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高三数学第一轮复习章节测试9-2


第9章 第2节 一、选择题 π 1.(2011· 珠海统考)直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转2所得的直线方程是( A.-x+2y-4=0 C.-x+2y+4=0 [答案] D B.x+2y-4=0 D.x+2y+4=0 )

π [解析] 直线 2x-y-2=0 与 y 轴的交点为 P(0,-2),其斜率 k=2,绕点 P 逆时针旋转2后

的 1 1 斜率为 k′ =-k =-2, 1 故旋转后的直线方程为 y+2=-2x,即 x+2y+4=0. 2.点 A(1,2)在直线 l 上的射影为 B(-1,4),则 l 的方程为( ) A.x+y-5=0 B.x+y+5=0 C.x-y-5=0 D.x-y+5=0 [答案] D [解析] AB⊥l 可求 l 方程. 3. 已知两直线 l1: mx+y-2=0 和 l2: (m+2)x-3y+4=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆, 则实数 m 的值为( ) A.1 或-3 B.-1 或 3 1 C.2 或2 1 D.-2 或2

[答案] A [解析] ∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,∴对角互补,∴两条直线垂直, m+2 ∴ 3 · (-m)=-1,∴m=1 或 m=-3. 4.(2011· 陕西华阴期末)若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点 ( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) [答案] B [解析] 由于直线 l1: y=k(x-4)恒过定点(4,0), 其关于点(2,1)对称的点为(0,2), 又由于直线 l1: y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称, ∴直线 l2 恒过定点(0,2),故应选 B. 5.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 [答案] A 1 [解析] 所求直线过点 A 且与 OA 垂直时满足条件,此时 kOA=2,故所求直线的斜率为-2, 1 所以直线方程为 y-2=-2(x-1),即 x+2y-5=0. 6.如下图,定圆半径为 a,圆心为 C(b,c),则直线 ax+by+c=0 与直线 x-y+1=0 的交点

在(

)

u A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] 由已知-b>a>c>0, ∴a-c>0,a+b<0,b+c<0,

B.第二象限 D.第四象限

?ax+by+c=0 ? ? c+b a-c? 由? 得交点?-a+b,a+b?在第三象限,∴选 C. ? ? ? ?x-y+1=0

7.过直线 y=x 上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2 的两条切线 l1、l2,当直线 l1、l2 关于 y=x 对称时,它们之间的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° [答案] C [解析] 过圆心 C(5,1)作 y=x 的垂线,垂足为 P. 过 P 作⊙C 的切线 l1、l2,则 l1 与 l2 关于直线 PC 对称.

∵直线 PC 与直线 y=x 垂直, ∴l1 与 l2 关于直线 y=x 对称, ∵C 到直线 y=x 距离为 2 2, 又⊙C 的半径 2,∴∠APC=30°,∴l1 与 l2 的夹角为 60°. 8.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最 后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( )

A.2 10 B.6 C.3 3 D.2 5 [答案] A [解析] 易得 AB 所在的直线方程为 x+y=4,由于点 P 关于直线 AB 的对称点坐标为 A1(4,2), 点 P 关于 y 轴的对称点坐标为 A′ (-2,0),则光线所经过的路程即为 A1(4,2)与 A′ (-2,0)两点间

的距离.于是|A1A′ |= + + - =2 10. 二、填空题 9.已知三条直线 x-y=0,x+y-1=0,mx+y+3=0 不能构成三角形,则 m 的取值集合为 ________. [答案] {1,-1,-7}. 1 1 [解析] 当三直线中有两直线平行时 m=1 或-1,当三直线交于一点时,将交点(2,2)代入直 线 mx+y+3=0,得 m=-7,因此 m∈{1,-1,-7}. 10.△ABC 中,a、b、c 是内角 A、B、C 的对边,且 lg sinA,lg sinB,lg sinC 成等差数列,则 下列两条直线 l1: (sin2A)x+(sinA)y-a=0, l2: (sin2B)x+(sinC)y-c=0 的位置关系是________. [答案] 重合 [解析] 由已知 2lg sinB=lg sinA+lg sinC, 得 lg(sinB)2=lg(sinA· sinC),∴sin2B=sinA· sinC. 设 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0. a1 sin2A sin2A sinA b1 sinA ∵a2=sin2B=sinAsinC=sinC,b2=sinC, c1 -a -2RsinA sinA a1 b1 c1 c2=-c=-2RsinC= sinC,∴a2=b2=c2, ∴l1 与 l2 重合. 11.(文)(2011· 北京文)若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平面区域内,则 m=________. [答案] -3 [解析] 本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知识. |4m-9+1| 点 P 到直线 4x-3y+1=0 的距离 d= =4, 5 解得 m=7 或 m=-3, 又∵点 P 在 2x+y<3 表示的区域内,故 m=-3. (理)将直线 l:x+2y-1=0 向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位后得到直线 l′ ,则直线 l 与 l′ 之间的距离为____. [答案] 5 5

[解析] 平移后 l′ :(x+3)+2(y-2)-1=0 即 l′ :x+2y-2=0,∴d= |-2- - 1+22 5 =5.

