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高二数学复习知识点总结


四、数列
【知识梳理】 一、数列概念 1、数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2、通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这 个数列的通项公式,即 an ? f (n) . 3、 递推公式: 如果已知数列 ?an ? 的第一项 (或前几项) , 且任何一项 an 与它的前一项 a

n ?1(或 前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 an ? f (an?1 ) 或 an ? f (an?1 , an?2 ) ,那么这个 数列 ?an ? 的递推公式. 4、数列的前 n 项和 ① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② a n ? ? 式子叫做数列 ?an ? 的递推公式. 如数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2an ? 1,其中 an ? 2an ? 1 是

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

二、等差数列 1、等差数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d , 这个数列叫做等差数列,常数 d 称为等差数列的公差. 2、通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差.

n ( a1 ? a n ) 1 或 S n ? na1 ? n ( n ? 1)d . 2 2 3、等差中项:如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
⑵前 n 项和公式 S n ? 即: A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a , A , b 成等差数列. 4、等差数列的判定方法 ⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差数列; ⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. 5、等差数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ? ( p 是常数)都是等差数列; 为等差数列,公差为 kd .

⑵在等差数列 ?an ? 中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即 an , an?k , an?2k , an?3k , ?

a ? 0) ⑶ an ? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是常数); Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数,
⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;

? Sn ? ? 是等差数列; ?n? S偶 an?1 ⑹当项数为 2n(n ? N ? ) ,则 S偶 ? S奇 ? nd, ; ? S奇 an
⑸若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 ?
4-1

当项数为 2n ? 1(n ? N ? ) ,则 S奇 ? S偶 ? an ,

S偶 n ? 1 . ? S奇 n

三、等比数列 1 、等比数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q ? 0) ,这个数列叫做等比数列列,常数 q 称为等比数列的公比. 2、通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an ? a1qn?1 , a1 为首项, q 为公比. ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, Sn ? na1

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ②当 q ? 1 时, S n ? . ? 1? q 1? q
3、等比中项:如果 a , G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a , A , b 成等差数列 ? G 2 ? a ? b . 4、等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

⑵中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列. 5、等比数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等比数列,则数列 ?pan ? 、 ?pan ? ( q ? 0 是常数)都是等比数列; 为等比数列,公比为 q k . ⑶ an ? am ? qn?m (n, m ? N ? ) . ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; ⑸若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S3k 是等比数列. 【典型例题】 A、求值类的计算题(多关于等差、等比数列) (1)根据基本量求解(方程思想) 1、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,则 n =

⑵在等比数列 ?an ? 中, 等距离取出若干项也构成一个等比数列, 即 an , an?k , an?2k , an?3k , ?

.

2、在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 ,且 a3,a6,a10 成等比数列,则数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 = . 3、 设 ?an ? 是公比为正数的等比数列, 若 a1 ? 1, a5 ? 16 , 则数列 ?an ? 前 7 项的和为 .

4、已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37,中间两 数之和为 36,则这四个数依次是 . (2)根据数列的性质求解(整体思想) 1、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a6 ? 100,则 S11 ? .

4-2

S n 7n ? 2 a ,则 5 ? ? Tn n?3 b5 3、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? m, Sm ? n(n ? m) ,则 S m?n ?
2、设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 ?an ? 、 ?an ? 的前 n 项和, 4、在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _____ __. 且 ak ? 13 ,则 k ? _________.

. .

5、已知 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 , 6、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ? . . .

7、在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为 8、在等比数列中,已知 a9 ? a10 ? a(a ? 0) , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 ? 9、已知 ?an ? 为等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20 ,则 a75 ? 10、等差数列 ?an ? 中,已知 . .

S4 1 S ? ,则 8 = S8 3 S16

B、求数列通项公式 (1) 给出前几项,求通项公式 1、(1)2,0,2,0,2,0…… (2)1,3,6,10,15,21,…… (3)3,-33,333,-3333,33333,…… (2)给出前 n 项和求通项公式 2、⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1.

