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备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题02 常见函数值域或最值的经典求法


【高考地位】 函数值域是函数概念中三要素之一 ,是高考中必考内容 ,具有较强的综合性 ,贯穿整个高 中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化 ,但万变不离其宗,真正实现了常考常新 的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法. 【方法点评】 方法一 观察法 解题模板:第一步 观察函数中的特殊函数; 第二步 利用这些特殊函数的有界性,结合不等式推导出函数的值域. 例1 求函数错误!未找到引用源。的值域.

【变式演练 1】求函数错误!未找到引用源。的值域. 方法二 分离常数法 解题模板:第一步 观察函数 f ( x ) 类型,型如 f ( x ) ?

ax ? b ; cx ? d a e 第二步 对函数 f ( x ) 变形成 f ( x ) ? ? 形式; c cx ? d e 第三步 求出函数 y ? 在 f ( x ) 定义域范围内的值域,进而求函数 f ( x ) 的 cx ? d

值域. 例2 求函数错误!未找到引用源。的值域.

【变式演练 2】求函数 y ?

5x ?1 的值域. 4x ? 3

方法三 配方法 解题模板:第一步 将二次函数配方成 y ? a( x ? b) ? c ;
2

第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例3 求函数错误!未找到引用源。的值域.

【变式演练 3】已知函数错误!未找到引用源。的定义域是错误!未找到引用源。 ,值域为错 误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。的取值范围是( A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 )

B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

方法四 单调性法(核心方法)
-1-

例 5 求函数

y ? x ? 4 ? x2

的值域.

方法五 换元法 解题模板:第一步 观察函数解析式的形式,函数变量较多且相互关联; 第二步 另新元代换整体,得一新函数,求出新函数的值域即为原函数的值域. 例6 求函数错误!未找到引用源。的值域.

? ? 例 7 求函数 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) , x ? ?? , ? 的值域. ? 12 2 ? ? ?

【变式演练 5】

若 0 ? x ? 2, 求函数 y ? f ( x) ? 4

x?

1 2

? 3?2x ? 5 的值域.

方法七 双勾函数法 解题模板:第一步 数; 第二步 对函数进行配凑成 y ? ax ? 函数的值域. 例 10 已知 x ? 观察函数解析式的形式,型如 y ?

ex ? f ax 2 ? bx ? c 或 的函 y ? ax 2 ? bx ? c ex ? f

b 形式,再利用双勾函数的最值,进而得到 x

5 x2 ? 4 x ? 5 ,求函数 f ( x) ? 的最小值. 2 2x ? 4

例 11 已知函数错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。的值域. 【变式演练 7 】 求函数 f ( x) ?

x2 ? 3 x2 ? 1

的最小值.

【变式演练 8】 若函数错误!未找到引用源。的值域为错误!未找到引用源。 ,则函数错误! 未找到引用源。的值域是( )
-2-

A. 错误! 未找到引用源。 误!未找到引用源。

B. 错误! 未找到引用源。

C. 错误! 未找到引用源。

D. 错

方法八 单调性法(核心方法) 解题模板:第一步 求出函数的单调性; 第二步 利用函数的单调性求出函数的值域. 例 12 求函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 3x ? 5)
2

(0 ? x ? 2) 的值域.

例 13

求函数错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的值域.

【变式演练 10】

求函数 y ? 4 x ? 1 ? 3 x ( x ? ) 的值域.

1 3

方法九 数形结合法 解题模板:第一步 作出函数在定义域范围内的图像; 第二步 利用函数的图像求出函数的值域.

例 14 求 f (x)=|x+

1 ? 1 |的值域 x

【变式演练 12】 定义运算:错误!未找到引用源。 .例如错误!未找到引用源。 ,则函数错 误!未找到引用源。的值域为( A.错误!未找到引用源。 引用源。 【高考再现】 1. 【2014 上海,理 18】错误!未找到引用源。若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用 源。的最小值,则错误!未找到引用源。的取值范围为( (A) (B) (C) (D) 错误!未找到引用源。 ). ) B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到

D.错误!未找到引用源。

2 【2014 高考重庆理第 12 题】函数错误!未找到引用源。的最小值为_________. 3. 【2015 高考浙江, 理 10】 已知函数错误! 未找到引用源。 , 则错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。的最小值是 .
-3-



4. 【2015 高考福建,理 14】若函数错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 且错 误!未找到引用源。 )的值域是错误!未找到引用源。 ,则实数错误!未找到引用源。 的 取值范围是 .

5. 【2015 高考山东,理 14】已知函数错误!未找到引用源。 的定义域和值域都是 错误!未 找到引用源。 【反馈练习】 1. 【2016-2017 学年河北武邑中学高一上周考 9.18 数学试卷,理 13】函数错误!未找到引 用源。的定义域为错误!未找到引用源。 ,值域为错误!未找到引用源。 ,则满足条件的实数 错误!未找到引用源。组成的集合是_______. 2. 【2015-2016 学年浙江湖州已知函数错误!未找到引用源。 ,若此函数的定义域为错误!未 找到引用源。 ,则实数错误!未找到引用源。的取值范围是 未找到引用源。 ,则实数错误!未找到引用源。的取值范围是 ;若此函数的值域为错误! . ,则错误!未找到引用源。 .

3. 【2015-2016 学年河北唐山一中高二下学期期末, 文 16】 若函数 f ( x) ? 1 ? 区间 [?k , k ](k ? 0) 上的值域为 [ m, n] ,则 m ? n 的值是________.

2 x ?1 ? sin x 在 2x ? 1

-4-



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