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【数学】4.1.1《圆的标准方程》课件(新人教A版必修2)


4.1.1《圆的标准方程》 4.1.1《圆的标准方程》

教学目标
? 知识与技能: 知识与技能: ? 1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标 准方程。 ? 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 ? 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题 的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实 际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问

题和解 决问题的能力。 ? 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的 学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 ? 教学重点:圆的标准方程 教学重点: ? 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求 教学难点: 圆的标准方程。

复习引入
我们在前面学过,在平面直角坐标系中, 我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两 点确定一条直线, 点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直 在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢? 线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
y M r A O x

引入新课
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定 当圆心位置与半径大小确定后, 了. 因此一个圆最基本要素是圆心和半径点 因此一个圆最基本要素是圆心和半径.)A的位置用 圆心和半径 如图,在直角坐标系中,圆心( 如图,在直角坐标系中,圆心(. 的位置用 表示,半径r的大小等于圆上任意点 的大小等于圆上任意点M(x, y) 坐标 (a,b) 表示,半径 的大小等于圆上任意点 与圆心A 的距离. 与圆心 (a,b) 的距离.
y M (x, y) r A(a,b) O x

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么? 符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法 来表示这个集合吗? 来表示这个集合吗? 符合上述条件的圆的集合: 符合上述条件的圆的集合:

p = {M || MA |= r}
y M (x, y) r A(a,b) O x

圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心 (a,b)之间的距离能 与圆心A 圆上任意点 与圆心 之间的距离能 用什么公式表示? 用什么公式表示? 根据两点间距离公式: 1 根据两点间距离公式:P P2 = 则点M、 间的距离为 MA = 间的距离为: 则点 、A间的距离为: 即:

(x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 )
2

2

.

(x ? a )2 + ( y ? b )2 .

p = {M | MA|= r}
( x ? a ) + ( y ? b) = r
2 2

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2

圆的标准方程
( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2
是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这 是否在圆上的点都适合这个方程? 个方程的坐标的点都在圆上? 个方程的坐标的点都在圆上? 点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 在圆上, 在圆上 由前面讨论可知, 的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 的坐标适合方程, 标适合方程;反之,若点 的坐标适合方程 即点M在圆心为 在圆心为A 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点 在圆心为 与圆心的距离是 (a, b),半径为 的圆上. 的圆上. ,半径为r的圆上 把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为 的圆 把这个方程称为圆心为 ,半径长为r 的方程,把它叫做圆的标准方程(standard equation 的方程,把它叫做圆的标准方程( 圆的标准方程 of circle). )

特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点,半径长为 的圆的方程是什么? 圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是什么? 因为圆心是原点O(0, 0),将x=0,y=0和半径 r 因为圆心是原点 , = , = 和半径 带入圆的标准方程: 带入圆的标准方程:

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2
得: 整理得: 整理得:

( x ? 0) + ( y ? 0) = r
2 2

2

x +y =r
2 2

2

典型例题
半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于 的圆的 方程, 方程,并判断点 M 1 (5,?7) , 2 ( ? 5 ,?1) 是否在这 M 个圆上. 个圆上. 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准 半径长等于 的圆的标准 方程是: 方程是: (x ? 2)2 + ( y + 3)2 = 25
( x ? 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25 把 M 1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等, 的坐标适合圆的方程, 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上; 在这个圆上;
的坐标代入此方程, 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等, 的坐标不适合圆的方程, 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上. 在这个圆上

典型例题
半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于 的圆的 方程, 方程,并判断点 M 1 (5,?7) , 2 ( ? 5 ,?1) 是否在这 M 个圆上. 个圆上. 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准 半径长等于 的圆的标准 方程是: 方程是: (x ? 2)2 + ( y + 3)2 = 25
y

o
M2 A M1

x

点与圆的位置关系

从上题知道,判断一个点在不在某个圆上, 从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立, 点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在 这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上. 这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上.

还是在圆外呢? 还是在圆外呢?

