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浦东暑假新高一数学课外补习班


东南数理化 高中数学教研组

五、平面向量
易错点 40 概念模糊 【问题】 :下列五个命题:

OA 共线,则 P1、P2、O、A 必在同一条直线上; ① 向量 PP 1 2 与
② 如果向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 方向相同或相反;

???? ?

??? ?

/>
OA ; ③ 四边形 P1P2OA 是平行四边形的充要条件是 PP 1 2 =
④ 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a 、 b 的长度相等且方向相同或相反; ⑤ 由于零向量方向不确定,故零向量与任何向量不平行。 其中正确的命题有______个。
? ?

? ???? ? ???

OA 共线,则直线 P1P2 与直线 OA 可能平行;选②错,若 a 为零 错解:选①错,向量 PP 1 2 与 OA 则四点 P1,P2,O,A 可能共线;选④错,∣ a ∣= 向量,则命题不正确;选③错, PP 1 2 =
∣ b ∣,只能说明 a 、 b 的长度相等但确定不了方向;选⑤错;零向量与任何向量平行。 正确答案:0 反思: 平面向量部分概念多而抽象, 如零向量、 单位向量、 平行向量、 共线向量、 相等向量、 相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。在复习时不仅要理解 这些概念,而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点。 易错点 41 忽视平面向量基本定理的成立条件 【问题】 :下列各组向量中,可以作为基底的是 ① a =(0,0) , b =(1,-2);② a =(-1,2) , b =(5,7); ③ a =(3,5) , b =(6,10); ④ a =(2,-3) , b =(4,-6); 错解:选①或③或④ 正确答案:② 剖析:概念模糊,根据基底的定义,只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。 反思:如果 a 、 b 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 c ,有且只 有一对实数 λ1,λ2,使 c =λ1 a +λ2 b 。在平面向量知识体系中,基本定理是基石,共线向量 定理是重要工具。考生在学习这部分知识时,务必要注意这两个定理的作用和成立条件。
? ?

???? ?

??? ?

? ???? ? ???

?

?

易错点 42 向量与解三角形的交汇。
→ → → → → → → → 例、ΔABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA+4OB+5OC= 0 。①求数量积,OA·OB ,OB·OC ,

1

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→ → OC·OA ;②求 ΔABC 的面积。

剖析:第 1 由题意可知 3OA、4OB、5OC三向量的模,故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即
可。第 2 问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。 解析:①∵|OA|=|OB|=|OC|=1 由 3OA+4OB+5OC= 0 得:3OA+4OB=-5OC两边平方得:9OA +

















→ →







→2

→ → →2 →2 → → → → → → → 4 → → 24OA·OB+16OB =25OC ∴OA·OB=0 同理:由 4OB+5OC=-3OA求得OB·OC=- 由 3OA+5OC=- 5 → → → 3 4OB求得OA·OC=- 5 1 → → 1 → → 4 4 3 → → ②由OA·OB=0,故 s? 0 AB = |OA|| OB|= 由 OB·OC=- 得 cos∠BOC=- ∴sin∠BOC=- ∴ 2 2 5 5 5 1 → → 3 3 4 1 → → 3 由OC· OA=- 得 cos∠COA=- ∴sin∠COA= ∴ s? 0 AC = s? 0 BC = |OB||OC|sin∠BOC= , 2 10 5 5 5 2 2 1 3 2 6 → → |OC||OA|sin∠COA= 即 sABC = s? 0 AB + s? 0 AC + s? 0 BC = + + = 5 2 10 5 5
【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算,用于表达三角形的内角、面积。 【练 40】 (1)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列,且 cosB= 求 cotA+cotC 的值; (2)设 BA ? BC 答案: (1)

??? ? ??? ?

3 4

。 (1)

?

3 ,求 a ? c 的值。 2

4 7 (3) a ? c ? 3 。 7
?

(2)已知向量 a =(2,2) ,向量 b 与向量 a 的夹角为
?

?

?

