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两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案


个性化教案

两角和与差的正弦、余弦、正切公式
适用学科 适用区域 知识点
数学 北京

适用年级 课时时长 (分钟)

高一 120

1.理解两角和与差的余弦、 正弦和正切公式体会三角恒等变换特点的过程; 2.掌握两角和与差的余弦、 正弦和正切公式的应用及 a sin ? ?

b cos ? 类型 的变换。

教学目标 教学重点 教学难点

理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法, 体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

教学过程
一、复习预习
(1)大家首先回顾一下两角差的余弦公式: cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? . (2) sin ? ? cos ? 基本公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

二、知识讲解
问题:由两角差的余弦公式,怎样得到两角差的正弦公式呢? 探究 1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .

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sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ?? ?? ? ? sin ? cos ? ?? ? ? cos? sin ? ?? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
探究 2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生 动手)

tan ?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

探究 3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

探究 4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢? (分式分子、分母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

5、将 S (? ? ? ) 、C(? ? ? ) 、T(? ? ? ) 称为和角公式,S (? ?? ) 、C(? ?? ) 、T(? ? ? ) 称为差角公式。

三、例题精析
【例题 1】 【题干】 已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角, 求 sin ? 【答案】-7 【解析】因为 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? ?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?

3 5

? 3? ? 5?

2

4 , 5

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5 ?
于是有: sin ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

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? 3 ? ?1 ? ? tan ? ? tan 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ? ?7 ? 3? 4 ? ? ? 1 ? tan ? tan 1? ? ? ? 4 ? 4?
【例题 2】 【题干】 (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ; (2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ; (3)

1 ? tan15 . 1 ? tan15

【答案】0.5;0; 3 【解析】 (1) 、s n i7 2c o s 4 2 c o s 7 2s n i4 2 ?s n i7 2 4 2 (2) 、c o s2 0c o s 7 0 s n i2 0s n i7 0 ?c o s2 0 7 0

s n i3 0?

?

?

??

?

1 ; 2


c o s 9 0 ? 0

?

?

??

?

(3) 、

1 ?a t n 1 5 1? a t n 1 5

a t n4 5 a t n 1 5 ? 1 a t n4 5a t n 1 ? 5

?

?a t n4 5? 1 5? a t n6 0? ? 3

?



【例题 3】 【题干】化简 2 cos x ? 6 sin x 【答案】
?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? ? 2 cos x ? 2 sin x ? ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 sin ?30 ? x ? ? ?

【解析】 此题与我们所学的两角和与差正弦余弦和正切公式不相象但我们能否发现规律呢?

?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? cos x ? sin x ? ?2 ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 sin ?30 ? x ? 2 ? ?

四、课堂运用
【基础】 【题干】sin43°cos13°-sin13°cos43°的值等于( 1 A. 2 【答案】A B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 )

1 【解析】原式=sin(43°-13°)=sin30°= . 2 【巩固】

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【题干】已知 sin(45°+α )= 4 A.- 5 3 B.- 5 3 4 C. D. 5 5

5 ,则 sin2α 等于( 5

)

【答案】B 【解析】∵sin(45°+α )= ∴sinα +cosα = 10 , 5 2 5 (sinα +cosα )= , 2 5

2 3 两边平方,得 1+sin2α = ,∴sin2α =- . 5 5 【拔高】 α 1+tan 2 4 【题干】已知 cosα =- ,α 是第三象限角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 【答案】A 4 【解析】 ∵cosα =- ,且α 是第三象限角, 5 3 ∴sinα =- , 5 α α α 1+tan cos +sin 2 2 2 ∴ = α α α 1-tan cos -sin 2 2 2 3 1- 5 1+sinα 1 = = =- . cosα 4 2 - 5 1 B. 2 C.2 D.-2

)

课程小结
理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒 等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.

课后作业
【基础】 【题干】化简 3 cos x ? sin x

2 sin(
【答案】

?
3

? x)

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【解析】原式= 2(

3 1 ? ? ? cos x ? sin x) ? 2(sin cos x ? cos sin x) ? 2 sin( ? x) 2 2 3 3 3
2(cos

?
6

或解:原式= 【巩固】

cos x ? sin

?

sin x) ? 2 cos( ? x) 6 6

?

? ?? ? 5? x ? ?0, ? y ? cos( ? x) ? cos( ? x) 2? ? 12 12 【题干】已知 ,求函数 的值域

? 2 ? , 2? ? ? 2 ? ? 【答案】 ?

? 5? ? y ? cos( ? x) ? cos( ? x) ? 2 cos( ? x) 12 12 3 【解析】
? ?? x ? ?0, ? ? 2? ∵



?

?
6

?

?
3

?x?

?
3



? ?1 ? cos( ? x) ? ? ,1? 3 ?2 ?

? 2 ? , 2? ? ? 2 ? ? ∴函数 y 的值域是 ?

【拔高】
cos 2 x

5 ? sin( ? x) ? 0? x? 4 13 4 【题干】已知 ,

?

cos( ? x) 4 求 的值

?

24 【答案】 13
? 5 sin( ? x) ? 4 13 【解析】∵
? 5 cos( ? x) ? 4 13 即:
0? x?

? ? 5 ?? ? cos? ? ( ? x)? ? sin( ? x) ? 2 4 4 13 ? ?

?
4

?
∴4



? x?

?
4

?

?
2

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从而

si(

?
4

? x) ?

12 13

? ?? ? 12 5 12 5 120 cos 2 x ? cos?( ? x) ? cos( ? x)? ? ? ? ? ? 4 4 ? ? 13 13 13 13 169 而

120 cos 2 x 24 ? 169 ? ∴ ? 5 13 cos( ? x) 4 13


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