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湖北省枣阳市白水高级中学2017届高三数学第一次模拟考试试题文


枣阳市白水高中 2017 届高三上学期第一次模拟考试文科数学模拟试题
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 2017 年 1 月 4 日下午 15:00-17:00 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求的. 1.点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0,-1)的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和最小
2

值是( ) A. 5 B.2 C. 2 D. 3

2.向边长分别为 3、4、5 的三角形区域内随机投一点 M,则该点 M 与三角形三个顶点距离都大于 1 的概率为( A. 1 ? C. 1 ? ) B. 1 ? D. 1 ?

?
18

?
? 4 ?
12

? 9

3.为了得到函数 y ? sin( x ?

? 个单位长度 3 ? B.向右平移 个单位长度 3 2?
A.向左平移 C.向左平移

1 2

3

) 的图像,只需将 y ? sin

1 x 的图像上每一点 2

3 2? D.向右平移 个单位长度 3
4.在样本的频率分布直方图中,共有 n 个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小 矩形面积的 A.30 C.50

个单位长度

1 ,且样本容量为 300,则中间一组的频数为( 5
B.40 D.60



5.已知 a, b , c 是平面向量,下列命题中真命题的个数是(

? ? ?



b ? b? c ?a ?c ① (a ? b )? c ? a? (b ? c ) ;② | a? b |?| a || b | ;③ | a ? b |2 ? (a ? b )2 ;④ a?
A.1 B.2

? ? ?

? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

1

C.3

D.4 )

6.若集合 A ? ?x | 0 ? x ? 2? ,且 A ? B ? B 则集合 B 可能是( A. ?0, 2? C. ?0,1, 2? B. ?0,1? D. ?1? )

7.函数 f ? x ? ? 3log a ? x ? 2 ? ?1 的图象一定经过点( A. ? 3, ?1? C. ? 3,0 ? B. ? 2, ?1? D. ? 2, 0 ?

8.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上为增函数的是( A. y ? ln | x | C. y ? x ? sin x
2



B. y ? x

?2

D. y ? cos(? x)

9.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于

A , B 两点,则
A.5 B.4

| AF | 的值等于( | BF |
C.3 D.2



10.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCO ? A?B?C ?D? , A?C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为( )

A.

a

B.

a

C.a

D. a

11. 过点 ? 4,0 ? 且斜率为 ? 值为( A. 6 C. ) B. 8 D. 4

??? ? ??? ? 3 的直线交圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 于 A, B 两点,C 为圆心, 则 AB?AC 的 3

32 5

2

12.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 A.1 C.3 B.2 D.4

a8 13 S ? ,则 15 ? ( a7 5 S13



第Ⅱ卷

非选题(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上. 13.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? 3an ? 1 ,则其通项 an ?
2 14.已知函数 y ? f x ? 1 的定义域是 ?0, 5 ? ,则 y ? f ? 2x ? 1? 的定义域是__________.

?

?

?

?

? (x ? ? A ) (? 15 . 设 函 数 f ( x ) ? A s i n
A ?? ?? =
y 2

? 0? ,

?0 , ? ? ? x ? ,R 的 部 ) 分图象如图所示.则 2 2

?

?

O

?
3

5? 6

x

16.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,有 a1a3 ? 2a2 a4 ? a3a5 ? 16 ,则 a2 ? a4 ?

.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本题 12 分)圆锥底面半径为 1cm ,高为 2cm ,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体 的棱长.

18 .(本题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,

?BAD ? 60? , AB ? 2, PD ? 6 , O 为 AC 与 BD 的交点, E 为棱 PB 上一点.
3

(1)证明:平面 EAC ⊥平面 PBD ; (2)若 PD ∥ 平面 EAC ,求三棱锥 P ? EAD 的体积.

19. (本题 12 分) 计算: (1) 8
? 1 3

5 ? (? )0 ? (e ? 3) 2 9

(2)

1 lg 25 ? lg 2 ? log 2 9 ? log 3 2 2

2 20. (本题 12 分) Sn 为 数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an?1

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围;

4

(2)当 a=1 且 k ∈Z 时,不等式 k(x-1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大值.

请考生在第 22、23 二题中任选一题作答。注意:只能做所选定的 题目。如果多做,则按所做第一 个题目计分,做答时请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满 分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若点 Q 在圆 C 上运动,点 P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|:|OP|=3:2,求动点 P 的轨迹方程. ,半径 r=3.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数,对于任意的 m, n ? 0 满足

f (m) ? f (n) ? f (mn) ,且 a , b (0 ? a ? b) 满足 | f (a) |?| f (b) |? 2 | f (
(1)求 f (1) ; (2)若 f (2) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 2 ; (3)求证: 3 ? b ? 2 ? 2 .

a?b )|. 2

答案

5

选择:1_5CBDCA 填空: 13. ?