3、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? …+3 an ?
2 n-1

n (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式. 3

(3)给出递推公式求通项公式 a、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法;

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 1、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式;

b、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭乘法. an ?

an an ?1 an ?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1

4-3

2、已知数列 ?an ? 满足:

an n ?1 ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1

c、构造新数列 1°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,利用待定系数法求解

3、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

2°递推关系形如“ an ?1 ? pan ? qn ” ,两边同除 pn?1 或待定系数法求解

4、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

3°递推已知数列 ?an ? 中,关系形如“ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ” ,利用特征根法求解. 5、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公式.

4°递推关系形如" an ? pan?1 ? qan an? ( 1 p,q ? 0),两边同除以 an an?1 .

6、已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2an an? ( an ? 的通项公式. 1 n ? 2),a1 ? 2 ,求数列 ?

7、数列 ?an ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?an ?的通项公式. 4 ? an

d、给出关于 Sn 和 am 的关系

1、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) 。 ⑴设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ?的通项公式;
4-4

⑵求数列 ?an ? 的通项公式.

2 2、设 Sn 是数列 ?an ?的前 n 项和, a1 ? 1 , S n ? an ? S n ?

⑴求数列 ?an ?的通项公式; ⑵设 bn ?

? ?

1? ?(n ? 2) . 2?

Sn ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差 1、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

Sn ( n ? N ? ) .求证:数列 ?bn ?是等差数列. n

2、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn〃Sn-1=0(n≥2),a1= 数列.

1 1 .求证:{ }是等差 Sn 2

2)证明数列等比
4-5

3、设{an}是等差数列,bn= ? ? ,求证:数列{bn}是等比数列.

?1? ?2?

an

4、设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn .
n
n ?1 ⑴证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

⑵求数列 ?an ? 的通项公式.

5、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). ⑴证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; ⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.

D、求数列的前 n 项和 基本方法: 1)公式法 2 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n ,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn= 2)分组求和法 2、数列 {2 ? 2n ? 3} 的前 n 项和 Sn =
n

.

. .

2 , 3 , ?, (n ? 3、数列 1 ,

1 2

1 4

1 8

1 ), ? 的前 n 项和 Sn = 2n
.
4-6

4、求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3)= 2)裂项相消法

1 1 1 ? ??? = 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 1 1 1 1 ? ? ??? 6、求和: = 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n
5、求和:S=1+ 3)倒序相加法 7、设 f ( x ) ?

. .

x2 ,则 1 ? x2 1 1 1 f( )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2012 ) ? f (2013 ) = 2013 2012 2

.

4)错位相减法,

8、若数列 ?an ?的通项 an ? (2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 Sn .

E、数列单调性最值问题 1、数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最小值时, n ? 2、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16. 当 n =
2

.

3、数列 ?an ? 中, an ? 3n ? 28n ? 1 ,则当 an 取最小值时 n 的值为 4、数列 ?an ? 中, a n ? n ?

时, Sn 取得最大值. .

n 2 ? 2 ,求数列 ?an ? 的最大项和最小项.

5、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(1)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

6、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

4-7

⑵数列 ?an ? 中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak ? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立?若 存在,求最小的正整数 k ,若不存在,说明理由.

7、非等比数列 {an } 中,前 n 项和 Sn ? ? (an ? 1)2 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 均有 Tn ?

1 4

1 (n ? N *) ,Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,是否存在最大的整数 m,使得对任意的 n n(3 ? an )

m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由。 32

F、有关数列的实际问题 1、2011 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40 %,从 2012 年开始,计划每年将非绿化面 积的 8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化. ⑴设该县的总面积为 1,2011 年底绿化面积为 a1 ? 用 an 表示 an ?1 ; ⑵求数列 ?an ?的通项公式; ⑶至少需要多少年努力,才能使绿化率超过 60%?(参考数据: lg 2 ? 0.3010 , lg 3 ? 0.4771)

4 ,经过 n 年后绿化的面积为 an ?1 ,试 10

4-8

【综合练习】 1、数列 ? 1, ,?

