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乌鲁木齐高级中学培训题4


乌鲁木齐市高级中学

杨帆

yf6504@163.com

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 4
1、若 4 ? 4
27 1000

? 4n 为完全平方数,则正整数 n 满足



2、已知向量 a, b, c 满足 a ? b ?

c ? 0, (a ? b) ? c, a ? b ,若 a ? 1 ,则 b ? c ?

? ?



3、函数 f ( x ) 在 R 是减函数,且不等式 f (a ? 2b) ? f (2a ? b) ? f (a) ? f (b) 恒成立,则 a 与 ?b 的大小关系是 。

4、 函数 f ( x ) 的定义域为 D, 若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数, ②存在 [m, n] ? D, 使 f ( x ) 在 [m, n] 上的值域为 [ m,

1 2

1 n] , 那么就称 y ? f ( x) 为 “好函数” 现有 f ( x) ? loga (a x ? k ), 。 2


(a ? 0, a ? 1) 是“好函数” k 的取值范围是 ,则

5、把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段) ,这两段的长度差不超过 1 米, 分别以这两段为圆的周长围成两个圆, 则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米。 6、高斯记号 ?x? 表示不超过 实数 x 的最大整数,如 ? ?1.23? ? ? 2, ?1.23? ? 1 ,则方程

[log2 (lg x)] ? 0 的解集为
7、已知



? 是函数

f ( x) ? x loga x ? 2008,(a ? 1) 的 一 个 零 点 , ? 是 函 数

g ( x)? xx a 2 0 的一个零点,则 ?? 的值为 ? 08
08 8、 f (x) 对于任意的 x、y ? R , 都有 f ( x) f ( y) ? f ( xy ) ? 3x ? 3 y ? 6 , f (20 ) ? 则
9、设 a , b , c 是正实数,求证: a bc ? (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? c) 10、求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 ? ? ?0, 。

? ?? 恒有 ? 2? ?
1 . 8

( x ? 3 ? 2sin ? cos ? ) 2 ? ( x ? a sin ? ? cos ? ) 2 ?

11、设 a, b 为四面体 ABCD 的一对对棱 AB 与 CD 的长,r 为四面体内切球半径.求证:

r?

ab . 2(a ? b)

(第 22 届全苏竞赛题)

12、设二次函数 p( x) ? x ? ax ? b , a , b ? R .当 a , b 在区间 ? ?2 , 2? 上变动时,求
2

P( x ) ? 0的实数解的取值范围.

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乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 4 参考答案
1、∵ 427 ? 41000 ? 4n ? 254 (1 ? 2 ? 21945 ? 22n?54 ) ,当 2n ? 54 ? 2 ? 1945,即 n ? 1972 时, 上式为完全平方数。 当 n ? 1972 时, (2n?27 )2 ? 1 ? 2 ? 21945 ? 22n?54 ? 1 ? 2 ? 2n?27 ? 22( n?27) ? (2n?27 ? 1)2 , 有 所以 上式不可能为完全平方数。所以 n ? 1972 2、∵ (a ? b) ? c, a ? b ∴ (a ? b) ? c ? 0 ? a ? c ? b ? c 且 a ? b ? 0

? ?

? ?

?

? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? a ? (a ? b ? c) ? a ? a ? b ? a ? c ? 1 ? b ? c ? 0 ,∴ b ? c ? ?1
3、 a < ?b , 此时 2 a ? b <a, f ( x ) 在 R 是减函数, f(2 a ? b )>f(a),同理 f(2b ?a )>f(b)。 ∴ f (a ? 2b) ? f (2a ? b) ? f (a) ? f (b) 4、 因为函数 f ( x) ? loga (a x ? k ),(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内为增函数, 则若函数 y ? f ( x) 为“好函数” ,方程 f ( x ) ?
x x

1 1 x 必有两个不同实数根,∵ log a (a x ? k ) ? x 2 2
1 。 4

? a x ? k ? a 2 ? a x ? a 2 ? k ? 0 ,∴方程 t 2 ? t ? k ? 0 有两个不同的正数根,得 k ?
其次, a ? k ? 0 恒成立,故 k ? a 恒成立,k>0
x x

综上所述: k ? (0, ) 5、设这两段的长度分别为 x 米、 y 米则 x 、 y 满足

1 4

? x?0 ? y?0 ? 关系 ? ,其平面区域为右上图所示阴影部 x? y ?7 ? ?| x ? y |? 1 ?
分, 两圆的面积之和为 s ?

x2 ? y 2 , 看成是个圆的方程, 4?

这个圆经过点 A(4, 3) 或 B(3, 4) 时, s 最大,其最大值 为

25 平方米。 4?

? 0 0 1 6、 易知 0 ? log2 (lg x) ? 1 , ? lg x ? 2 , 1 ? x 1 故0
7、如图: ? 是曲线 y ?

2008 与曲线 y ? log a x 交点 A x

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的横坐标, ? 是曲线 y ?