M 0 ( x0 , y 0 )在圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 内呢? 内呢? 怎样判断点
y M3

o
M2 A M1

x

点与圆的位置关系
2 2 2 内呢? 怎样判断点 M 0 ( x 0 , y 0 )在圆 ( x ? a ) + ( y ? b) = r 内呢? 还是在圆外呢? 还是在圆外呢?

可以看到:点在圆外 可以看到:点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ; 点到圆心的距离大于半径 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r . 点到圆心的距离小于半径 点在圆内 y M3

o
M2 A M1

x

典型例题
例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3), (7,-3),
C(2, -8),求它的外接圆的方程. 8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆, 分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆. 形有唯一的外接圆.
2 2 2 解:设所求圆的方程是 ( x ? a) + ( y ? b) = r

(1) )

因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐 都在圆上, 因为 - , 标都满足方程( ). ).于是 标都满足方程(1).于是

?(5 ? a ) 2 + (1 ? b) 2 = r 2 ? ( 7 ? a ) 2 + ( ?3 ? b ) 2 = r 2 ? ?(2 ? a ) 2 + (?8 ? b) 2 = r 2 ?

典型例题
例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3), (7,-3),
C(2, -8),求它的外接圆的方程. 8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆, 分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆. 形有唯一的外接圆. 解此方程组, 解: 解此方程组,得:

?a = 2, ? ?b = 3, ?r 2 = 25. ?
( x ? 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25 . 所以, 所以,?ABC的外接圆的方程

典型例题
已知圆心为C的圆经过点 的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心 例3 已知圆心为 的圆经过点 和 ,且圆心C 在直线上l: 的圆的标准方程. 在直线上 :x - y+1=0,求圆心为 的圆的标准方程. ,求圆心为C的圆的标准方程 分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 分析: 圆心为C的圆经过点 的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),由于圆心 与A, B 小.圆心为 的圆经过点 和 ,由于圆心C与 两点的距离相等,所以圆心C在线段 在线段AB的垂直平分线 两点的距离相等,所以圆心 在线段 的垂直平分线 l ' 上.又 ' 圆心C在直线 在直线l 因此圆心C是直线 是直线l与直线 的交点, 圆心 在直线 上,因此圆心 是直线 与直线 l 的交点,半径 长等于|CA|或|CB|. 长等于 或 . 因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段 的中点 的坐标 的中点D的坐标 解:因为 因为 和 ,所以线段AB的中点
3 1 ( ,? ), 直线 的斜率 直线AB的斜率 的斜率: 2 2

k AB

? 2 ?1 = ?3 = 2 ?1

典型例题
已知圆心为C的圆经过点 的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心 例3 已知圆心为 的圆经过点 和 ,且圆心C 在直线上l: 的圆的标准方程. 在直线上 :x - y+1=0,求圆心为 的圆的标准方程. ,求圆心为C的圆的标准方程 解:因此线段 的垂直平分线 l 的方程是 因此线段AB的垂直平分线
'

1 1 3 y + = (x ? ) 2 3 2
即 x ? 3y

?3=0
?x ? 3 y ? 3 = 0 ? ?x ? y + 1 = 0

圆心C的坐标是方程组 圆心 的坐标是方程组

的解. 的解.

典型例题
已知圆心为C的圆经过点 的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心 例3 已知圆心为 的圆经过点 和 ,且圆心C 在直线上l: 的圆的标准方程. 在直线上 :x - y+1=0,求圆心为 的圆的标准方程. ,求圆心为C的圆的标准方程

? x = ?3, 解此方程组, 解: 解此方程组,得 ? ? y = ?2.
所以圆心C的坐标是 所以圆心 的坐标是 (?3,?2) 圆心为C的圆的半径长 圆心为 的圆的半径长

r =| AC |= (1 + 3) 2 + (1 + 2) 2 = 5
所以,圆心为 的圆的标准方程是 所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x + 3) 2 + ( y + 2) 2 = 25

知识小结
圆的基本要素 圆的标准方程 圆心在原点的 圆的标准方程 判断点与圆 的位置关系


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