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杭州市余杭区2005年“假日杯”高中数学竞赛试卷(word版,附答卷)


2005 年余杭区“假日杯”高二数学竞赛试卷(答案)
(时间 120 分钟,满分 100 分) 一、选择题 (每小题 4 分,共 32 分)
3 3 3 1. “实数 a ? b ? c ”是“不等式 a ? b ? c ≥ 3abc 取等号”的

( A )

(A)充分而不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 2.已

知 ? ? (0,

(B)充分且必要的条件 (D)既不充分又不必要的条件 ( A )

) ,则 ? sin ? ? cos ? 与 1 的大小关系是 2 (A) ? sin ? ? cos ? >1 (B) ? sin ? ? cos ? <1 ? sin ? ? cos ? (C) =1 (D) 大小与 ? 的取值有关

?

2 3.设 a ? b ? 0 ,那么 a ?

1 的最小值是 b( a ? b)
(C) 4 (D) 5

( C )

(A)2 4. tan 10 ?
?

(B)3

1 的值是 sin 40 ?
(B)2 (C) 3 (D)

( C )

(A) 2

3 3 2
( D )

5.若点 A(3,5)关于直线 l : y ? kx 的对称点在 x 轴上,则 k 的值是

(A)

?1? 5 2

(B) ? 3

(C)

? 1 ? 30 ? 3 ? 34 (D) 4 5
2

6.设 a, b, c 是三个非零向量,且 a 与 b 不共线,若关于 x 方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个 实根 x1 , x 2 ,则 (A) x1 ? x 2 (B) x1 ? x 2 (C) x1 ? x 2 (D)大小关系不能确定 ( B ) ( B )

7. 点集合{(x, y)| lg(x3+ (A)0 个

1 3 1 y + )=lgx+lgy}中, 元素的个数为 3 9
(C)2 个 (D)多于 2 个

(B)1 个

4 3 2 8.函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? cx ? dx ? 2 满足 f (1) ? 7, f (?1) ? 9 且

f (2) ? f (?2) ? 124,则 f ( 2 ) ? f (? 2 ) 等于
(A)34 (B)36 (C) 38 (D)40

( D )

二、填空题 (每小题 5 分,共 30 分) 9.两条直线 2x2-5xy+y2=0 的夹角为

arctan

17 3


n

10.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? n ? 2 ( n ≥2),则通项 an ? 2 ? n 11.设函数 2 f ( x) ? x f ( ) ?
2



1 x

5 3x3 ? x 2 ? 4 x ? 3 2 ,则 f ( x) ? x ? 3 x ? 6 ? x ?1 x ?1



12.若 x ? (??,?1] ,不等式 (m ? m 2 )4 x ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (—2 ,3) 13.已知实数 x , y 满足 ;

x? y | 1 ? xy | ? 2 2 ,则 ? 2 2 1 ? xy 1? x 1? y

1 3



14.已知 a, b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,则向 量 a, b 的夹角是 60
?



三、解答题 (本题有 4 小题,第 1 题 8 分,后 3 题每题 10 分,共 38 分) 15.设不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足| m |≤2 的一切实数 m 的取值都成立,求 x 的取 值范围. 解:令 f (m) ? 2x ? 1 ? m( x 2 ? 1) ? (1 ? x 2 )m ? 2 x ? 1,它是一条直线(由| m |≤2 知它 实质是一条线段)且使| m |≤2 的一切实数都有 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 成立,…… 3 分 所以有

? f (2) ? 0 ? ?F (?2) ? 0

,即 ?

