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吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学二轮专题复习:第1讲-集合与常用逻辑用语


教师寄语:信心、细心、耐心——高考成功的保证
【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的 命题的真假判断与否定,常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识 综合在一起考查.2.试题以填空题方式呈现,考查的基础知识和基本技能,题目难度中等偏下.

1. 集合的概念、关系与运算 (1)集合中元素的

特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异 性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元素 的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. (3)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A. 2. 四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,遇到复杂问题正面 解决困难的,采用转化为反面情况处理. 3. 充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 4. 简单的逻辑联结词 用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作“p∧q”; 用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作“p∨q”; 对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作“┐p”. 5. 全称量词与存在量词 “?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,┐p(x0)”;“?x0∈M,p(x0)”的否定为“? x∈M,┐p(x)”.

考点一 例1

集合间的关系及运算 (1)(2012· 课标全国改编)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},

则 B 中所含元素的个数为________. (2)设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图 中阴影部分表示的集合为________. 弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键.

-1-

答案 解析

(1)10

(2)(-∞,-1]∪(0,1)

(1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},

∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10. (2)因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0}, A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1). (1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特 征的应用,要注意检验结果. (2)对于给出已知集合,进行交集、并集与补集运算时,可以直接根据它们的定义求解, 也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具,运用分类讨论、数形结合等思想方法,直观 求解. (1)(2013· 山东改编)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元 素的个数是________. (2)设全集 U=R,集合 P={x|y=ln(1+x)},集合 Q={y|y= x},则 右图中的阴影部分表示的集合为________. 答案 解析 (1)5 (2){x|-1<x<0,x∈R}

(1)x-y∈{-2,-1,0,1,2},即 B 中元素有 5 个.

(2)由 1+x>0 得 x>-1,即 P={x|x>-1};Q={y|y≥0},因此结合题意得,题中的阴影部 分表示的集合是 P∩(?RQ)={x|-1<x<0,x∈R}. 考点二 四种命题与充要条件 例 2 (1) 已知 a , b , c∈R ,命题“若 a + b + c = 3 ,则 a2 + b2 + c2≥3”的否命题是

________________. (2)(2013· 青岛模拟)设 x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的________条件.(填 “充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”) (1)从“否命题”的形式入手,但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别. (2)结合图形与性质,从充要条件的判定方法入手. 答案 (1)若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3

(2)必要不充分 解析 (1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题,所以应填“a+b

+c≠3,则 a2+b2+c2<3”.

-2-

(2)如图:x2+y2≥9 表示以原点为圆心,3 为半径的圆上及圆外的点, 当 x2+y2≥9 时, x>3 且 y≥3 并不一定成立, 当 x=2, y=3 时, x2+y2≥9, 但 x>3 且 y≥3 不成立;而 x>3 且 y≥3 时,x2+y2≥9 一定成立,应填 必要不充分条件. 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得 到的形式上的命题,解这类试题时要注意对于一些关键词的否定,如本题中等于的否定 是不等于,而不是单纯的大于、也不是单纯的小于.进行充要条件判断实际上就是判断 两个命题的真假,这里要注意断定一个命题为真需要进行证明,断定一个命题为假只要 举一个反例即可. 1 (1)设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的________条件. 2 (2)给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; ③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________.(填序号) 答案 解析 (1)充分不必要 (2)②

? ? 1 1 x> 或x<-1 ?, (1)不等式 2x2+x-1>0 的解集为?x? 故由 x> ?2x2+x-1>0, 但 2x2 2 ? 2 ? ?

1 +x-1>0D?/x> ,故填充分不必要条件. 2 (2)在△ABC 中,由正弦定理得 sin A=sin B?a=b?A=B.故填②. 考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词 例3 (1)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是________________. (2)若命题“?x∈R,使 x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1)任意一个无理数,它的平方不是有理数

(2)[-1,3] 解析 (1)通过否定原命题得出结论.

原命题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”. (2)方法一 令 f(x)=x2+(a-1)x+1, 若命题“?x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命题, 则由 x2+(a-1)x+1<0 有解可得 Δ=(a-1)2-4=a2-2a-3>0, 解得 a∈(-∞,-1)∪(3,+∞),故所求实数 a 的取值范围为-1≤a≤3. 方法二 也可转化为:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0 恒成立, 从而 Δ≥0,解得-1≤a≤3.