15 24 , ,? 的一个通项公式是( ) 7 9 3 n n( n ? 3) n n ?n A. an ? (?1) B. an ? (?1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n n( n ? 2) n ( n ? 1) ? 1 C. an ? (?1) D. an ? (?1) 2n ? 1 2n ? 1
) A. x ? 6 x ? 100 ? 0
2

8 5

2、若两数的等差中项为 6,等比中项为 10,则以这两数为根的一元二次方程是( B. x ? 12x ? 100 ? 0
2

C. x ? 12x ? 100 ? 0 D. x ? 12x ? 100 ? 0 3、已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数,则 b2(a2-a1)=( )
2 2

9 8 4、 已知数列 ?a n ? 是等比数列, 若 a9 a 22 ? a13 a18 ? 4 , 则数列 ?a n ? 的前 30 项的和 T30 ?(
A.8 B.-8 C.±8 D. A. 4
15



B. 2

15

C. ? 1 ?

? ? ? 2?

15

D. 3

15

5、已知等比数列{a n }的公比为 2, 前 4 项的和是 1, 则前 8 项的和为 ( A.15 B.17 C.19 D.21 6、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 , 则S8 ? ( ) A.18
2

)

B.36
2

C.54

D.72

7、已知方程 ( x ? 2 x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 |m-n|=( A.1 ) B.

1 的等差数列,则 4

3 4

C.

1 2

D.

3 8
那么

8、等差数列{an}中,a1+a2+…+a50=200,a51+a52+…+a100=2700,则 a1 等于( ) A.-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 30 9、设 {an}是由正数组成的等比数列, 且公比 q=2, 如果 a1〃a2〃a3〃…〃a30 =2 , a3〃a6〃a9〃…〃a30=( ) 10 15 20 16 A.2 . B.2 . C.2 . D.2 .
4-9

10、某人从 2009 年 9 月 1 日起,每年这一天到银行存款一年定期 a 元,且每年到期的存款将 本和利再存入新一年的一年定期,若年利率 r 保持不变,到 2013 年 9 月 1 日将所有的存款和 利息全部取出,他可取回的钱数为

a a 5 4 ?1 ? r ?5 ? ?1 ? r ? C. a?1 ? r ? D. ?1 ? r ? ? 1 r r 11、已知数列的通项公式 an ? 4n ? 7 ,则其中三位数的个数有_______个.
A. a?1 ? r ?
5

B.

?

?

?

?

12、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 ? S 20 ,则 S 30 的值是_______. 13、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和公式为 sn ? ?n 2 ? 1, 那么此数列的通项公式为 . . 14、在各项均为正数的等比数列 ?a n ? 中,若 a50 ? a51 =9,则 log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an ?

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? (n ? n ) =________________ . 2 4 8 2 16、 已知等差数列 ?a n ? 中, 公差为 d ? 1, 且 s99 ? 99 , 求 a 2 ? a5 ? a8 ? ? ? a95 ? a98 的值。
15、 S n ? 1

17、⑴在等比数列 ?a n ? 中,若 a4 ? a 2 ? 24, a 2 ? a 3 ? 6 , 求首项 a1 和公比 q 。 ⑵设等比数列 ?a n ? , s n 是它的前 n 项和,若 s 3 ? s6 ? 2s9 , 求公比 q 。

18、已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
n

(2)令 bn ? an 3 ( x ? R).求数列 ?bn ? 前 n 项和的公式.

4-10

19、设 a1 ? 2, a2 ? 4, 数列 {bn } 满足: bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2. (1)求证数列 {bn ? 2} 是等比数列(要指出首项与公比); (2)求数列 {an } 的通项公式.

20、在等比数列{an}中,an>0(n∈N ),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等 比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求数列{Sn}的通项公式; S1 S2 Sn * * (3)是否存在 k∈N ,使得 + +…+ <k 对任意 n∈N 恒成立,若存在,求出 k 的最小值, 1 2 n 若不存在,请说明理由.

*

4-11

21、在单调递增数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 a2n?1 , a2n , a2n ?1 成等差数列, a2n , a2n ?1 , a2n ? 2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ? . (1)分别计算 a 3 , a 5 和 a 4 , a 6 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; 1 4n (3)设数列 { } 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn ? , n? N* . n?2 an

4-12


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