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2014年人教A版选修4-4教案 二、圆锥曲线的参数方程


课题:圆锥曲线的参数方程 一、教学目标: 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入:

1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

? x ? r cos? ? (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ? y ? r sin ?
2 2 2

( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ? (2)圆 ( x ? x0 ) ? ( y \ y0 ) ? r 参数方程为: ? 2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗?
2 2 2

( ? 为参数)

(二) 、讲解新课:
x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1.椭圆的参数方程推导:椭圆 a 参数方程

? x ? a cos? ? ? y ? b sin ? ( ? 为参数),

参数 ? 的几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的 夹角。
6 5 4 3

A

2

1

M

-8

-6

-4

-2 -1

O

L1

2

N

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

-7

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 2.双曲线的参数方程的推导:双曲线 a 参数方程

? x ? a sec? ? ? y ? b t an? ( ? 为

参数)

2500

2000
Q P

1500
B

1000

500

A

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

M

4000

5000

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-3000

-3500

参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹 角。
? x ? 2 Pt 2 ? 2 y ? 2 Pt 3.抛物线的参数方程:抛物线 y ? 2Px 参数方程 ? (t 为参数),t 为以

抛物线上一点(X,Y)与其顶点连线斜率的倒数。 (1) 、关于参数几点说明: A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式, 它借助于中间变量把曲线上的动点 的两个坐标间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数 方程实际上是一个方程组,其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 (3) 、参数方程求法: (A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ; (B)选取适当的参数; (C)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数 式; (D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程. (4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数 的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数;与旋转的 有关问题选取角 ? 做参数;或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜 率等。

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 4、 椭圆的参数方程常见形式: (1) 、 椭圆 a 参数方程
2

? x ? a cos? ? ? y ? b sin ? ( ?

为 参 数 ) ; 椭 圆

2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 2 2 b a 的 参 数 方 程 是

?

x ?b cos? y ?a sin?

(?为参数,且0 ? ? ? 2?).
( x 0, y )
0

(2) 、以
x?

为中心焦点的连线平行于 x 轴的椭圆的参数方程是

x 0 ? a cos? {y ? y ?b sin? (? 为参数) 0

? x ? a cos? ? 。 (3)在利用 ? y ? b sin ? 研究椭圆问题时,椭圆上

的点的坐标可记作(acos ? ,bsin ? ) 。 (三) 、巩固训练
1 ? ?x ? t ? t (t为参数) ? 1 ?y ? t ? 2 2 t 1、曲线 ? 的普通方程为 x ? y ? 4 。
? x ? cos? ? 2、曲线 ? y ? sin? (?为参数)

上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)

1 A. 2

2 2 B.

C.1

D. 2

? x ? 3 cos? ? 3、已知椭圆 ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数).

求 (1)

??

?
6 时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角 (四) 、小结:本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义,能选取适 当的参数,求简单曲线的参数方程,通过推到椭圆及双曲线的参数方程,体会求 曲线的参数方程方法和步骤,对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。 (五) 、作业: 五、教学反思:


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