-3-

(1)全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全 称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论. (2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时,往往可以将条件进行等价转化.若是由命 题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合 间的运算. (1)下列命题中,真命题是________.(填序号) ①?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数; ②?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数; ③?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数; ④?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数. (2)已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x0∈R,x2 0+2ax0+2-a=0”.若 命题 p、q 均是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 (1)① (2)a≤-2 或 a=1

(1)对于①,当 m=0 时,f(x)=x2 是偶函数,故①正确.

当 m=1 时,f(x)=x2+x 是非奇非偶函数,故③④错误; 又 y=x2 是偶函数,则 f(x)=x2+mx 不可能是奇函数,故②错误.
2 (2)命题 p 为真时 a≤1;“?x0∈R,x0 +2ax0+2-a=0”为真,即方程 x2+2ax+2-a=0

有实根,故 Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得 a≥1 或 a≤-2.若 p、q 均为真命题,则 a≤-2 或 a=1.

1. 解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注 元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要 借助数轴和韦恩图加以解决. 2. 判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应 关系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否 定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 3. 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的基本 命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 4. 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否定是 互相对立的、一真一假的.

1. 已知集合 A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2},则 A∩B=________.

-4-

答案

{1+ 3i,1- 3i}

3 解析 A∩B 中的元素同时具有 A, B 的特征, 问题等价于|1-2ai|=2, a∈R, 解得 a=± . 2 故 A∩B={1+ 3i,1- 3i}. 2. 下列命题中,正确命题的个数是________. ①若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题; 1 π ②“sin α= ”是“α= ”的充分不必要条件; 2 6 ③l 为直线,α,β 为两个不同的平面,若 l⊥β,α⊥β,则 l∥α; ④命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0”. 答案 1 1 π 解析 对①,只有当 p,q 全是真命题时,p∧q 为真;对②,sin α= ?α=2kπ+ 或 2kπ 2 6 + 5π 1 π ,k∈Z,故“sin α= ”是“α= ”的必要不充分条件;对③,l⊥β,α⊥β?l∥α 或 6 2 6

l?α;对④,全称命题的否定是存在性命题. π ? π π 3. 已知函数 f(x)=4sin2? ?4+x?-2 3cos 2x-1,且给定条件 p:x<4或 x>2,x∈R.若条件 q: -2<f(x)-m<2.且綈 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 解
? ?m>f?x?-2, 由条件 q 可得? ?m<f?x?+2. ?

∵綈 p 是 q 的充分条件,
?m>f?x?-2, ? π π ∴在 ≤x≤ 的条件下,? 恒成立. 4 2 ? ?m<f?x?+2

?π ?? 又 f(x)=2? ?1-cos?2+2x??-2 3cos 2x-1
=2sin 2x-2 3cos 2x+1 π? =4sin? ?2x-3?+1. π π π π 2π 由 ≤x≤ ,知 ≤2x- ≤ , 4 2 6 3 3 π? ∴3≤4sin? ?2x-3?+1≤5, 5π 故当 x= 时,f(x)max=5, 12 π 当 x= 时,f(x)min=3. 4

-5-

? ?m>5-2, ∴只需? 成立,即 3<m<5. ?m<3+2 ?

∴m 的取值范围是 3<m<5.

(推荐时间:45 分钟) 1. (2013· 课标全国Ⅰ改编)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B=________. 答案 {1,4}

解析 ∵x=n2,n∈A,∴x=1,4,9,16. ∴B={1,4,9,16}. ∴A∩B={1,4}. 2. (2012· 安徽改编)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定 是________. .. 答案 对任意实数 x ,都有 x≤1 解析 利用存在性命题的否定是全称命题求解. “存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”. 3. (2013· 福建改编)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的________条 件. 答案 充分不必要 解析 a=3 时 A={1,3},显然 A?B. 但 A?B 时,a=2 或 3.
? 1x ? 2 4. (2013· 湖北改编)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB ? ?