2008 与曲线 y ? a x 交点 B 的横坐标,∵函数 y ? log a x 与 y ? a x x

互为反函数,∴A 与 B 关于直线 y=x 对称即 ? 为点 A 的纵坐标,∴ ?? ? 2008 8、设 x=y=1,得 x=y=0,得

f (1) f (1) ? f (1) ? 12, 于是 f (1) ? 4, f (1) ? ?3,

f (0) f (0) ? f (0) ? 12, 于是 f (1) ? 3, f (1) ? ?2,

令 y=1,得 f ( x) f (1) ? f ( x) ? 3x ? 9,


f (1) ? 4, ,则 f ( x) ? x ? 3, 符合 f (1) ? 4, 此时 f (2008) ? 2011

3x ? 9 , 不符合 f (0) ? 3 , f (0) ? ?2 4 9、解: 设 a , b , c 中 a 最大, 若 b ? c ? a ,则不等式显然成立. 若 b ? c ? a ,则可以应用二元均值不等式 1 (a ? b ? c)( a ? c ? b) ? ?(a ? b ? c) ? (a ? c ? b)? ? a , 2

f (1) ? ?3, 则 f ( x) ? ?

同理

(b ? a ? c)(b ? c ? a) ? b , (c ? b ? a)(c ? a ? b) ? c .

以上三式相乘,即证. 10、解:显然,原题即关于 x 的二次不等式 x2 ? (3 ? 2sin ? cos? ? a sin ? ? a cos? ) x

1 1 1 ? ?? ? (3 ? 2sin ? cos ? ) 2 ? (a sin ? ? a cos ? ) 2 ? ? 0 恒成立,故对 ? ? ?0, ? ,恒有判 2 2 16 ? 2?
2 别式 ? ? 0 .即 (3 ? 2sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? ) ?

1 4

? ?? ? ?? 对 ? ? ?0, ? 恒成立. 由此,对一切 ? ? ?0, ? a ? ? 2? ? 2?

3 ? 2sin ? cos ? ? sin ? ? cos ?

1 2, ①

或a ?

3 ? 2sin ? cos ? ? sin ? ? cos ?

1 2 .②

因为 ? ? ?0,

? ? ?? ? ,所以 1 ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? 4 ) ? 2 . ? 2?
5 1 5 1 .易知,当 1 ? x ? 2 时, f ( x ) ? x ? ? 为减 2 x 2 sin ? ? cos ?
5 7 5 1 ? ) ? max f ( x) ? 1 ? ? . 1? x ? 2 2 2 2 sin ? ? cos ?

由①有 a ? sin ? ? cos ? ? ?

函数.从而 max (sin ? ? cos ? ?
? ?? ? ??0, ? ? 2?

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由此可得 a ?

7 3 1 .由②有 a ? sin ? ? cos ? ? ? .而 2 2 sin ? ? cos ?

3 1 3 6 时等号成立,从而得 sin ? ? cos ? ? ? ?2 ? 6 ,且当 sin ? ? cos ? ? 2 2 sin ? ? cos ? 2
a ? 6 .综上可知, a ?
7 或 a ? 6 为所求. 2

11、分析:内切球半径与边长之间的关系可以通过体积来完成。 解:如图 11,过 AB 与 CD 分别作平行四边形 ABEF 与平行 四边形 CDGH,使得 AF∥CD,CH∥AB,连 AC,BH,EG,FD,得 一个平行六面体 AFEB-CDGH (或以四面体 ABCD 的三棱 CA, CB, CD 为共顶点的棱构成平行六面体) . 设 AB 与 CD 之间的距离为 d,它们所成的角为θ ,知 V 四面


=

1 ab·d·sinθ . 6
设 ha 为△ABD 中 AB 边上的高,显然 D 到 AB 的距离大于 D

图 11

到面 AFEB 的距离,即 ha>d,而 S△ABD=

1 1 a·ha> ad. 2 2 1 1 1 同理,S△ABC> ad, S△ACD> bd, S△BCD> bd. 2 2 2
于是,四面体 ABCD 的表面积 S 表=S△ABD+S△ABC+S△ACD+S△BCD>(a+b)d. 而 V=

3V abd ? sinθ abd ab 1 ? ? ? S 表·r, 所以 r ? . S表 2S表 2S表 2(a ? b) 3
2

12、解: 设 ? 为方程 x ? ax ? b ? 0 , a , b ? ? ?2 , 2?

①的一个根. 则

??

?a ? a 2 ? 4b 2 , a ? 4b ? 0 . 2

显然,当 a ? ?2 , b ? ?2 时, ? 最大,即 ? ? 1 ? 3 ;当 a ? 2 , b ? ?2 时, ? 最小,即

? ? ?1 ? 3 .所以, ?1 ? 3 ? ? ? 1 ? 3 .
2 现在的问题是: ?? ? ??1 ? 3 , 1 ? 3 ? ,是否一定是某个二次方程 x ? ax ? b ? 0 ,

?

?

a , b ? ? ?2 , 2? 的实数解.令 ? ? ?? , ? 为实数,且 ? ? 1 .由
(?? )2 ? (?a) ? (?? ) ? ? 2b ? ? 2 (? 2 ? a? ? b) ? 0 知, ?? 也是方程 x2 ? cx ? d ? 0
的根,其中 c ? ? a , d ? ? b .显然 c ? a , d ? b .这说明,若 ? 是形如①的方程的实
2

根,则对任意绝对值不大于 1 的实数 ? , ?? 也是形如①的方程的实根. 由于 1 ? 3 是方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的实根, ? (1 ? 3)( ? ? 1) 都是形如①的方程的根. 故
2

因此,所求实数解的范围是 ? ?1 ? 3 , 1 ? 3 ? .

?

?


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