三、解答题 12.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m、n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [解析] (1)由条件知 m2-8+n=0,且 2m-m-1=0, ∴m=1,n=7. (2)由 m· m-8×2=0,得 m=±4.

?m=4 ?m=-4 ? ? 由 8×(-1)-n·m≠0,得? 或? ? ? ?n≠2 ?n≠-2

即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2; (3)当且仅当 m· 2+8· m=0, 即 m=0 时,l1⊥l2, n 又-8=-1,∴n=8. 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [点评] 若直线 l1、l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0,则 l1∥l2 的必要 条件是 A1B2-A2B1=0;而 l1⊥l2 的充要条件是 A1A2+B1B2=0. 13.已知△ABC 的两个顶点 A(-1,5)和 B(0,-1),又知∠C 的平分线所在的直线方程为 2x- 3y+6=0,求三角形各边所在直线的方程. [解析] 设 A 点关于直线 2x-3y+6=0 的对称点为 A′ (x1,y1),则 x1-1 y1+5 ? ?2· 2 -3· 2 +6=0, ?y1-5 3 ?x1+1=-2. ?

?2x1-3y1-5=0, ? ∴? 解得 ? ?3x1+2y1-7=0.

?x1=13, ? 1 y1 =- ? 13
31

1? ?31 ∴A′13,-13 . ? ?

? 36 41? 同理,点 B 关于直线 2x-3y+6=0 的对称点为 B′-13,13 . ? ?
∵角平分线是角的两边的对称轴, 12 ∴A′ 点在直线 BC 上. kBC=kBA′ =31, 12 ∴直线 BC 的方程为 y=31x-1, 整理,得 12x-31y-31=0. 同理,直线 AC 的方程为 24x-23y+139=0. kAB=-6,∴直线 AB 的方程为 6x+y+1=0. [点评] 在解答解析几何问题时,常常需要对图形的几何性质进行深入探讨,只有对几何背景 有了深入了解, 才能为问题的解决提供简捷的代数方法. 本例就是在观察图形性质的基础上进 行解答的. 14.已知点 P(2,-1),求: (1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. [解析] (1)过 P 点的直线 l 与原点的距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1),可见过 P(2,-1)垂直 于 x 轴的直线满足条件,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2),

即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得, =2,解得 k=4,这时直线 l 的方程为 3x-4y-10=0. 1+k2 综上所述,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)∵P 点在直线 l 上, ∴原点到直线 l 的距离 d≤|OP|,∴过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 1 P 点且与 PO 垂直的直线,由 l⊥OP,得 k1· kOP=-1.∴k1=-kOP=2,得直线 l 的方程为 2x -y-5=0,即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线, |-5| 最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)知,过 P 点的直线与原点 O 最大距离为 5,故过 P 点不存在到原点距离为 6 的直线. 15.(文)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射光线所在 的直线方程. [分析] 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 l 对称,用对称点方法求 出入射光线上一点 P 关于 l 的对称点,再由两点式写出方程.
? ? ?3x-2y+7=0, ?x=-1, [解析] 解法 1:由? 得? ?x-2y+5=0, ? ? ?y=2,

即反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′ (x0,y0). 由 PP′ 的中点 Q 的坐标为

?x0-5,y0?, 2? ? 2

x0-5 y0 又 Q 点在 l 上,∴3× 2 -2× 2 +7=0.

?x0+5=-3, 联立? 3 ?2 - -y0+7=0,
y0 2 32? ? 17 即 P′ 点坐标为 -13,-13 . ? ?

?x0=-13, 解得? 32 ?y0=-13,
17

32? ? 17 反射光线过 M(-1,2)和 P′-13,-13 . ? ? 根据直线的两点式方程,可得 反射光线所在的方程为 29x-2y+33=0. y0-y 解法 2:设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点 P′ (x,y),则 =- x0-x 2 3. 又 PP′ 的中点 Q

?x+x0,y+y0?在 l 上, 2 ? ? 2

x+x0 y+y0 ∴3× 2 -2× 2 +7=0,

y0-y 2 =-3, ? ?x0-x 由? x+x0 3× ? ? 2 - +

+7=0

-5x+12y-42 , ? ?x0= 13 ?? 12x+5y+28 y0 = , ? ? 13

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, 即所求反射光线所在直线方程为 29x-2y+33=0. (理)已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2:x+y-3= 0 的交点,求直线 l 的方程. [解析] 根据条件可设直线 l 的方程为:3x-y-1+λ(x+y-3)=0,即(3+λ)x+(λ-1)y-3λ-1 =0.直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等可分为两种情况: 3-2 3+λ 1 1 当直线 l 与 A、B 的连线平行时,由 kAB= =-2,可得 =-2,解得 λ=-7, 3-5 1-λ 此时直线 l 的方程为 x+2y-5=0; 5 ? 5? ? 5? 当直线 l 过线段 AB 中点 M 4,2 时,将点 M 4,2 代入直线 l 的方程可得 4(3+λ)+2(λ-1)- ? ? ? ? 17 3λ-1=0,则 λ=- 7 ,可得直线 l 的方程为:x-6y+11=0. 综上可知,所求直线 l 的方程为:x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.


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