=________. 答案 {x|0≤x<2 或 x>4}

解析 A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}, ∴A∩?RB={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. 5. 设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. 答案 -3 解析 ∵?UA={1,2},∴A={0,3},∴0,3 是方程 x2+mx=0 的两根,∴m=-3. 6. (2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(- 1,n),则 m=________,n=________. 答案 -1 1

-6-

解析 A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 2 7. 已知 R 是实数集,M={x| <1},N={y|y= x-1+1},则 N∩(?RM)=________. x 答案 [1,2] 2 解析 M={x| <1}={x|x<0 或 x>2}, x N={y|y= x-1+1}={y|y≥1}, ?RM={x|0≤x≤2}, ∴N∩(?RM)={x|1≤x≤2}=[1,2]. x 8. 设 p: <0, q: 0<x<m, 若 p 是 q 成立的充分不必要条件, 则 m 的取值范围是__________. x-2 答案 (2,+∞)

解析 p:0<x<2,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m>2. 9. 设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1 A,且 k+1 A,那么称 k 是 A 的 一个“孤立元”, 给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}, 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“孤 立元”的集合共有________个. 答案 6 解析 所求不含“孤立元”的集合中的元素必是连续三个整数,故有{1,2,3},{2,3,4},

{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共 6 个. 10.(2013· 陕西改编)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的________条件. 答案 充要 解析 由|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,则有 cos〈a,b〉=± 1. 即〈a,b〉=0 或 π,所以 a∥b.由 a∥b,得向量 a 与 b 同向或反向,所以〈a,b〉=0 或 π,所以|a· b|=|a||b|. 11.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合 A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集合 A×B 中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是________. 答案 4 解析 由给出的定义得 A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2), (3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中 log22=1,log24=2,log28=3,log44 =1,因此一共有 4 个元素. 12.已知 p:?x∈R,mx2+2≤0,q:?x∈R,x2-2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是________. 答案 [1,+∞)

解析 ∵p∨q 为假命题,∴p 和 q 都是假命题.

-7-

由 p:?x∈R,mx2+2≤0 为假命题, 得綈 p:?x∈R,mx2+2>0 为真命题, ∴m≥0. 由 q:?x∈R,x2-2mx+1>0 为假命题, 得綈 q:?x∈R,x2-2mx+1≤0 为真命题, ∴Δ=(-2m)2-4≥0?m2≥1?m≤-1 或 m≥1. 由①和②得 m≥1. 13.给出下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; a b ④若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中真命题是________.(填序号) 答案 ①②③ 1 解析 ①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立;②中不等式可变为 log2x+ ≥2, log2x 1 1 得 x>1;③中由 a>b>0,得 < ,而 c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真; a b ④由 p 且 q 为假只能得出 p,q 中至少有一个为假,④不正确. 14.给出下列四个命题: ② ①

其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) 答案 ①④ 解析 对①,因为命题“若 α=β,则 cos α=cos β”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题,①正确;
2 对②,命题“?x0∈R,使得 x0 -x0>0”的否定应是:

“?x∈R,均有 x2-x≤0”,故②错; 对③,因为由“x2=4”得“x=± 2”,由“x=-2”得“x2=4”, 所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错; 对④,p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④正确. 15.对于集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M 且 xN},M+N=(M-N)∪(N-M).设 A={y|y=
-8-

x2-3x,x∈R},B={x|y=log2(-x)},则 A+B=________. 答案 9 (-∞,- )∪[0,+∞) 4

9 9 解析 A={y|y≥- },B={x|x<0},A-B={x|x≥0},B-A={x|x<- }, 4 4 9 则 A B=(A-B)∪(B-A)=(-∞,- )∪[0,+∞). 4
? ? 1 y- ? ≥0?,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所 16.设平面点集 A=??x,y?? ?y-x?? x ? ? ? ? ?

表示的平面图形的面积为________. 答案 π 2

解析 由题意知 A∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分,曲 1 线 y= 与直线 y=x 将圆(x-1)2+(y-1)2=1 分成 S1,S2,S3, x S4 四部分. 1 ∵圆(x-1)2+(y-1)2=1 与 y= 的图象都关于直线 y=x 对称, x 从而 S1=S2,S3=S4,而 S1+S2+S3+S4=π, π ∴S 阴影=S2+S4= . 2

-9-


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