? ? ? 3? ,且 a ·b =-2,①求向量 b ; 4

C ) ,其中 A、C 是△ABC 的内角,若三角形的三内角 A、B、 2 ? ? ? ? 2 ? ? 5 C 依次成等差数列, 试求| b + c |的取值范围.答案: ① b ? (?1,0) 或 b ? (0, ?1) ② ?| b ? c |? . 2 2
②若

t ? (1,0)且 b ? t , c ? (cos A,2 cos 2

?

? ?

易错点 43 解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。
例、已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 上动点 P 到定点 M ? m,0? ,其中 0 ? m ? 2 的距离 PM 4 2

的最小值为

1.(1)请确定 M 点的坐标(2)试问是否存在经过 M 点的直线 l ,使 l 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件

??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? AB

(O 为原点),若存在,求出 l 的方程,若不存在请说是理由。

剖析:此题解题关键是由条件 OA ? OB ? AB 知 OA ? OB ? 0 从而将条件转化点的坐标运算再结
合韦达定理解答。 解析:设

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

p ? x, y ? ,由

? x2 ? x2 y 2 ? ? 1 得 y 2 ? 2 ?1 ? ? 故 PM 4 2 4? ?
2

2

? x2 ? 2 ? ? x ? m ? ? 2 ?1 ? ? 4 ? ?

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? x2 ? 1 2 ?2 ?1 ? ? ? ? x ? 2m ? ? 2 ? m 2 由于 0 ? m ? 2 且 ?2 ? x ? 2 故当 0 ? 2m ? 2 时, 4 ? 2 ?
PM
2

的最小值为 2 ? m

2

? 1 此时 m ? 1 ,当 2 ? 2m ? 4 时, x ? 2 取得最小值为

2 ? 4m ? m2 ? 2 ? 1 解得 m ? 1,3 不合题意舍去。 综上所知当 m ? 1 是满足题意此时 M 的坐标为 (1,
0) 。 (2)由题意知条件

??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? AB

等价于 OA ? OB

??? ? ??? ?

? 0 ,当 l 的斜率不存在时, l 与 C 的交点为

??? ? ??? ? ? 6? 1, ? ,此时 OA ? OB ? 0 ,设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,代入椭圆方程整理得 ? ? ? 2 ? ? ? ??? ? ??? ? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ,由于点 M 在椭圆内部故 ? ? 0 恒成立,由 OA ? OB ? 0 知

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? k 2 ?1 ? x2 ? ? k 2 ? 0 ,据韦达定理得 x1 ? x2 ?
x1 x2 ?

4k 2 1 ? 2k 2



2k 2 ? 4 2 2 2 2 2 2 2 代入上式得 ?1 ? k ?? 2k ? 4 ? ? k ? 4k ? k ?1 ? 2k ? ? 0 得 k ? ?4 不合 2 1 ? 2k

题意。综上知这样的直线不存在。

反思:在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算,从而与两交点的坐标联系起来才自
然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性,请同学们认真体会、融会贯通。 【练】已知椭圆的焦点在 x 轴上,中心在坐标原点,以右焦点 F2 为圆心,过另一焦点 F 1 的圆被右准线截 的两段弧长之比 2:1, P

?

2,1

?

为此平面上一定点,且 PF 1

???? ???? ? ? PF2 ? 1 .(1)求椭圆的方程(2)若直线

??? ? ????? y ? kx ? 1? k ? 0? 与椭圆交于如图两点 A、B,令 f ? k ? ? AB ? F1 F2 ? k ? 0 ? 。求函数 f ? k ? 的值
域答案: (1)

x2 y 2 ? ? 1 (2) ? 0,8? 4 2

易错点 44 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别 【问题】 :已知向量 a ? ( x, x ? )与b ? (2 x, ?3) 的夹角为钝角,求实数 x 的取值范围为 错解: ?

?

2 3

?

1 ?x?2 2
3

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剖析:概念模糊,错误地认为 a , b 为钝角 ? a? b?0 正确答案: ?

? ?

? ?

1 ? x ? 2且x ? 0 2

反思: a , b 为钝角 ? a? b ? 0且a与b 不共线 ? ?

? ?

? ?

? ?

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4


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