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河北省黄骅中学学高二数学下学期第二次月考试题-精


黄骅中学 2015-2016 年度高中二年级第二学期第二次月考 数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(客观题 共 60 分) 注意事项:答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应 位置和涂在答题卡上;不能将题直接答在试卷上

。 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) -3+i 1.复数 z= 的共轭复数是 2+i A.2+i B.2-i ( ) D.-1-i )

C.-1+i

2.点 M 的球坐标 ? ? ,

? ?

? ??

, ? 化为直角坐标为( 3 3?
C.

A.(1,0,0)

B. ?

? 3 3 1? ? ? 4 ,4,2? ? ?
)

? 3 3 ?? ? ? ? 4 ?, 4?, 2 ? ? ?

D. ? ? ,

?3 ?4 ?

3 ?? ?, ? 4 2? ?

3.下列表述正确的是 (

①归纳推理是由部分到整体的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.②③⑤ B.②③④ C.①③④

②归纳推理是由一般到一般的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理;

D.①③⑤ )

4.已知随机变量 X+η =8,若 X~B(10,0.6),则 E(η )和 D(η )分别是( A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6

5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统 计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,.据此估计,该社区一户年收入为 15 万元 家庭的年支出为( )
1

A.11.4 万元

B.11.8 万元

C.12.0 万元

D.1 2.2 万元

6. 小明试图将一箱中的 24 瓶啤酒全部取出, 每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒, 那么小明取出啤酒的方式的种数有( A.212 B.37 C.27 ). D.18
2

7.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b -ac< 3

a 索的因应是(
A.a-b>0

) B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 ) D.(a-b)(a-c)<0

8.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
x ? t 2 (t 为参数) A ? ? 2 ? y ? 2t ? 1

? x ? 2t ? 1 B ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
x ? sin ? D ? (t 为参数) ? ? y ? 2 sin ? ? 1
(t 为参数),那么直线 l 的倾斜角为( )

C

? x ? t ?1 (t 为参数) ? ? y ? 2t ? 1

?x=1-tsin 25° ? 9.直线 l 的方程:? ?y=2+tcos 25° ?

A.25°

B.65° C.115°

D.155°

10. 一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到 红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)=( )
9 ? 3? ? 5? D. C11 ? ? ? ? ?8? ?8? 10 2

? 3? ? 5? A. C ? ? ? ? ?8? ?8?
10 12

10

2

9 ? 3? ? 5? B. C12 ? ? ? ? ?8? ?8?

9

2

9 ?5? C. C11 ? ? ?8?

9

? 3? ? ? ?8?

2

11.若实数 x、 y 满足 xy ? 0 ,则

x 2y ? 的最大值为( x ? y x ? 2y
C.



A. 4 ? 2 2
10

B. 4 ? 2 2

2 ? 2 D. 2 ? 2
2 10

12. 已 知 ?1 ? x? ? a0 ? a1 ?1 ? x? ? a2 ?1 ? x? ? ? ? ? ? a10 ?1 ? x? ,则 a8 等于( A.180 B.90 C.5 D.-5

)

2

黄骅中学 2015-2016 年度高中二年级第二学期第二次月考 数学试卷(理科) 第Ⅱ卷(共 90 分) 注意事项:第Ⅱ卷共 2 页,用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上。 得分 阅卷人 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

? x ? 3 ? sin ? 13 . 参 数 方 程 ? ( ? 为参数)化为普通方程是 ? y ? cos?
.

?? ? . ? ? ? 表示图形的面积是 ?4 ? 2 2 2 15. 设 x, y , z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ? _______.
14. 极坐标方程 ρ =2 2cos ? 1 1 2 2 16.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 + 的

a b

最小值为

.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分 ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.( 本题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 . (1)求不等式 f ? x ? ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ?x ? ? a ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)已知 z 是复数,z+2i, 均为实数,且复数(z+ai) 在复平面上对 2-i 应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.

z

2

19. (本小题满分 12 分)有 4 名男生和 2 名女生,从中选出 3 人担任 3 门不同学科的课代表, 分别求符合下列条件的选法数。 (1)至少有一个女生担任课代表; (2)某女生一定要担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;
3

20. (本小题满分 12 分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独 立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间 (分) 频率 1 0.1 2 0 .4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理 完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

21. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:x +y =1,以平面直角坐标 系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l: ρ (2cos θ -sin θ )=6. (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 3倍, 纵坐标伸长为原来的 2 倍后得到曲线 C2, 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程. (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

2

2

22.( 本题满分 12 分)若 ( x ? 1)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? a3 ( x ?1)3 ? ?? an ( x ?1)n , 其中 n ? N . (1)求 a0 及 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (2)试比较 Sn 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2
?