6_10DAACB

11_12 AC

3n ? 1 2
3? ?

1 4. ? ?1, ? 2

? ?

3?
15. 16.4 17.

? 6

2 cm . 2

解:过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面,得圆锥的轴截面 SEF ,正方体 对角面 CDD1C1 ,如图所示. 设正方体棱长为 x ,则 CC1 ? x , C1D1 ? 2x , 作 SO ? EF 于 O ,则 SO ?

2 , OE ? 1 ,

2 1? x CC1 EC1 x 2 , ? ? ∵ ?ECC1 ? ?EOS ,∴ ,即 SO EO 1 2
∴x?

2 2 cm . cm ,即内接正方体棱长为 2 2

考点:简单组合体的结构特征. 18.解: (1)? PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,∴ AC ? PD .

? 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? BD ,又 PD ? BD ? D ,∴ AC ? 平面 PBD ,
6

而 AC ? 平面 EAC ,∴平面 EAC ⊥平面 PBD . (2)如图,连接 OE ,

? PD ∥ 平面 EAC ,平面 EAC ? 平面 PBD ? OE ,? PD ∥ OE .
? O 是 BD 的中点,? E 是 PB 的中点.
取 AD 的中点 H ,连接 BH ,

? 四边形 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 ,? BH ? AD ,
?

又 BH ? PD, AD ? PD ? D ,? BH ? 平面 PAD ,

BH ?

3 AB ? 3 2 .

1 1 1 1 1 2 VP ? EAD ? VE ? PAD ? VB ? PAD ? ? ? S△ PAD ? BH ? ? ? 2 ? 6 ? 3 ? 2 2 3 6 2 2 . 则

2 故三棱锥 P ? EAD 的体积为 2 .

19. (1) e ?
? 1 3

3 (2)-1 2

1 3? (- ) 5 0 2 解: (1) 8 ? (? ) ? (e ? 3) =2 3 +1- e ? 3 9

? 2?1 ? 1 ? e ? 3 3 ? e ? .............................6分 2
(2)原式 ? lg5
2? 1 2

? lg 2 ? 2log 2 3 ? log3 2

7

? lg(5 ? 2) ? 2 ?

lg 3 lg 2 ? 1 ? 2 ? ?1 …………6 分 ? lg 2 lg 3
1 1 ? . 6 4n ? 6

20. (Ⅰ) 2n ? 1 ; (Ⅱ)

2 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 +3 ,因为 an ? 0 ,所以 a1 =3, 2 2 当 n ? 2 时, an ? an ? an ?1 ? an?1 = 4Sn ? 3 ? 4Sn ?1 ? 3 = 4 an ,

即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) ,因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 =2, 所以数列{ an }是首项为 3,公差为 2 的等差数列,所以 an = 2n ? 1 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

所以数列{ bn }前 n 项和为

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] = ? . b1 ? b2 ? ? ? bn = [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 6 4n ? 6
21. (本小题满分 12 分) 解:(1) 由题意知 在 , 上恒成立,即 在 ,所以 .即 ,则 ,则 ,∴存在 时, 时, 令 即 .即 .∴ ,即 . 在 ; ; 上单调递减,在 上单调递 增. . 在 使 上单调递增. . 对任意 上恒成立,即 . 在

上恒成立, 而 (2) 令 令 ∵ 即当

恒成立.

8





,即



22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)设 ∵O 在圆 C 上,∴ ∴ (Ⅱ)设点 P 的极坐标为 为 为圆 C 上任一点,OM 的中点为 N, 为等腰三角形,由垂径定理可得 即 ,因为 P 在 为所求圆 的极坐标方程. 的延长线上,且 ,故点 P 的轨迹方程为 ,所以点 Q 的坐标 。

, 由于点 Q 在圆上,所以 -2x+5,x≤2 1 ,2<x<3

23. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ) 当 a=-3 时, f(x)=

2x-5, x≥3 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3 解得 x≤1 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3 解得 x≥4 ∴ f(x)≥3 的解集为(-∞,1】∪【4,+∞) (Ⅱ)由 f(x)≤︱x-4︱得︱x-4︱-︱x-2︱≥︱x+a︱ 当 x∈[1,2]时︱x-4︱-︱x -2︱≥︱x+a︱得 4-x-(2-x) ≥︱x+a︱解得 -2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1 或 2-a≥2 即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围是[-3,0]

9



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