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高一数学第二章(第6课时)函数单调性


(1) y ? x ? 1
y

(2) y ? ? x ? 1
y 1 x o 1 x

1
o

-1

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

(3)
1

1 y= x

/>y

(4)

1 y= x
y 1

-1

o

x

o

1

x

(-∞,0)上 y 随 x 的增大而减小 (-∞,0)上 y 随 x 的增大而增大 (0,+∞)上 y 随 x 的增大而减小 (0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大

(5)

y= x
y

2

(6)

y= x
y

3

o

x

o

x

(-∞,0]上 y 随 x 的增大而减小

[0,+∞)上y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而增大

y

y ? f (x)

y

y ? f (x)

o

m

n

x

通 俗 定 义

o

m

n

x

在[m,n]上,函数 y 随 x 的增大而增大

[m,n]上,函数 y 随 x 的增大而减小

——单调递增性

——单调递减性

y
f ( x1 )

f ( x2 )

o

x1

x2

x

一般地,设函数 f ( x )的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x 1 ,x 2 。当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 那么就说 f (x )在这个区间上是增函数。

y

f ( x1 )

f ( x2 )

o

x1

x2

x

一般地,设函数 f ( x )的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x 1 ,x 2 。当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 那么就说 f (x )在这个区间上是减函数。

如果函数 y ? f (x ) 在某个区间上是增 函数或减函数,那么就说函数 y ? f (x ) 在这一区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做 y ? f (x ) 的单调区间。

注:
1.函数的单调性也就是 函数的增减性

2.函数的单调性是对某个区间而言 的,它是一个局部概念.

例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函 数 y ? f (x ) 的图象,根据图象说出 y ? f (x ) 的单调区间,以及在每一区间上, y ? f (x ) 是增函数还是减函数.

y
3 2 1 -1 O1 -1 2 3 4 5

-2
-5 -4 -3

x

-2

解:函数 y ? f (x) 的单调区间有 [-5,-2), [-2,1), [1,3), [3,5], 在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数 在区间[-2,1), [3,5)上是增函数.

y

3 2 1

-2 -5 -4 -3

-1

O1 2 3 -1 -2

4

5

x

如图,已知 y ? f (x ) 的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及 在每一区间上,函数是增函数还是减 函数.

y ? f (x )
-2 -1

y
1

o
-1

1

2

x

如图,已知 y ? f (x ) 的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及 在每一区间上,函数是增函数还是减 函数. y

y ? f (x )
??
?

?
2

1

o
-1

?
2

?

x

例2 证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在R上是 增函数.

判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤:

1.设 x1 , x 2 ?给定的区间,且 x1 ? x 2 ;
2.计算 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 至最简 ; 3.判断上述差的符号 ;

4.下结论(若差<0,则为增函数; 若差>0,则为减函数).

例2 证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在R上是增函数.
证明:设 x1 , x2是R上的任意两个实数,且 x1 < 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) = (3x1 + 2) - (3x2 + 2)
= 3( x1 - x2 ). x2 ,

由 x1 < x2 , 得 x1 - x2 < 0, 于是 f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0, 即 f ( x1 ) < f ( x2 ), f 所以, ( x) = 3x + 2 在R上是增函 数.

证明函数 f ( x) ? ?2 x ? 1 在R上是 减函数.

证明函数 f ( x) = - 2 x + 1在R上是减函数.
证明:设 x1 , x2是R上的任意两个实数,且 x1 < 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) = (- 2 x1 + 1) - (- 2 x2 + 1)
= 2( x2 - x1 ). x2 ,

由 x1 < x2 , 得 x2 - x1 > 0, 于是 f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0, 即 f ( x1 ) > f ( x2 ), f 所以, ( x) = 3x + 2 在R上是减函 数.

1 例3 证明函数 f ( x ) ? 在(0,+∞)上 x 是减函数.
证明:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上的任意两个
实数,且
x 2 ? x1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? x1 x 2 x1 x 2

x1 ? x 2,则

由 x 2 , x 2 ? (0,??) ,得 x1 x 2 ? 0

又由 x 1 ? x 2 , 得 x 2 ? x1 ? 0
于是

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

1 所以, ( x ) ? 在(0,+∞)上是减函数. f x

1 例3 证明函数 f ( x ) ? 在(-∞,0)上 x 是减函数.
证明:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上的任意两个
实数,且
x 2 ? x1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? x1 x 2 x1 x 2

x1 ? x 2,则

由 x 2 , x 2 ? (0,??) ,得 x1 x 2 ? 0

又由 x 1 ? x 2 , 得 x 2 ? x1 ? 0
于是

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

1 所以, ( x ) ? 在(0,+∞)上是减函数. f x

1 例3 证明函数 f ( x ) ? 在(-∞,0)上 x 是减函数.
证明:设 x1 , x 2 是 (- ∞ ,0)上的任意两个
实数,且
x 2 ? x1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? x1 x 2 x1 x 2

x1 ? x 2,则

由 x2 , x2 ? (

, 0),得 x1 x 2 ? 0

又由 x 1 ? x 2 , 得 x 2 ? x1 ? 0
于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 所以, ( x ) ? 在(- ∞ ,0 ) 上是减函数. f
x

判断函数 f ( x ) ? x ? 1 在(0, +∞)上 是增函数还是减函数?并证明.
2

证明函数 f ( x ) ? x ? 1 在(0, +∞)上是增函数.
2

证明:设 x1 , x2是(0, +∞)上的任意两个实数,且
x1 < x2 ,

Q f ( x1 ) - f ( x2 ) = = = Q 0 < x1 < x2 , \ \ \

( x12 + 1) - ( x2 2 + 1) 2 2 x1 - x2 ( x1 + x2 )( x1 - x2 ) x1 + x2 > 0, x1 - x2 < 0,

f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0,即f ( x1 ) < f ( x2 ), f ( x) = x 2 + 1 在(0, +∞)上是增函数.

小结 1.函数的单调性就是函数的增减性; 2.函数的单调性是相对于函数定义域上的某 个区间而言的,它是函数的局部性质; 3.根据定义证明函数单调性的一般步骤是: (1)设x1,x2是给定区间内的两个值,且x1<x2; (2)作差f(x1)-f(x2);并将此差式变形(要注 意变形的程度); (3)判断f(x1)-f(x2)的正负(要注意说理的充 分性); (4)据据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性.

课本第60页习题2.3 第1、2、3、4、5、6题

证明:二次函数

在(-

5 ∞, ]上是减函数; 2

5 2 1 f ( x) = ( x - ) 2 4

5 在 [- , +∞ )上是增函数. 2

结合图象说出函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的单调区间,以及在各个区间上是 增函数还是减函数;你能给出相应 的证明吗?
2


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