四次循环:S=12+22+32+42=30.

2.(2009·浙江)某程序框图如图所示,
该程序运行后输出的k的值是( )

A.4

B.5

C.6

D.7

解析

当k=0,S=0时,执行S=S+2S后S变为S=1.

此时执行k=k+1后k=1.当k=1,S=1时,执行S=S+2S
后,S=1+21=3,此时执行k=k+1后k=2.当k=2,S=3时, 执行S=S+2S后,S=3+23=11,此时执行k=k+1后,k=3.

当k=3,S=11时,继续执行S=S+2S=11+211,执行k=
k+1后k=4,此时11+211>100,故输出k=4. 答案 A

3.(2009·福建)阅读如图所示的程
序框图,运行相应的程序,输出的 结果是 A.1 C.3 ( D ) B.2 D.4

解析

程序运行过程中,S与n数值

变化对应如下表: S n -1 2
1 2

2 4

3

故S=2时,n=4.

4.若右面的程序框图输出的S是126, 则①应为 ( B)

A.n≤5?
C.n≤7? 解析

B.n≤6?
D.n≤8?

即21+22+?+2n=126,

2(1 ? 2 n ) ? ? 126. 1? 2
∴2n=64,即n=6.n=7应是第一次不满足条件, 故选B.

5.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出
的结果为 5 ,则判断框中应填入的条件是
6

(

)

A.i<4?

B.i<5?

C.i≥5?

D.i<6?

解析

1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? 1? 2 2 ? 3 5? 6 2

1 1 1 1 1 5 ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1 ? ? , 应填i ? 6 ? .故选 D . 2 3 5 6 6 6
答案 D

6.(2009·海南·宁夏)如果执行下边的程序框
图,输入x=-2,h=0.5,那么输出的各个数的和等 于 ( )

A.3

B.3.5

C.4

D.4.5

解析

输入x=-2时,y=0,执行x=x+0.5后x=-1.5.

当x=-1.5时,y=0,执行x=x+0.5后x=-1. 当x=-1时,y=0,执行x=x+0.5后x=-0.5. 当x=-0.5时,y=0,执行x=x+0.5后x=0. 当x=0时,y=0,执行x=x+0.5后x=0.5.

当x=0.5时,y=0.5,执行x=x+0.5后x=1.
当x=1时,y=1,执行x=x+0.5后x=1.5. 当x=1.5时,y=1,执行x=1.5+0.5后x=2. 当x=2时,y=1,此时2≥2,因此结束循环. 故输出各数之和为0.5+1+1+1=3.5. 答案 B

二、填空题

7.在如右图所示的程序框图中,当程
序被执行后,输出s的结果是 286 . 解析 n=13, 数列4,7,10,?为等 差数列,令an=4+(n-1)×3=40,得

∴s=4+7+?+40= (4 ? 40) ?13 ? 286 .
2

8.(2009·安徽)程序框图(即算法流程图)如图
所示,其输出结果是 127 .

解析

由程序框图知,循环体被执行后a的值依

次为3,7,15,31,63,127.

9.如图所示算法程序框图中,令a=tan 315°,
b=sin 315°,c=cos 315°,则输出结果为 .

解析

程序即求a,b,c中的最大值.

a=tan(360°-45°)=-tan 45°=-1, b=sin(360°-45°)=- 2 , c=cos(360°-45°)=cos 45°= 答案
2 2
2 2 ,∴输出 2 . 2 2

三、解答题
10.设计求1+3+5+7+?+31的算法,并画出相应的程 序框图. 解 第一步:S=0; 第二步:i=1;

第三步:S=S+i;
第四步:i=i+2; 第五步:若i不大于31,返回执行第三步,否则 执行第六步; 第六步:输出S值.

程序框图如图:

?3x ? 1 11.已知函数 f ( x) ? ? ?2 ? 5 x

( x ? 0)

, 写出求该函数的 ( x ? 0)

函数值的算法并画出程序框图.



算法如下:

第一步,输入x. 第二步,如果x<0,那么使f(x)=3x-1;

否则f(x)=2-5x.
第三步,输出函数值f(x). 程序框图如下:

12.国庆期间,某超市对顾客实行购物优惠活动,规
定一次购物付款总额: ①若不超过200元,则不予优惠; ②若超过200元,但不超过500元,则按标价价 格给予9折优惠;

③如果超过500元,500元的部分按②条优惠,
超过500元的部分给予7折优惠,设计一个收款 的算法,并画出程序框图. 解 依题意,付款总额y与标价x之间的关系式 为(单位:元)

( x ? 200) ?x ? y ? ?0.9 x (200 ? x ? 500) ?0.9 ? 500? 0.7 ? ( x ? 500) ( x ? 500) ?

算法分析: 第一步,输入x值;

第二步,判断,如果x≤200,则输出x,结束算法;
否则执行第三步; 第三步:判断,如果x≤500成立,则计算y=0.9×x, 并输出y,结束算法;否则执行第四步; 第四步:计算y=0.9×500+0.7×(x-500),并输出y, 结束算法.

程序框图:

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