4

数学试卷答案 一.选择题 DCDBB BCCCD
2

AA 14. 2π 15. 3 3 14 16. . + 2 2 7

二.填空题 13. ?x ? 3? ? y 2 ? 1 三.解答题 17.( 本题满分 10 分) 解: (1)原不等式等价于:

3 1 3 1 ? ? ? x? ? ?x x?? ? ? ? 或 或 2 2 2 2 ? ? ? ?? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 3? ? 6 ?? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 3? ? 6 ?? ? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 3 ? ? 6 ? ? ?

解得

3 1 3 1 ? x ? 2或- ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? ,不等式的解集为 ?x | ?1 ? x ? 2? . 2 2 2 2

5分

(2)不等式 f ?x ? ? a ? 2 等价于 a ? 2 ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 因为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? 2x ? 1 ? ? 2x ? 3? ? 4 ,所以 f ? x ? 的最小值为 4. 于是, 所以 a ? 2 8分

a?2?4
10 分

18.(本小题满分 12 分) 解:设 z=x+yi(x,y∈R), 因为 z+2i=x+(y+2)i,且 z+2i 为实数, 所以 y=-2. 2分 z x-2i 1 因为 = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 z = (2x+2)+ (x-4)i,且 为实数, 5 5 2-i 所以 x=4, 4分 所以 z=4-2i, 2 2 所以(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i, 2 ?12+4a-a >0, ? 根据条件,可知? 8分 ?8?a-2?>0, ? 解得 2<a<6, 所以实数 a 的取值范围是(2,6). 10 分 19. (本小题满分 12 分) 解
3 (1)符合条件的课代表人员的选法有( (C2 C4 ? C2 C4 ) 种,排列方法有 A3 种,所以满
1 2 2 1

足题意的选法有 (C2C4 ? C2 C4 ) A3 ? 96 (种).
1 2 2 1 3

4分
5

2 (2)除去该女生后,即相当于挑选剩余的 5 名学生担任两科的课代表,有 A5 ? 20 (种)选法.8


1 2 2 (3) 从剩余的 5 名学生中选出 2 名有 C5 种选法,排列方法有 C 2 A2 种,所以选法共有

2 1 2 C5 C2 A2 ? 40 (种).

12 分

20. (本小题满分 12 分)解: (1)设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布如下:

1分 ①第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 4分 所以 P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22。 6分 (2)X 所有可能的取值为:0,1,2 X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; 7分 X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分钟, 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟,8 分 所以 P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P(X=2)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为

10 分 期望:EX=0 ×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51 21. ( 本小题满分 12 分) 12 分 2分

[解] (1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0.

? x ? ? y? ? ∵C2: ? ? ? ? ? ? ?1, ? 3? ?2?
∴C2 的参数方程为

2

2

4分

?x= 3cos θ , ? ?y=2sin θ

(θ 为参数).

6分

(2)设 P( 3cos θ ,2sin θ ),则点 P 到直线 l 的距离为:

6

d=


|2 3cos θ -2sin θ -6| 5 8分 即点 P ? ? 12 分

|4sin?60°-θ ?-6| , 5

∴当 sin(60°-θ )=-1, |4+6| 此时 dmax= =2 5. 5

? 3 ? ,1? 时, ? 2 ?

10 分

22.( 本题满分 12 分) ⑴取 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ;取 x ? 2 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 3n , ∴ Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 3n ? 2n ;
n 2

4分

⑵要比较 Sn 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,即比较: 3n 与 (n ? 1)2n ? 2n2 的大小, 当 n ? 1 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ;
n n

当 n ? 2,3 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ; 6分
2

当 n ? 4,5 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ; 由上述过程可知, n ? 4 时结论成立,

猜想:当 n ? 4 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ,下面用数学归纳法证明: 假设当 n ? k ,(k ? 4) 时结论成立,即 3 ? (k ?1)2 ? 2k ,
k k 2

两边同乘以 3 得 3

k ?1

k 2 k ?1 2 k 2 ? 3? ?(k ? 1)2 ? 2k ? ? ? k 2 ? 2( k ? 1) ? [( k ? 3)2 ? 4k ? 4k ? 2] ,而

(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4(k 2 ? k ? 2) ? 6 ? (k ? 3)2k ? 4(k ? 2)(k ? 1) ? 6 ? 0 , k ?1 k ?1 2 所以 3 ? ((k ? 1) ?1)2 ? 2(k ? 1) . n n 2 即 n ? k ? 1 时结论也成立. 故当 n ? 4 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n 成立. 12分

7


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