?2x 2 ? 2x ? 1 ? 0 2 ?2 x ? 2 x ? 3 ? 0

,解得

7 ?1 3 ?1 …… 7 分 ?x? 2 2

故 x 的取值范围是{x|

7 ?1 3 ?1 }. ?x? 2 2

………………………………… 8 分

16.某建筑工地有 84 根大小相同的圆柱型水管,把这些水管堆放成等腰梯形,相邻两层水 管数只相差一根,最底层的水管根数至多是最上层水管根数的 2 倍,在不考虑占地面积、 堆 放高度与地面承重等因素时,试问一共可以堆放多少层? 解:依题意知,每一层水管的根数构成等差数列 {an } ,记最底层的水管根数为 a1 ,则

公差 d ? ?1 ,由题意得:

na1 ?

n(n ? 1) ? (?1) ? 84 2

(1) (2)

a1 ? 2[a1 ? (n ? 1) ? (?1)]

a1 ? N? , n ? N?
由(1)式得 2na1 ? 168? n(n ? 1) 由(2)式得 a1 ? 2(n ? 1) , 则 2na1 ? 4n(n ? 1) (3) (4)

(3)式代入(4)式得 168 ? n(n ? 1) ? 4n(n ? 1) 解得 ? 7 ? n ? 8 , 又 n ? 2

……………………………………… 4 分

?2 ? n ? 8

…………………………………………………………… 6 分 当 n ? 3 时,解得 a1 ? 29 (合题意), 当 n ? 5 时,解得 a1 ? 18.8 (不合题意,舍去), 当 n ? 7 时,解得 a1 ? 15(合题意),

当 n ? 2 时,解得 a1 ? 42.5 (不合题意,舍去), 当 n ? 4 时,解得 a1 ? 22.5 (不合题意,舍去), 当 n ? 6 时,解得 a1 ? 16.5 (不合题意,舍去),

当 n ? 8 时,解得 a1 ? 14 (合题意). ………………………………………………………10 分 答:可堆放 3 层、7 层或 8 层.

17.设 x, y, z>0, 且 x2+y2+z2=1, 试求 S=

xy yz zx ? ? 的最小值. z x y

解: S2=(

xy yz zx 2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 ? ? ) = 2 ? 2 ? 2 +2(x2+y2+z2), …………………… 4 分 z x y z x y
…………………………………… 8 分

2(

x2 y2 y2 z 2 z 2 x2 ? 2 ? 2 )≥2(x2+y2+z2)=2, 2 z x y

∴ S2≥3, S≥ 3 , ∴ S 的最小值为 3
2

……………………………………… 10 分

18.已知 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 | (a ? ?2, a ? R) (1)若 f ( x) 能表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 的和,求 g ( x) 和 h( x) 的

解析式; (2)若 f ( x) 和 g ( x) 在区间 (??, (a ? 1) 2 ] 上都是减函数,求 a 的取值范围;

1 的大小. 6 解: (1)设 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ①,其中 g ( x) 是奇函数, h( x) 是偶函数,
(3)在(2)的条件下,比较 f (1)和 则有 f (? x) ? g (? x) ? h( x) ? ? g ( x) ? h( x) 联立①,②可得 ②

g ( x) ? (a ? 1) x , h( x) ? x 2 ? lg | a ? 2 | (直接给出这两个函数也给分)…2 分 (2)函数 g ( x) ? (a ? 1) x 当且仅当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时才是减函数, ∴ a ? ?1 (a ? 1) 2 a ?1 2 又 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 |? ( x ? ) ? lg | a ? 2 | ? 2 4 a ?1 ) …………………………………………4 分 ∴ f ( x) 的递减区间是 ( ?? ,? 2 a ?1 2 由已知得 (a ? 1) ? ? 2 ?a ? ?1 ? ∴ ? a ?1 (a ? 1) 2 ? ? ? 2 ? 3 解得 ? ? a ? ?1 2
3 ∴ a 取值范围是 [ ? ,?1) …………………………………………………………6 分 2 3 (3) f (1) ? 1 ? (a ? 1) ? lg | a ? 2 |? a ? 2 ? lg | a ? 2 | (? ? a ? ?1) 2

(a ? 1)和lg | a ? 2 | 在 [? 3 ,?1) 上为增函数……………………………………8 分
2

3 3 1 1 ∴ f (1) ? (? ? 2) ? lg | (? ) ? 2 |? ? lg 2 2 2 2
? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? lg ? ? ? lg ? 2 3 8 2 3 10 6

∴ f (1) ?

1 6

即 f (1)大于

1 . ………………………………………………10 分 6


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